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函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

一 定义
引言
设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有

则称函数列在上一致收敛于，记作
，
设是定义在数集上的一个函数列，表达式
称为定义在上的函数项级数,简记为或；称
, ,
为函数项级数的部分和函数列．
设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项．
定义1　设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或称在上一致收敛．
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．
定义2　设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛．
同时由，故在上一致收敛于0．
定义3　设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛．
例1　试证在上一致收敛，但在内不一致收敛．
证明　显然在内收敛于．
对任意的，欲使当和时，恒有

成立,只要当时,恒有

成立,只要当时,恒有

成立,只要当时，恒有

成立，只要取即可．依定义，在上一致收敛于．
存在，对任意自然数，都存在和，使

成立，依定义，在内不一致收敛．
二 函数项级数一致收敛性的判定方法
定理1　Cauchy一致收敛准则
函数项级数在数集上一致敛的充要条件为：
对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有

或 　　　　　　　　
或　　　　　　　　　　　　　
特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：
推论1　函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在
上一致收敛于．
定理2 函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是：
　　　　　 ．
定理3　放大法
是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.
证明　因,故对任给的,(与无关),使得当时,对一切,都有.由定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于.
注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,需要知道.
定理4　确界法
函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是

证明　充分性　设是函数项级数的部分和函数列, 为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数.
必要性
注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．
定理5　若在区间上收敛,则在上一致收敛的充要条件是,有.
证明　充分性　假设在上不一致收敛,则,,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾.
必要性　因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得.
例2　设，，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于．
证明　已知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且>0,时,有.
将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当时, .从而时更有即,仅当.
如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.
如此{:}构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.
定理6　判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法
设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则函数项级数在上一致收敛.
证明　由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有

根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛.
注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数失效.
例3　函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的.
推论2　设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数在区间一致收敛
证明　已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛.
由广义调和级数,当时收敛,故当=时,有
推论　设有函数项级数,若存在极限且,则函数项级数在区间一致收敛.
例4 证明函数项级数在是一致收敛的.
证明　对于,存在收敛的正项级数,且由的推论2与推论得, 在一致收敛.
定理7　比较判别法
两个函数项级数与,若,当有(其中为正常数),且函数项级数在区间绝对一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.
证明　已知 在区间绝对一致收敛,即对(其中为正常数),
及,有；又由条件知有；
取当,有
．
由收敛级数一致收敛Cauchy准则知，函数项级数在区间一致收敛，从而函数项级数在区间绝对一致收敛.
定理8　若有函数级数与,,有(其中为正常数),且函数项级数在区间一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.
证明 已知,有(其中为正常数).
又函数项级数在区间绝对一致收敛,即,
有；
取当有

从而函数项级数在区间绝对一致收敛.
推论3　比较极限法
若有两个函数级数与,且有且,若
级数在区间绝对一致收敛,则函数在区间也绝对一致收敛.
证明　由且,即当有
使且.即及有,又级数在区间绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数在区间绝对一致收敛.
推论4　有函数列在区间上一致有界,且函数级数在区间绝对一致收敛,则函数级数在区间上也绝对一致收敛.
证明 由已知函数列在区间上一致有界,即有,使当有,又因函数级数在区间绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数在区间上绝对一致收敛.
例5 若函数级数在区间一致收敛,且,有,则函数项级数在区间上一致收敛.
证明 由条件函数在区间一致收敛,则级数在区间上一致收敛.又有,故且级数在区间绝对一致收敛,由定理8知,级数在区间上一致收敛.又已知在区间一直收敛,从而级数在区间上一致收敛.
推论5 设函数项级数定义在数集上，在上一致收敛且，若对一切，有，则函数项级数在上一致收敛.
定理9 逼近法
若对任意的自然数和,都有成立,又和都在数集上一致收敛于,则也在上一致收敛于.
证明 设，，
因为都有,所以有
.又,在区间上一致收敛于,即
,当时,对一切有
及；
所以,当时,对一切有.
由函数项级数一致收敛定义知, 在上也一致收敛于.
定理10 由有性质判别
若和在点集上一致收敛，则在上也一致收敛
证明 由和均在点集上一致收敛知，对（自然数），使
得当时，对自然数和有

所以

由函数项级数一致收敛的Cauchy收敛准则知，在上也一致收敛
定理11 Dini定理
设在上连续，又在上收敛于连续函数，则函数项级数在一致收敛．
使用步骤：⑴判定且连续；⑵求和函数；⑶判定求和函数在上连续．
Abel引理
定理12 Abel判别法
证明
推论6 设函数项级数在上一致收敛，函数在上有界，则在上一致收敛.
证明 因为在上有界,所以使,对成立.因在上一致收敛,使当,时有,对成立,此式表明.由Cauchy准则知在上一致收敛.
定理13 Dirichlet判别法
设(i)的部分和函数列在上一直致有界;
(ii)对每一个，单调; (ⅲ)在上,则级数和在上一致收敛.
证明 充分性 由(i)正数,对一切,有,因此当为任何正整数
时,对任何一个,再由(ii)及Abel引理,得到 .
再由(ⅲ)对当时,对一切,有；所以
于是由一致收敛的Cauchy准则级数在上一致收敛.
注:事实上必要性也成立,即已知在上一致收敛,可推出(i)(ii)(ⅲ)成立,这里不再赘述.
例6 若数列单调且收敛于0,则级数在上一致收敛.
证明 由得
在上有,所以级数的部分和函数列在上一致有界,于是令,则由Dirichlet判别法可得级数在上一致收敛.
定理14 积分判别法
设为区域上的非负函数, 是定义在数集上的正项函数级,如果在上关于为单调减函数,若含参变量反常积分在数集上一致收敛,则在数集上一致收敛.
证明 由在数集上一致收敛,对,一个,当时,对一切自然数和一切,有.
由,所以在数集上一致收敛.
例7 设,证明在区间连续.
证明 首先对任意取定一点,都存在,使得,我们只要证明在即可.令,,由,,并且无穷级数收敛,所以含参积分在上一致收敛.
又因为即对任意固定,关于在区间上是单调递减的,由定理14知,函数级数在区间上是一致收敛的.
利用函数项级数的性质可得, 在区间连续,从而在区间也连续,所以在连续,由在的任意性可知, 在上连续.
含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.
由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.
定理15 函数列在上连续且单调,级数和级数收敛,则级数在上一致收敛.
证明 级数和收敛.则+收敛.由在上连续且单调,则<+,由判别法知,级数在上一致收敛.
定理16 设函数,在上可微(其中为有限数),且满足如下条件:(i)函数项级数在上收敛;
(ii)存在常数,使得对任意的自然树,任意的实数,恒有,则函数项级数在上一致收敛.
证明 对,因为为有限数,所以存在自然数,使得,我们在闭区间上插入分点,,,于是,闭区间被分成个小区间,.从而有=.又因为函数项级在上是收敛的,故对任意,存在自然数,使得时,对任意,有.
于是,对任意,在自然数,使得时, 对任意,有

因此,对,存在自然数,使得当时,任意,任意自然数,均有.即函数项级数在上一致收敛.
定理17 设为定义在数集上的函数项级数,为的收敛点,且每个在上一致可微, 在上一致收敛,记.
定理18 设函数列在闭区间上连续可微,且存在一点,使得在点处收敛; 在上一致收敛,则函数项级数在上一致收敛.
证明 已知在点处收敛, 在上一致收敛.即对,使得时,对,有成立.
对,有.根据拉格朗日中值定理,,有<,(介于与之间)．
于是， ．
即在上一致收敛.
引理2 若函数项级数在上收敛，则在一致收敛的必要条件是收敛.
证明 由函数项级数的柯西收敛准则有，，有.
又,在(4)的两端取极限,令得,于是由Cauchy收敛准则知收敛.
（①若,则在一致收敛的必要条件是收敛.②若在连续,则在一致收敛收敛.)
定理19 利用内闭一致收敛判别
若函数项级数在内闭一致收敛,则在一致收敛,级数收敛.
证明 必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.
注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.
例8　证明在内闭一致收敛,且在端点收敛,但在不一致收敛.
证明　的部分和函数列在一致有界,而在一致收敛于0,于是由Dirichlet判别法知, 在一致收敛,从而在内闭一致收敛.
当或时,级数显然收敛.
取,则但发散,故由定理19知, 在不一致收敛.
推论7　若在内闭一致收敛,则在一致收敛的充要条件是, 皆收敛.
证明　与定理19类似,略.
定理20 设函数级数在收敛,且满足引理2中必要条件,则在一致收敛,皆收敛.
证明　必要性　用反证法.假设,而发散.
若或,则由定理20知不可;若,则存在的子列或或,于是由定理19知在或在不一致收敛,从而在不一致收敛,矛盾.必要性获证.
充分性　用反证法.
设在不一致收敛,则由定理18的证明可得,且而发散,矛盾.
推论8　设在收敛,且满足引理的必要条件,则在一致收敛或,皆收敛.
证明　与定理20的类似,略.
推论12 设使定义在数集上的正项函数项级数，，在上有界，若时，一致收敛于，设，则当时，在上一致收敛．
证明 由，时,一致收敛于，取，时，对一切，有，所以，取，有，取，当时，对一切,有，因此，所以，由时，收敛，由优级数判别法可知在上一致收敛．
推论13 函数列定义于数集上，且在上有界，若对一切的，有，则函数项级数在上一致收敛．
证明 不妨设对于,有，即，则，，假设当，成立，则当，也成立，故由数学归纳法得，且在有界，即，对，有所以，又已知几何级数收敛，故级数收敛，由优级数判别法知在上一致收敛．
推论14 函数列定义于数集上，且在上有界，若，有，则函数项级数在上一致收敛．
证明 因为．即 ,,对一切，有，即，由推论10得函数项级数在数集上一致收敛．
例11 判断函数项级数在上一致收敛性．
证明 因为， 且
，由推论13可知函数项级数在上一致收敛．
定理23 （根式判别法）设为定义在数集上的函数项级数，记，若存在正整数，正数，使得对一切的，成立，则函数项级数在上一致收敛．
证明 由定理条件对一切，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛．
推论15 （根式判别法的极限形式）设为定义在数集上的函数列，若一致收敛于，且，即，对成立，则函数项级数在上一致收敛．
证明 由一致收敛于 ，取，,当时，对一切有，所以，所以，又因为，由优级数判别法知在上一致收敛．
推论 设为定义在数集上的正项函数项级数，记，若，则函数项级数在上一致收敛．
证明 由假设，则存在正整数,使得当时，有，则对任意的，有 ，而几何级数收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知在上一致收敛，即得证．
例12 函数项级数在上一致收敛，（其中是实常数且），因为，设，，由推论得函数项级数在上一致收敛．
推论16 有函数项级数，若对，有，则函数项级数在上一致收敛．
证明 因，则，，，，有，即，从而依定理8得函数项级数在上一致收敛．
例13 判别函数项级数在上的一致收敛性．
证明 因，依推论15函数项级数在上一致收敛．
定理24 （对数判别法）设为定义在上的正的函数列，若存在，那么①若，对，则函数项级数一致收敛；②若对，，则函数项级数不一致收敛．
证明 由定理条件知，对任意，，使得对一切，有
，
即，则当对成立时，有，而级数当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收；而当，对成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数不一致收敛．
定理25 设函数项级数，都是定义在数集上的正项函数项级数，当，时，一致收敛于，设，；
①当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛．
②当时，若在上一致收敛，则在上也一致收敛．
③当时，与在数集上同时一致收敛，或同时不一致收敛．
证明 由当，时，一致收敛于，则任取，总，当时，对一切有，得到

即．
①当时，由上式的右半部分可知若在上一致收敛，则在上也一致收敛；
②当时，由上式左半部分可知若在一致收敛，则在上也一致收敛；
③当时，取易知与同时一致收敛或同时不一致收敛．
Lipschitz（莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别
定义4 设有函数项级数，其中,是区间上的连续函数,且函数列在区间上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz型函数项级数．
定理26 若，为L型函数项级数，则
①此级数在上一致收敛；
②．
证明 ①因为是上的连续函数，函数列在区间上单调减少且收于连续函数．所以在连续非负，而，由Dini定理知函数项级数在区间一致收敛于0，从而函数列在一致收敛于0．又，所以,故一致有界，由Dirichlet判别法知交错函数项级数在区间上一致收敛．
②由①得一致收敛，设，于是

例14 试证在区间一致收敛．
证明 是任意闭区间上的连续函数列且，，由定理26知函数项级数在上一致收敛．
推论17 设函数列在上收敛于，若可写成L型函数项级数的部分和，则函数列在上一致收敛于．
证明 设有L型函数项级数一致收敛于，而，则对，都有，即，故函数列在上一致收敛于．
例15 证明在上一致收敛．
证明 因为，，．由②，有，由与无关且故，由Cauchy准则证毕．
定理27 利用结论：设幂级数的收敛半径，则
①当(或)收敛时，在或一致收敛；
②在内一致收敛，当且仅当在上一致收敛．
注：1 Cauchy准则与M判别法比较实用一般优先考虑；
2 Cauchy准则、M判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大．
三 非一致收敛性的判别
1 利用非一致收敛的定义
定义3，略．
例16 讨论函数项级数在是否一致收敛．
解
当时，有．取使，无论多大只要，就有，故在上非一致收敛．
2 利用确界原理的逆否命题
定理28 若函数项级数在数集上非一致收敛的充要条件是．
证明 它是确界原理的逆否命题，故成立．
例17 函数项级数的部分和函数为，讨论在上是否一致收敛．
证明 部分和函数，当时，又当
时，，故在内非一致收敛．
注：极限函数知道时值得用
3 利用定理5的逆否命题
定理29 设，若存在使得，则在上不一致收敛．
证明 略．
注：此定理比较实用．
4 利用Cauchy准则逆否命题
定理30 函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件是存在，,,，使得
证明 它是Cauchy准则的逆否命题，故成立．
例18 讨论在上的一致收敛性．
解 取，对,,，及使

故在上非一致收敛．
注：该类型关键是要找出与及之间的关系，从而凑出，该类型题也有一种简便方法，即取能适用于很多例题．此方法比较实用，优先考虑．
推论18 函数列在上非一致收敛于0，则函数项级数在数集上非一致收敛．
证明 它是推论1的逆否命题，故成立．
例19 设，．讨论函数项级数的一致收敛性．
解 取，则，此极限不存在，所以在定义域内非一致收敛于0，则在内非一致收敛．
推论19 若函数项级数在区间上逐点收敛，且在区间中存在一点列，使，则函数项级数在区间上非一致收敛．
例20 讨论在上的一致收敛性．
解 因为使，有，知在上非一致收敛．
5 利用求极值的方法
定理31 ，若，则在上不一致收敛．
例21 证在上处处收敛，但不一致收敛．
证明 因为，对，与都收敛，所以收敛，时收敛，故在上处处收敛；而,所以，又，故在非一致收敛．
注：极限函数知道时，可考虑用．
6 利用一致收敛函数列的一个性质判别
引理2 若连续函数列在区间上一致收敛于，则，，，有
证明 由在上一致收于，即有,，：，有，得．根据连续函数列在区间上一致收敛于，则也必在上连续，从而．
定理32 连续函数项级数在区间上逐点收于，且，
，有则函数项级数在区间上非一致收敛于．
例22 讨论在上一致收敛性．
解 显然在上逐点收，且每一项都在上连续，取，则．再设，由定积分概念

故知在上非一致收敛．
推论20 设连续函数列在区间上逐点收敛，且在中存在数列和满足条件①，；②，，而则在上不一致收敛．
例23 讨论，在上的一致收敛性．
解 这个连续函数列在上逐点收，先取，，则
有 ⑷
又取，，则且 ⑸
由⑷，⑸极限不同，所以由推论20连续函数列在上不一致收敛．
7 利用端点发散性判别
定理33 函数项级数定义在（或）上．对函数都在点右连续，但级数发散，则函数项级数在（或）上非一致收敛．（注：在（或）内也有相应结论．）
证明 反证法．
设在（）上一致收敛，即，，，或，有．又因，在左端点（右）连续，令（或），对上式两端取极限得，知收敛，与已知矛盾，故在（或）上非一致收敛．
例24 讨论函数项级数在上一致收敛性．
解 显然函数项级数在逐点收敛，且每一项都在处连续，而在处发散，故函数项级数在上非一致收敛．
定理34 如果在内，，每一个在点左连续，但不存在，则在内不一致收敛．（注：在内也有相应结论．）
8 利用和函数的连续性来判别
（若连续函数项级数在区间上一致收敛于和函数，则和函数在区间上必连续．）
定理35 若连续函数项级数在区间上逐点收敛于和函数，且，在处不连续，则函数项级数在区间上非一致收敛于和函数．
例25 讨论函数项级数在上一致收敛性．
解 这个函数项级数的部分和为，
即得，知和函数在处不连续．故知该函数项在上非一致收敛．
注：在和函数方便求解时，能简化证明过程．
9
定理36 设对任意自然数，函数在区间上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列，使得级数发散，则函数项级数在上非一致收敛．
证明 反证法．
设在上一致收敛，由Cauchy准则，对，总，使对任意及，不等式，对一切成立，不妨设有在上单调增，又设，，则有
，
所以有，所以收敛，与假设矛盾．证毕．
例26 证在内非一致收敛．
证明 对，显然在区间内都是单调减小的，其次，取，级数发散，于是由本定理得证．
定理37 设对任意，为单调数列，如果存在数列，使得不存在，或存在．但不等0，则函数项级数在区间上非一致收敛．
证明 用反证法．
假设函数项级数在区间上一致收敛，则对，总，使对任意及，对一切成立．令，则对及一切，有成立，其次由题设及归谬假设推出，对任意的，为同号数列及为单调减小数列，所以有成立，由，所以及，数列收敛于0，与题设矛盾．证毕．
例27 设，，对，显然为单调数列，若取，则，由定理37函数项级数在上非一致收敛．
10 利用结论
设幂级数的收敛半径，若或发散，则在（或）上不一致收敛．
综上可知，判别函数项级数一致收敛与非一致收敛有多种方法，有的方法对某一类函数项级数能显示其优点，熟练掌握函数项级数一致收敛与非一致收敛判别方法，这对研究收敛函数项级数所确定的函数分析性质至关重要．

参考文献

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