解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面.docx

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量
任取准线上一点，过的母线方程为：

而在准线上，所以：

消去，得到：
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：

此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点，且方向为的直线方程为：

将此式代入准线方程，并消去得到：

此即为所求的圆柱面的方程。
§ 4.2锥面
2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。
解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

令它与准线交于，即存在，使

将它们代入准线方程，并消去得：

此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴与等角，故的方向数为
与垂直的平面之一令为
平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：

它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点，过与顶点的母线为：

令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：

此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：
过点且垂直于轴的平面为：

即：
该平面与轴的交点为，它与的距离为：

要求圆锥面的准线为：

对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为：

令它与准线的交点为，即存在，使

将它们代入准线方程，并消去得：

§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；绕旋转
（2）；绕旋转
（3）绕轴旋转；
（4）空间曲线绕轴旋转。
解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：

又在母线上。

从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点，过的纬圆为：

因在母线上， (3)
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：

又在母线上，所以： （3）
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点，过的纬圆为：

又在母线上，所以

从（1）——（3）消去，得到：

即旋转面的方程为：
§4.4椭球面
2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点，要求的轨迹为，则

即：
此即为的方程。
3、由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：

证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为
该点在曲面上

即
4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：
证明：利用上题结果，有
其中是的方向余弦。
若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，，
所以，

即：
§ 4.5双曲面
3、已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*）
亦即
为使交线（*）为二相交直线，则须：，即
所以，要求的平面方程为：
同理，平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：
4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
解：设动点，所求轨迹为，则

亦即：
此为的轨迹方程。
5、试求单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面。
解：题中所设的交线为：

从此方程中消去，得到：

此即为要求的射影柱面方程。
§ 4.6抛物面
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为，夹角为。
解：（1）取定平面为面，过定点且垂直于面的直线作为轴，则定点的坐标设为，而定平面即为，设比值常数为，并令所求的轨迹为，则
点
即
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
与
设所求的轨迹为，则

即：
经同解化简得：
此即所要求的轨迹方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。
解：双曲抛物面的两族直母线为：
及
第一族直母线的方向矢量为：
第二族直母线的方向矢量为：
据题意，要求的直母线应满足：

要求的直母线方程为：
及
5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于，则
，
又动直线与平面平行，所以，

对动直线上任一点，有：
从（1）——（4）消去，得到：