高一数学导学案：2.1.1指数与指数幂的运算(1)(人教A版必修1).doc

§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；
2. 了解根式的概念及表示方法；
3. 理解根式的运算性质.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）
复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为
复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？

问题：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

探究任务二：根式的概念及运算
考察： ，那么就叫4的 ；
，那么3就叫27的 ；
，那么就叫做的 .
依此类推，若,，那么叫做的 .
新知：一般地，若,那么叫做的次方根，其中,.
简记：. 例如：，则.

反思：
当n为奇数时, n次方根情况如何？
例如：，, 记：.
当n为偶数时，正数的n次方根情况？
例如：的4次方根就是 ，记：.
强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即.
试试：，则的4次方根为 ；
，则的3次方根为 .
新知：像的式子就叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
试试：计算、、.

反思：
从特殊到一般，、的意义及结果？
结论：（1），当是偶数时要求
（2）当是奇数时，；当是偶数时，.
※ 典型例题
例1求下类各式的值：
（1） （2）
（3） （4） （）.

变式：计算或化简下列各式.
（1）=

（2）=

※ 动手试试
练1. 化简.

练2. 化简.

三、总结提升
※ 学习小结
1. n次方根，根式的概念； 2. 根式运算性质.
※ 知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质：若，则.
2. 正整数指数幂满足不等性质：
① 若，则；
② 若，则. 其中N*.
学习评价
※ 当堂检测
1. 的值是（ ）.
A. 3 B. －3 C. 3 D. 81
2. 625的4次方根是（ ）.
A. 5 B. －5 C. ±5 D. 25
3. 化简是（ ）.
A. B. C. D.
4. 化简= .
5. 计算：= ； .
课后作业
1. 计算：（1）； （2） .

2. 计算和，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？

3. 对比与，你能把后者归入前者吗？

§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）
学习目标
1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）
复习1：一般地，若，则叫做的 ，其中,. 简记为： .
像的式子就叫做 ，具有如下运算性质：
= ；
= ；

复习2：整数指数幂的运算性质.
（1） ；（2） ；
（3） .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：分数指数幂
引例：a>0时，， 则类似可得 ；
，类似可得 .

新知：规定分数指数幂如下
；
.
试试：
（1）将下列根式写成分数指数幂形式：
= ； = ； = .
（2）求值：； ； ； .

反思：
① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂 .
② 分数指数幂有什么运算性质？

小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质： （）
·； ； ．

※ 典型例题
例1 求值：；； ；.

例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）； （2）； （3）.

例3 计算（式中字母均正）：
（1）； （2）.

小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.
例4 计算：
（1） ；
（2） ；
（3）.

小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.

※ 动手试试
练1. 把化成分数指数幂.

练2. 计算：（1）； （2）.

三、总结提升
※ 学习小结
①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.
※ 知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为：，其中t表示经过的时间，表示初始质量，衰减后的质量为m，为正的常数.
学习评价
※ 当堂检测
1. 若，且为整数，则下列各式中正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
2. 化简的结果是（ ）.
A. 5 B. 15 C. 25 D. 125
3. 计算的结果是（ ）.
A． B． Ｃ． D．
4. 化简= .
5. 若，则= .

课后作业
1. 化简下列各式：
（1）； （2）.

2. 计算：.

§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）
学习目标
1. 掌握n次方根的求解；
2. 会用分数指数幂表示根式；
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.
学习过程
一、课前准备
（复习教材P48~ P53，找出疑惑之处）
复习1：什么叫做根式? 运算性质？
像的式子就叫做 ，具有性质：
= ；= ；= .
复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？
① ； .
其中
② ； ； .
复习3：填空.
① n为 时，.
② 求下列各式的值：
= ； = ；= ；
= ； = ；
= ；= .
二、新课导学
※ 典型例题
例1 已知=3，求下列各式的值：
（1）；　（2）；　（3）．
补充：立方和差公式.

小结：① 平方法；② 乘法公式；
③ 根式的基本性质（a≥0）等.
注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，.
变式：已知，求：
（1）； （2）.

小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论；
② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试
练1. 化简：.

练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.
（1）； （2）.

练3. 已知，试求的值.

三、总结提升
※ 学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算；
2. 乘法公式的运用.
※ 知识拓展
1. 立方和差公式：
； .
2. 完全立方公式：
； .
学习评价
※ 当堂检测
1. 的值为（ ）.
A. B. C. 3 D. 729
2. (a>0)的值是（ ）.
A. 1 B. a C. D.
3. 下列各式中成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 化简= .
5. 化简= .
课后作业
1. 已知, 求的值.

2. 探究：时, 实数和整数所应满足的条件.

§2.1.2 指数函数及其性质（1）
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义；
3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P54~ P57，找出疑惑之处）
复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？
（1） ； （2） ；
（3） ； .
其中
复习2：有理指数幂的运算性质.
（1） ；（2） ；（3） .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念
实例：
A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？
B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

新知：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
反思：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？
探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
回顾：
研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
，

讨论：
（1）函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？

（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后呢？

新知：根据图象归纳指数函数的性质.

a>1
0<a<1

图
象

性
质
(1)定义域：R
(2)值域：（0，+∞）
(3)过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在 R上是增函数
(4)在R上是减函数
※ 典型例题
例1函数（）的图象过点，求,,的值.

小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法.

例2比较下列各组中两个值的大小：
（1）； （2） ；
（3） ； （4）.

小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.
※ 动手试试
练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（1）； （2） .

练2. 比较大小：
（1）；
（2）,.

三、总结提升
※ 学习小结
①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.
※ 知识拓展
因为的定义域是R， 所以的定义域与的定义域相同. 而的定义域，由的定义域确定.

学习评价
※ 当堂检测
1. 函数是指数函数，则的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值
2. 函数f(x)= (a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）.
A. B.
C. D.
3. 指数函数①，②满足不等式 ，则它们的图象是（ ）.

4. 比较大小： .
5. 函数的定义域为 .

课后作业
1. 求函数y=的定义域.

2. 探究：在[m，n]上，值域？

§2.1.2 指数函数及其性质（2）
学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；
3. 培养数学应用意识.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P57~ P60，找出疑惑之处）
复习1：指数函数的形式是 ，
其图象与性质如下

a>1
0<a<1

图
象

性
质
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过定点：
(4) 单调性：

复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：
,,,, ,.

思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？
二、新课导学
※ 典型例题
例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？

小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.
试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？

小结：指数函数增长模型.
设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如 的函数称为指数型函数.
例2 求下列函数的定义域、值域：
（1）; （2）; （3）.

变式：单调性如何？

小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.
试试：求函数的定义域和值域，并讨论其单调性.

※ 动手试试
练1. 求指数函数的定义域和值域，并讨论其单调性.

练2. 已知下列不等式，比较的大小.
（1）； （2）；
（3） ；（4） .

练3. 一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x，y间的函数关系式

三、总结提升
※ 学习小结
1. 指数函数应用模型；
2. 定义域与值域；
2. 单调性应用（比大小）.
※ 知识拓展
形如的函数值域的研究，先求得的值域，再根据的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视. 而形如的函数值域的研究，易知，再结合函数进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.
学习评价
※ 当堂检测
1. 如果函数y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数y=bx (b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有（ ）.
A. a>b B. a<b
C. ab=1 D. a与b无确定关系
2. 函数f(x)=3－x－1的定义域、值域分别是（ ）.
A. R， R B. R，
C. R， D.以上都不对
3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.
A. y=ax的图象与y=a－x的图象关于y轴对称
B. 函数f(x)=a1－x (a>1)在R上递减
C. 若a>a，则a>1
D. 若>1，则
4. 比较下列各组数的大小：
； .
5. 在同一坐标系下，函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象如右图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .

课后作业
1. 已知函数f(x)=a－(a∈R)，求证：对任何， f(x)为增函数.

2. 求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

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