不等式小结与复习-(2).doc

不等式小结与复习
教学目的：
1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；
2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；
3．掌握含绝对值的不等式的性质；
4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质。
教学过程：简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
一、例题
（五）不等式的证明
例16已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。
解一：

∵0 < 1 - x2 < 1, ∴
∴
解二：

∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解三：∵0< x <1，∴0 < 1 - x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴
∴左 - 右 =
∵0< 1 - x2 <1, 且0< a <1 ∴ ∴
例17 已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
即 (a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即 a2d2 + b2c2≥2abcd
由基本不等式，显然成立,∴xy≥ac + bd
证二：（综合法）xy =
≥
证三：（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina, b = xcosa
∵y2 = c2 + d2 ∴不妨设 c = ysinb, d = ycosb
∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy
例18 已知x1, x2均为正数，求证：
证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

即
再平方
A
B
C
D
P
M
化简整理得 （显然成立） ∴原式成立
证二：（反证法）假设
化简可得 （不可能）∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2
当ÐAPB = ÐDPC时，AP + PD为最短。取BC中点M，有ÐAMB = ÐDMC, BM = MC =,∴ AP + PD ≥ AM + MD
即
∴
二、练习题：
1.选择题
(1)不等式6x2+5x<4的解集为（ ）
A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(- ,)
C.(- ,) D.(-∞,-)∪(,+∞)
(2)a>0,b>0,不等式a>>-b的解集为（ ）
A.- <x<0或0<x< B.- <x<
C.x<-或x> D.- <x<0或0<x<
(3)不等式(x-1)(x-2)2(x-3)<0的解集是（ ）
A.(-1,1)∪(2,3) B.(-∞,-1)∪(1,3)
C.(-∞,-1)∪(2,3) D.R
(4)若a>0,且不等式ax2+bx+c<0无解,则左边的二次三项式的判别式（ ）
A.Δ<0 B.Δ=0 C.Δ≤0 D.Δ>0
(5)A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},且R*∩A=,则有（ ）
A.p>-2 B.p≥0 C.-4<p<0 D.p>-4
(6)θ在第二象限,cosθ=,sinθ=,则m满足（ ）
A.m<-5或m>3 B.3<m<9 C.m=0或m=8 D.m=8
(7)已知不等式loga(x2-x-2)>loga(-x2+2x+3)在x=时成立,则不等式的解集为（ ）
A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<} C.{x|1<x<} D.{x|2<x<5}
(8)设0<b<,下列不等式恒成立的是（ ）
A.b3>bB.logb(1-b)>1 C.cos(1+b)>cos(1-b) D.(1-b)n<bn,n∈N
(9)若不等式x2-logax<0在(0,)内恒成立,则a满足（ ）
A.≤a<1 B.<a<1 C.0<a≤ D.0<a<
(10)不等式的解集是（ ）
A.［0,1］ B.［0,+∞］ C.(1,+∞) D.［-1,1］
(11)不等式的解集是（ ）
A. B.(1,2) C.(2,+∞) D.(1,+∞)
(12)不等式(x-1)≥0的解集是（ ）
A.{x|x>1} B.{x|x≥1或x=-2} C.{x| x≥1} D.{x|x≥-2且x≠1}
(13)函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=的定义域为B,则使A∩B=,实数a的取值范围是（ ）
A.{a|-1<a<3} B.{a|-2<a<4} C.{a-2≤a≤4} D.{a|-1≤a≤3}
(14)关于x的不等式<2x+a(a>0)的解集为（ ）
A.(0,a) B.(0,a］ C.(0,+∞)∪(-∞,- a) D.
2.填空题
(1)不等式1≤|x-2|≤7的解集是 .］
(2)不等式>a的解集是 .
(3)不等式lg|x-4|<-1的解集是 .
(4)不等式<a(a>0,b>0,c>0)的解集是 .
(5)若不等式<0的解为-1<x<5,则a= .
(6)不等式<3-lgx的解集是 .
(7)函数f(x)=log2(x2-4),g(x)=2(k<-1),则f(x)g(x)的定义域为 .
3.解下列不等式
(1)(x+4)(x+5)2>(3x-2)(x+5)2；(2)≤0；(3)≥3
4.设不等式(2x-1)>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m的值都成立,求x的取值范围.