第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题.doc

第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题（高一）
（考试时间2006年5月13日9:00～12:00 满分160分）
一、（20分）最大与地面成什么角度抛出石头，才能使石头在运动过程中始终远离地面上的抛出点？（不计空气阻力）

二、（20分）有一双星系统，二星体的质量均为M，两星相距为l，绕双星的质心作圆运动．
（1）试求此双星运动的角速度大小；
（2）假设一陨石（相对于双星质量很小）以垂直于双星的连线方向运动，并通过双星的质心，若该陨石要能够脱离双星的引力场，那么陨石在双星质心处的速度至少应为多少？

三、（20分）一均匀棒子，长度为L，质量为M，静置于两圆柱形支架A及B上．支架B以一恒定速度向A移动，而支架A则保持静止，如图所示．开始时，支架A距左端点为a，支架B距右端点为x，且知棒子与支架间的动摩擦及静摩擦因数分别为μk和μs．
（1）试求两支架分别作用在棒子上的支持力NA和NB；
A
B
（2）当支架B移动某一位置时，我们发现棒子不再是静止不动的了，试分析其原因，并求出棒子刚要开始移动时，B的位置．

θ
ω
O
C
M
L
B
A
四、（20分）质量线密度相同（单位长度的质量相同），但长度未必相同的三根细棒若能构成一个三角形，试确定此三角形框架的质心位置．

五、（25分）长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度ω围绕O点转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮的一端固定在杆的A端，另一端悬挂一质量为M的重物C，O、B之间的距离为h，求：
（1）当AB绳与竖直方向成θ角时，重物的运动速度；
（2）若此时绳与杆正好垂直，试求绳上的张力？

六、（25分）在汉水之滨、龟山之颠有一项“刺激性”的游乐项目——蹦极．游乐者乘缆车到达汉江边的高空中，将一跟长30m的弹性绳的一端捆在身上，绳的另一端固定在缆车上．人从高空的缆车上跳下，到达最下端（可以保证不会触地）后，被弹性绳拉回，又上升到最高点；再落下，再拉回．如此反复上下大幅度运动，直到最后停下来．已知人最后停下来时绳长为50m，若不考虑空气阻力和人身高的影响，试求人从缆车上开始下落至第一次到达最低点所经历的时间．（取g=10m/s2）

七、（30分）n块相同的木块，每块的质量都是m，长度都为l，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为l，最下端的木块到斜面底端的距离也是l，如图所示．已知木块与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等．在开始时刻，第一木块以初速度v0沿斜面下滑，其余所有木块都静止；在每次发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．已知当摩擦因数为μ时，最后第n个木块到达斜面底时，刚好停在底端．
⑴ 求在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能；
⑵ 求每次碰撞过程中损失的机械能与碰撞前动能之比；
⑶ 若n = 5，l = 0.10 m，v0 = 4 ms-1，θ =30°，重力加速度 g=10ms-2，求木块与斜面间的滑动摩擦因数μ．

第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题参考答案及评分标准（高一）
一、【解】使用如图所示的坐标系，石头的运动可以由下面的关系表示
①
②
vx
vy
v
s
x
y
α
v0
x
y
③
④
当石头的速度垂直于其位置矢量时，石头距离原始位置最远．这种情况发生的条件为
⑤
由此可以得出时刻t的二次方程
⑥
如果这种情况不会发生，则上面方程的判别式为负，即
⑦
由此，要使石头始终远离抛出点，必须有
，即α<70.5° ⑧

二、【解】（1）双星之间的相互吸引力提供它们作圆周运动的向心力，
①
得 ②
（2）若该陨石要能够脱离双星的引力场，它的动能必须大于它在该处的势能，设该陨石的质量为m，则
③
即 ④

三、【解】（1）棒子的受力情况如图所示，由力的平衡：
NA+ NB = Mg ①
fs= fk ②
A
B
NA
NB
fs
fk
Mg
由力矩平衡，选A为参考点，有
③
可得 ④
代入①可得 ⑤
（2）因为 ，，又，
于是 ，
开始时， fk= fs，随着x↑， NB↑， fk↑．
若要保持平衡，则fs必须增大，当fs达到fsnax后，此二摩擦力无法平衡．
当时，棒子开始移动． ⑥
⑦
此时 ⑧

aλ
bλ
cλ
a/2
b/2
P
x
y
四、【解】设细棒的质量线密度为，三根棒的长度分别为a、b、c，则三根棒的质心分别位于各自的中点，且质量分别为、、，我们可以将原三根细棒看做三个质量和位置均如前述的质点，则原系统的质心即为此三质点系的质心．三质点构成的三角形如图中虚线所示． ①
与的质心位于连线某点P处，按图示应有

得 ②
这表明P必在三质点构成的三角形顶角之平分线上．P与的质心即为系统的质心．后者必在此对角线上． ③
同样处理与的质心，必在相应的另一条对角线上，系统质心也必在此对角线上．
综上所述，原三角形框架的质心位于以各边中点构成的小三角形的内心之上．

五、【解】（1）如图，A点的速度为
L
O
B
A
ωL
δ
h
β
θ
α
vA=ωL ①
由△OAB可知
②
因为 β=
或
所以 ③
④
（2）因为此时绳与杆正好垂直，而OA杆作匀角速度转动，可知，即
⑤
显然重物具有最大的上升速度，即此时重物的加速度恰好为 ⑥
因此绳上的的张力为
⑦

六、【解】由题设已知，弹性绳的自由长度l0=30m，而人静止悬挂在绳上时的绳长l=50m，设人的质量为m，弹性绳的劲度系数为k，由静力平衡知
①
人在下落至绳刚好拉直前的运动为自由落体运动，故所经历的时间为 ②
不难证明，绳拉直后向下的运动为简谐运动，其平衡位置正好在人最终停下来的位置，即绳长l=50m的位置。令这一简谐运动的振幅为A，由功能关系知

得 ③
显然，绳刚好拉直时，人振动的初相位满足

即 ④
而该系统做简谐振动的周期
⑤
可知人由绳刚拉直运动到 低点所需的时间为
⑥
可知人从缆车上开始下落至第一次到达最低点所需的时间为
⑦

七、【解】⑴根据题意，第n个木块被碰以后，木块运动到斜面底端时正好停下，表明木块沿斜面做减速运动，减速运动的加速度大小为
[1]
这个加速度与质量无关，不难看出，从第1个木块下滑开始的整个过程中，每一木块除了碰撞的瞬间外，下滑的加速度的大小均为a，方向沿斜面向上．
在整个过程中，第n个木块运动的距离为l，第n-1个木块运动的距离为2l，…第1个木块运动的距离为nl，因此除了碰撞的瞬间外，各木块克服合外力做的功
[2]
整个过程中，各次碰撞损失的机械能的总和
[3]
由以上各式得
[4]
⑵ 考察质量为M、速度为v的物块与质量为m的静止木块做完全非弹性碰撞，由动量守恒定律
[5]
碰撞中损失的机械能
[6]
由[5]、[6]两式得
[7]
式中E为碰撞前的动能，由此得到每次碰撞中损失的机械能与碰撞前动能之比为 , i = 1, 2, …, n-1 [8]
⑶ 设第i次碰撞后，相撞物块的动能为Ei’，则有
[9]
第i次碰撞前的能量Ei与第i - 1次碰撞后的能量Ei-1’的关系为
[10]
由[9]、[10]两式得
[11]
若木块数n = 5，则只能发生4次碰撞，即只能取1、2、3和4，由[9]、[10]、[11]式得到
i = 1,
因为第一次碰撞前未发生碰撞，故式中
i = 2,
i = 3,
i = 4, [12]
第4次碰撞后，5个木块剩余的能量为E4’，在向斜面下端移动l距离后，这些能量全部用于克服外力做功，即
[13]
以[12]式代入并注意到，就得到
[14]
代入数据得 μ= 0.745 [15]
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