数值分析试题1.doc

数值分析考试题
一、 填空题(每小题3分，共15分)
1. 已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对
误差界_______________.
2. 已知矩阵，则A的奇异值为
3. 设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为____________.
4.
5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为
a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a)

二、(10分)设。
（1）写出解的迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。
三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，
（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。
（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。
四、(15分) 给出数据点：
（1）用构造三次Newton插值多项式，并计算的近似值。
（2）用事后误差估计方法估计的误差。
五、(15分)
（1）设是定义于[-1，1]上关于权函数的首项系数为1的正交多项式组，若已知，试求出。
（2）利用正交多项式组，求在上的二次最佳平方逼近多项式。
六、(15分) 设是的以为插值节点的一次插值多项式，
试由导出求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式
的截断误差。
七、(15分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。
数值分析答案
一、 填空题(每小题3分，共15分)1. . 2. 3. 0.002
4. 120 5.
二、（10分) 解：（1）因，故。
由迭代公式：
得
（2）上述迭代格式对应的迭代函数为，于是，
又，则有且，故此迭代格式是线性收敛的。

五、(15分)（1）设 则利用和的正交性得
故（2）首先做变量代换，将区间从变换到[-1，1]，则
对，取，有

所以
故在上的二次最佳平方逼近多项式。
六、(15分)

第一章 绪论
1．设 , 的相对误差为 ，求 的误差。
解：近似值 的相对误差为
而 的误差为
进而有
2．设 的相对误差为2%，求 的相对误差。
解：设 ，则函数的条件数为
又 ,
又
且 为2