(习题解答)习题9-2 常数项级数收敛性的判定.doc

习题 9-2
1.判断下列级数的敛散性.
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； 　　　　 （6）（）．
解：（1）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，而调和级数发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
（2）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为，而级数收敛（级数的结论）；
由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，而级数收敛（级数的结论），
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
（3）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为（），且调和级数发散；
则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，而，
所以，即，又调和级数发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
（4）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为，而级数收敛（级数的结论），
由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，而级数收敛（级数的结论），
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
（5）；
因为，而调和级数发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
（6）（）．
当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；
当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；
当时，，且级数是公比为（）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
综上，当时，级数发散；当时，级数收敛。

2. 判断下列级数的敛散性.
（1）； （2）； （3）（）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）（其中，均为正数）.
解：（1）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法）
因为，且收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，且级数收敛，
由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
（2）；
方法一：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
因为，且等比级数收敛，
由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
方法二：（利用正项级数的比值判别法）
因为，
由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（3）（）；
因为（），
而，
利用级数收敛性的结论，得
当即时级数是发散的；当即时级数是收敛的；
由正项级数的比较判别法的极限形式，得当时级数发散；当时级数收敛。
（4）；
因为，且级数收敛，
由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
注：本题不能用正项级数的比值判别法。
（5）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数发散。
（6）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（7）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（8）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（9）；
因为，
则由正项级数的根值判别法，得级数收敛。
（10）；
因为，
则由正项级数的根值判别法，得级数收敛。
（11）；
因为，
由正项级数的根值判别法，当即时级数收敛；当即时级数发散；当即时，级数可能收敛也可能发散。
3. 判断下列级数的敛散性.
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）；
（9）．
解：（1）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
(2）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（3）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（4）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（5）；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。

（6） ；
因为，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
（7）；
因为，而调和级数发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
（8）；
因为，
所以，而调和级数发散，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
（9）；
因为，
此时由正项级数的比值判别法不能得到级数的敛散性。
但是由于数列是单调递增的，且，所以，
从而，即，从而，
此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数是发散的。

4.判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
（1）；（2）；（3）； （4）；
（5）； （6）； （7）.
解：（1）；
因为发散（级数的结论），所以级数不绝对收敛；
对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛。
（2）；
因为，而，且调和级数发散，则由正项级数的比较判别法，得级数发散，即级数不绝对收敛；
对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛。
（3）；
对级数，因为，且级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较判别法，得级数收敛，即级数绝对收敛。
（4）；
因为，而，
则由正项级数的根值判别法，得级数收敛，
即级数绝对收敛。
（5）；
因为，而，且发散（级数的结论），
则由正项级数的比较判别法，得级数发散，所以级数不绝对收敛；
对交错级数，令，则，从而当时，即当时单调递减；故，又（因为，所以），
则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛，从而也收敛。故级数条件收敛。
（6）；
因为，而，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛，即级数绝对收敛。
（7）；
因为，而 ，又，
所以，即，
则由正项级数的比值判别法，得级数发散，
此时，也即，故级数发散。

5.利用级数收敛的必要条件求极限：.
解：对级数，由于，
则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。
由级数收敛的必要条件，得。