重庆大学复变函数.doc

2009 ~ 2010 学年 第 2 学期
一、 填空（每题4分，共20分）
⒈ 设 则的三角表示形式为( )
的指数表示形式为 ( )。
⒉ 向量与互相垂直的充要条件为：
3. , 则
= ( )
4.
5. ( ) (其中为的正向)
二、 计算题（共52分）
⒈ 通过计算，求 的值.(8分)

2、设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上,
且, 求的值. (10分)

3. 设函数,问当常
数取何值时, 在复平面上处处解析? (12分)

4、求以为实部的解析函数,使满足.(12分)
5. 计算积分，其中为不通过点0与1的围线.（16分）
证明题（共22分）
⒈ ①求积分 (其中), ②证明.（12分）
2. 设为非常数的整函数，又设，为任意正数. 试证明: 满足且
的必存在.（10分）
2007 ~2008 学年 第 1 学期
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1.设，则
A. B.
C. D. [ ]
2.在极坐标系下，满足关系式的点集是
A.无界的单连通区域 B.无界的多连通区域
C.有界的单连通区域 D.有界的多连通区域 [ ]
3.函数在处
A不连续 B.连续但不可导
C.可导但不解析 D.解析 [ ]
4.复数的主值为
A. B.
C. D. [ ]
5.点是函数的
A. 可去奇点 B. 三阶极点
C. 本性奇点 D. 一阶极点 [ ]
6.级数的敛散性为
A. 绝对收敛 B. 条件收敛
C. 发散 D. 不确定 [ ]
7.设幂级数在处收敛，则在处
A.条件收敛 B. 发散
C.绝对收敛 D.收敛性不确定 [ ]
8.点是函数的阶极点，则
A. B.
C. D. [ ]
9.设在点处解析，，则
A. B.
C. D. [ ]
10.若的傅立叶变换为，即F ，则F
A. B.
C. D. [ ]
二、填空题（每小题2分，共10分）
1．满足关系式的
2．所表示的曲线的直角坐标方程是 .
3．复数 .
4．复数的辐角主值为 .
5．函数的拉普拉斯变换为 .
三、计算题（每小题8分，共48分）
1．设的辐角为，的辐角为，求
2. 设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。
3．计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。
4．验证为调和函数，并求出以为自变量的解析函数，使得
5．将函数在以为中心的所有圆环域内展开成罗朗级数.
6．求函数的傅氏变换及其积分表达式。
四、应用题（共15分）
1．（7分）利用留数计算
2．（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。
五、证明题（共7分）
若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数.
2005年六月复变函数积分变换评分标准
一、 填空题（每小题3分、共30分）
1、
2、若，则
3、=
4、在全复平面内处处不
5、积分=
6、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径
7、在的留数是
8、映射将平面上的直线映射平面上的
9、=
10、设ℒ=，且，则ℒ=
二、（10分）设，且满足，试证是常数
三、（10分）证明为调和函数，并求以为虚部的
五、（10分）计算积分
六、（10分）计算积分
七、（10分）求=的付氏变换，并证明
八、（10分）用拉氏变换求定解问题： 的解

复变函数与积分变换A答案2007-12-19

一、单项选择题（每小题2分，共20分）1-10ADCBBBCBBC
二、填空题（每小题2分，共10分）
1．满足关系式的 。
2．所表示的曲线的直角坐标方程是 。
3．复数 。
4．复数的辐角主值为 。
5．函数的拉普拉斯变换为 。
三、计算题（每小题8分，共48分）
1．设的辐角为，的辐角为，求
解：，

利用复数的相等得：
所以
2设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。
解：（1）若与均不在内，则在内解析，
（2）与只有一个在内，则柯西积分公式知：

（3）与均在内，作充分小。
则
3．计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。
解：，故

4．验证为调和函数，并求出以为自变量的解析函数，使得
解：，同理可得
所以，为调和函数（除原点外） （3分）
（3分）
故
利用解得，从而 （2分）
5．将函数在的所有圆环域内展开成罗朗级数.
解：函数在的圆环域有：（1），（2） （2分）

（1）（3分）
（2） （3分）

6．求函数的傅氏变换及其积分表达式。
解：
（4分）

（利用被积函数的奇偶性）（4分）
四、应用题（共22分）
1．（7分）利用留数计算
解：先计算
是在上半复平面内的2阶极点

故
2．（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。
解 记，方程两边施行Laplace变换，得

代入初始条件并解出，得。因孤立奇点均为的1级极点，所以

。

五、证明题（共7分）
若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数.
证明 设 ，，
由已知常数，即有，其中为常数。
上式中两端分别对、求偏导，可得

因为是区域内的解析函数，则在内有
、，
从而有 注意，
则齐次线性方程组只有零解，即在内，
由条件，在内也有，
从而在内、均为常数，所以在内是常数．

2005年六月复变函数积分变换评分标准
一、 填空题（每小题3分、共30分）
1、
2、若，则
3、= 16
4、在全复平面内处处不 解析
5、积分= 0
6、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径 2
7、在的留数是 1
8、映射将平面上的直线映射平面上的 圆
9、= 0
10、设ℒ=，且，则ℒ=
二、（10分）设，且满足，试证是常数
证明 因为=解析，所以，． （2分）
由得到， （2分）
于是 （2分）
此时的导数==0， （2分）
故是常数． （2分）
三、（10分）证明为调和函数，并求以为虚部的
证明， （2分）
因为的二阶偏导数连续且，所以为调和函数 （2分）
解 = （2分）
（2分）
由得到= （2分）
四、（10分）将函数在圆环区域内展开成洛朗级数
解 当时， （3分）
= （3分）
=， （4分）
五、（10分）计算积分
解： 分别是=的一级、二级极点， （3分）
， （3分）
， （3分）
原式= （1分）
六、（10分）计算积分
解 令，， （2分）
= （2分）
==在的孤立奇点为． （2分）
=， （2分）
原式=． （2分）
七、（10分）求=的付氏变换，并证明
解 ， （6分）
= （2分）
=，
故 （2分）
八、（10分）用拉氏变换求定解问题： 的解
解：设ℒ[]= （2分）
对方程的两边进行拉氏变换得到
+4+3= （4分）
, （2分）
. （2分）
2010年复变函数试题
一、 填空（每题4分，共20分）
⒈ 设 则的三角表示形式为2（），
的指数表示形式为 。
⒉ 向量与互相垂直的充要条件为： 或者
3. , 则
=
4. 1
5. (其中为的正向)
二、 计算题（共52分）
⒈ 通过计算，求 的值.(8分)
解：
= ------------4分
于是 （*）
若取，则由（*）式得
，即 --4分

2、设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上,
且, 求的值. (10分)
解:
-----1分

---------3分
解之得
---------2分
--------2分
--------2分

3. 设函数,问当常
数取何值时, 在复平面上处处解析? (12分)
解:令 --------2分
由于在复平面上处处解析,故满足C—R条件. ----2分
-------------2分
即:
-------------4分
由于对所有x,y成立,故解之得:
-------------2分

4、求以为实部的解析函数,使满足.(12分)
解:设.由于在复平面上处处解析,故满足C—R条件
----------2分

----------2分
------2分
从而，所以.--------1分
由于，所以有 ------2分
，-----------------------1分
所以有

-----------2分

5. 计算积分，其中为不通过点0与1的围线.（16分）
解: 分别就的种种可能情形计算此积分。
(1)若与均在的外部，则被积函数在以为边界的闭区域上解析。由柯西积分定理知
-------------4分
（2）若在的内部，而在的外部，则由复围线的柯西积分定理有

---------- 4分
其中是以为心且包含在内部的任意小圆周。
（3）若在的内部，而在的外部，同理有

其中是以为心，且包含在内部的任意小圆周 -------- 4分
（4）若与均在的内部，则由复围线的柯西积分定理有

------------4分

三、 证明题（共22分）
⒈ ①求积分 (其中), ②证明.（12分）
① 证明:因为在在内解析,所以=0 -------3分
②
-------------2分
------1分
-------2分
-------------2分
由证明①知=0，所以: -------------2分
2. 设为非常数的整函数，又设，为任意正数. 试证明: 满足且
的必存在.（10分）
证明: 采用反证法，假设满足且的不存在，则必存在某正数，，对于任何的，时，。又由的连续性，当时. ------------5分
令，则在整个Z平面上。于是由刘维尔定理， 必为常数，故矛盾，从而得证。 ------------5分