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点集拓扑学

合肥工业大学数学学院

预备知识
1.点集拓扑的定义
《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源
点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍
（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版
（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版
（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版

第一章 集合论初步

在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念
集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．
集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作。此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．
用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式
｛x︱关于x 的一个命题P }
表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x构成的集合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“: ”或分号“; ”来代替．此外，也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．

我们常用：
N 表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；
Z 表示全体整数构成的集合，称为整数集；
Q 表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；
R 表示全体实数构成的集合，称为实数集。

我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念。

定义1.1.1设X和Y 是两个集合．集合称为X与Y 的笛卡儿积，记作，读为X叉乘Y 。其中是一个有序偶，称为的第一个坐标，称为的第二个坐标．X称为的第一个坐标集，Y 称的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积称为X的2 重（笛卡儿）积，通常简单记作. （有序偶的定义请参考书本）
1.2 集合的基本运算
（略。。。）
1.3关系
定义1.3.1 设X，Y是两个集合，如果R 是X与Y 的笛卡儿积 的一个子集，即，那么就称R 是从X到Y 的一个关系。如果，那么我们称x与y是R相关的，并且记作．若，则Y的子集

称为集合A 对于关系R 而言的象集，或者简单地称为集合A 的象集，或者称为集合A 的R 象，并且记作，称为关系R 的值域．
关系的概念是十分广泛的，大家很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．
定义1.3.2 设R 是从集合X到集合Y 的一个关系，即，这时笛卡儿积的子集是从集合Y 到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作。如果，X的子集是集合B 的象，我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象。特别，关系的值域也称为关系R的定义域．
定义1.3.3设R 是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，称关系为关系R与关系S的复合或积，记作SOR.
定理1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．则
( l ) ；
( 2 ) ；
( 3 )
另外，对于X的任意两个子集A和B，我们有：
（4）；
（5）；
（6）.
定义1.3.5 集合X中的一个关系R称为集合X中的一个等价关系，如果它满足：
（1）自反性，即，或者；
（2）对称性，即若，则，或者；
（3）传递性，即若则，或者.
1.4 映射

定义1.4.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．若对于每一个，存在唯一的一个使得，则称F 是从X到Y的一个映射，并且记作.
定义1.4.2 设个集合。从笛卡尔集到它的第个坐标集的投射（或称第个投射）定义为对每一个，.
定义1.4.3 设R 是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X／R 的自然投射定义为对于每一个.

第二章 拓扑空间与连续映射

2.1 拓扑空间与连续映射
从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等。
2.2 度量空间与连续映射
首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数被称为在点处是连续的，如果对于任意实数，存在实数，使得对于任何，当时，恒有.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．
定义2.2.1 设X是一个集合，是映射．如果对于任何，有
(1) 正定性，，并且当且仅当；
(2) 对称性，；
(3) 三角不等式，.
则称是X上的一个度量。
若是集合X上的一个度量，则称偶对是一个度量空间，或称X是一个具有度量的度量空间．当度量早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X是一个度量空间．此外，对于任意两点，实数称为点和点之间的距离．
例2.2.2 实数空间.
对于实数集合R，定义如下：对于任意,令

容易验证是R的一个度量，因此偶对是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量称为R的通常度量，并且常常略而不写，简称R为实数空间．
例2.2.3 维欧式空间.
对于实数集合R的n重笛卡尔集，定义如下：
对于任意的，令
.
容易验证是的一个度量，因此偶对是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量称为的通常度量，并且常常略而不写，而称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．
例2.2.4 Hilbert空间
记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：

定义如下：对任意的，

容易验证是H的一个度量，偶对（H，）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert空间。这里定义的度量称为H的通常度量，并且常常略而不写，而称H为Hilbert空间．
例2.2.5 离散的度量空间
设(X, )是一个度量空间．称(X, )是离散的，或者称是X的一个离散度量，如果对于每一个，存在一个实数使得对于任何，都有.例如我们假定X是一个集合，定义使得对于任何，有：

容易验证是X的一个离散度量。因此度量空间(X, )是离散的。
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．
定义2.2.6 设(X, )是一个度量空间，对于任意给定的实数，定义

称为以为中心，为半径的球形邻域，简称为的一个邻域。
定理2.2.7 度量空间(X, )的球形邻域具有以下基本性质：
（1） 每一点x至少有一个球形邻域U，并且点x属于它的每一个球形邻域；
（2） 对于点x的任意两个球形邻域U，V，存在x的一个球形邻域W同时包含于U与V中；
（3） 如果y属于x的某一个球形邻城U，那么y有一个球形邻域.
证明：（1）设，对每一个实数，是的一个球形邻域，这说明至少有一个球形邻域；由于，故属于它的每一个球形邻域。
（2）设是的两个球形邻域，任意选取实数，使得，则易见，即满足要求。
（3）设,令.显然，，若，则

所以，这就证明了.
定义2.2.8 设A 是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每个，都存在实数使得，那么称A是度量空间X中的一个开集．
例2.2.9 实数空间R中的开区间都是开集．
设，则开区间是R中的一个开集。这是因为
如果令，则.
同样容易证明无限的开区间都是R中的开集。而闭区间却不是R中的开集。因为对于以及任何，都不成立。类似地，半开半闭区间以及无限区间和都不是R中的开集。
定理2.2.10度量空间X中的开集具有以下性质：
(1)集合X本身和空集都是开集；
(2)任意两个开集的交是一个开集；
(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．
证明：(1)根据定理2.2.7(1)，X中每个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
(2)设U和V是X中的两个开集．如果，那么存在x的一个球形邻域包含于U，同时也存在x的一个球形邻域包含于V．根据定理2.2.7(2)，x有一个球形邻域同时包含于和，因此:

由于中的每一点都有一个球形邻域包含于，所以是一个开集．
( 3 ）设A是一个由X中的开集构成的子集族，如果A,那么存在A使得．由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于A．这证明A是X中的一个开集．
此外，根据定理2.2.7，每一个球形邻域都是开集．
为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.

定义2.2.11 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：，那么称U是点x的一个邻域．

经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间,除了a点以外，该区间是其中任意一点的邻域。

下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．

定理2.2.12 设x是度量空间X中的一个点，则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U .
证明：如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V使得，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U，这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．

现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．
首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义：
函数称为在处是连续的
使得，当时，恒有
使得，当时，恒有

使得，恒有
使得
定义2.2.13 设X和Y是两个度量空间，是映射且．若对于的任何球形邻域，都存在的某个球形邻域使得

则称映射在点处是连续的．
若映射在X的每一个点x处连续，则称是一个连续映射．

以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。

定理2.2.14 设X和Y是两个度量空间，是映射且．则下述条件(1)和(2)分别等价于条件 和：
(1) 在点处是连续的；
的每一个邻域的原象是的一个邻域；
(2) 是一个连续映射；
Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．
证明：(1) 设(1)成立．令U为的一个邻域，由定理2.2.12 , 有球形邻域包含于U．由于在点处是连续的，故有一个球形邻域，使得．又，故
这证明是的一个邻域。
(1)设成立，则对任意给定的的球形邻域，是的一个邻域，根据定理2.2.12, 有一个球形邻域包含于．因此．这证明在点处连续．
(2) 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且.，我们有．由于V 是一个开集，所以V 是的一个邻域．由于在每一点处都连续，故根据可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集使得，易见．由于每一个都是开集，根据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．
(2) 设（2）成立．对于任意，设U是的一个邻域，即存在包含的一个开集．从而．根据,我们知道是一个开集，所以是x的一个邻域，因此对于x而言，成立，于是在点x处连续。由于点x是任意选取的，所以是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.2.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理2.2.10 ）出发来建立拓扑空间的概念．

定义2.3.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．如果T 满足如下条件：
(1)T ；
(2)T T ；
(3) T T {A:AT }T .
那么称T 是X的一个拓扑．如果T 是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间。此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T ）中的一个开集．

现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U属于T ”读做“U是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．

定义2.3.2 设（X，）是一个度量空间．令T 为由X中的所有开集构成的集族，根据定理2.2.10，T 是X的一个拓扑．我们称T 为X的由度量诱导出来的拓扑，此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，）的拓扑时，指的就是拓扑T ；在称度量空间（X，）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T ).
因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子．
例2.3.3 平庸空间．
设X是一个集合．令T =，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．

例2.3.4离散空间．
设X是一个集合，令T ＝，即T 是由X的所有子集构成的族．容易验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集．

例2.3.5 设X＝{ a , b , c } ．令
T ＝{, {a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．

例2.3.6 有限补空间．
设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为．令
T =
可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．

例2.3.7可数补空间.
设X是一个集合．令
T =
可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．

例2.3.8 对于实数集合R来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T 、离散拓扑T 、欧氏拓扑T 、有限补拓扑T 和可数补拓扑T ．它们的关系是：
T T T （T ） T
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？

定义2.3.9 设（X，T ）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量使得拓扑T 是由度量诱导出来的拓扑，那么称（X，T ）是一个可度量化空间．

根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？由2.1节的习题2,3可以知道，事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．受2.1节中的定理2.2.14的启发，我们能够给出下面定义：

定义2.3.10 设X和Y 是两个拓扑空间，．如果Y中每一个开集U的原象是X中的一个开集，那么就称是从X到Y的一个连续映射，或简称映射连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X和Y 是两个度量空间时，如果是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．

定理2.3.11 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1）恒同映射是一个连续映射；
(2）如果和都是连续映射，则也是连续映射．
证明:（l）如果U 是X的一个开集，则当然也是X的开集，所以连续．
(2）设和都是连续映射．如果W是Z的一个开集，由于连续，是Y 的开集；又由于连续，所以是X的开集，因此

是X的开集．这证明连续．
在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．

定义2.3.12 设X和Y 是两个拓扑空间，如果是一个一一映射，并且和都是连续的，则称是一个同胚映射或同胚．
定理2.3.13 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(l）恒同映射是一个同胚；
(2）若是一个同胚，则也是一个同胚；
(3）若和都是同胚，则也是一个同胚．
根据定理2.3.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
如果某一个拓扑空间具有某种性质P，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P，我们就称此性质P是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
至此我们已经将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．

2.4 邻域与邻域系
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们在2.2节中先定义了整体连续．
在定理2.2.14中我们已经发现，考虑映射在某一点处的连续性的定义，只要有一个适当的称之为“邻域”的概念。而在2.1节中定义度量空间的邻域时只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念，然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．

定义2.4.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，．X的一个子集U称为x的一个邻域，如果存在一个开集V 使得. 点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．

借助于邻域我们可以给出了开集的刻画如下：

定理2.4.2 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要,U便是x的一个邻域．
证明： 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性，设，根据定理中的条件知，对于每一个，存在一个开集，使得．因此

故，根据拓扑的定义，U是一个开集．
下面定理概括了邻域系的基本性质：
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记为点的邻域系，则
(Nl） 且；
(N2）；
(N3) 且；
(N4）如果，那么存在使得且，都有．
下面定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用，并且这种做法或许还显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁。

定理2.4.4 设X是一个集合，且对于每一点指定X的一个子集族，并且它们满足定理2.4.3 中的条件（Nl）一（N4).则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点，子集族恰是点x在拓扑空间（X，T ）中的邻域系．
证明： 令
T
下面验证T 是X的一个拓扑.
(1) 显然T ；
(2) 设T ，若，则，由定理2.4.3中的（N2）知，，因此T .o
(3) 设T T ，若{A:AT },则存在UT ，使得.由于T ，所以；又{A:AT }，根据定理2.4.3中的（N3），有{A:A T }，这就证明了{A:A T }T .
现记任意一点的邻域系为，下面证明.
设，由定理2.3.4中的（N4）可见存在使得T 且.由定理2.4.3中的条件（N1）和（N3）得，因此.
另一方面，设，则存在T 使得.由以及定理2.4.3中的（N3）知.这又证明了.因此.到此证明了邻域系的唯一性。
现在将度量空间之间在一点处的连续的映射概念推广到拓扑空间之间的映射中。
定义2.4.5设X和Y是两个拓扑空间，，.如果的每一个邻域U的原象是x的一个邻域，那么就称是一个在x处连续的映射，或简称映射在点x处连续．
类似于定理2.3.11我们也有下面定理：
定理2.4.6 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1）恒同映射在每一点处都是连续的；
(2）如果在点处是连续的，在处连续，则在处是连续的．

下面定理建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系。
定理2.4.7 设X和Y是两个拓扑空间，则映射连续当且仅当它在每个点处连续.
证明：设映射连续，，若U是的邻域，则存在开集V，使得，于是，有由于是开集，故是x的邻域，这就证明了在x处是连续的。
设对于每一个，在处连续。若U是Y中的一个开集，则对于每一个点，U是的一个邻域，因此是x的邻域，所以是开集，这就证明了是连续的。
2.5 导集、闭集、闭包
如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．

定义2.5.1 设X是一个拓扑空间，．如果点x的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集，记作，如果并且x不是A的聚点，即存在x的一个邻域V，使得那么则称x为A的一个孤立点。

在上述定义之中，凝聚点，导集，以及孤立点的定义无例外都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑，因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到例如凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言．

大家可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，对一般的拓扑空间都有效。以下两个例子可以帮助大家澄清某些不正确的潜在印象。
例2.5.2 离散空间中集合的凝聚点和导集．
设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集。由于X中的每一个单点集都是开集，因此若，则x有一个邻域｛x｝使得，于是x不是A的聚点．这表明.
例2.5.3 平庸空间中集合的凝聚点和导集.
设X是平庸空间，A是X中的一个任意子集，我们分三种情形讨论：
1.．这时A显然没有任何一个聚点，亦即.
2.A 是一个单点集，令．如果且，那么点x只有唯一的一个邻域X，这时，因此. 然而对于的唯一邻域X,有．于是.所以.
3. A包含着多于一个点．此时.(请同学们自己证明)
有了导集的概念后，我们就可以定义闭集了．

定义2.5.4 设X是一个拓扑空间，．若A 的每一个聚点都属于A，即，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．

例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．

定理2.5.5 设X是一个拓扑空间，．则A是闭集当且仅当A的补集是开集．
证明：设A是一个闭集，若，则，于是x有一个邻域U使得，从而．这表明, 即是x的邻域．因此是开集．
设是开集．若，则是x的邻域．由可以知道．因此，,即A是闭集．
例2.5.6 实数空间R中作为闭集的区间．
设．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a,b]的补集是一个开集．同理，都是闭集，更是一个闭集，其他区间都不是闭集．

定理2.5.7设X是一个拓扑空间．记F 为所有闭集构成的族．则
(l) F ；
(2）F 对有限并封闭；
(3）F 对任意交封闭．

例2.5.8 Cantor集是实数空间R中的一个闭集．
先定义映射：使得对于任何，有
.
容易验证都是同胚映射，因此对于任意开集U，都是开集。
下面按照归纳原则定义一系列开集
令；对于任何，定义

则；；…
令，它是可数个开集的并，当然是一个开集。容易验证，令

C称为Cantor集或标准Cantor三分集，它是一个闭集。
定义2.5.9 设X是一个拓扑空间，集合与它的导集的并称为集合A的闭包，记作.
容易看出：当且仅当对于x的任何一个邻域U，有.
定理2.5.10 拓扑空间X的子集A是闭集的充分必要条件是.
证明：集合A为闭集当且仅当当且仅当.
下面定理给出了闭包运算的性质。
定理2.5.11 设X是一个拓扑空间，则，有
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
证明：（1）和（2）是显然的。（3）成立，因为
===；
（4）成立，因为
==.
定理2.5.12 拓扑空间X的任何一个子集A 的闭包都是闭集．
定理2.5.13 设X是一个拓扑空间，F 是由空间X中所有闭集构成的族，则对于X的每一个子集A ，有
{F }
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．
给定集合X的一个拓扑T ，X的一个子集对应它的闭包可以看作是一个映射，或者是一个一元运算，它被叫做闭包算子。下面我们考虑拓扑和闭包的关系。
定义2.5.14 设X是一个集合．映射被叫做一个闭包算子，如果它满足下面四个条件：,
(l）;
(2) ;
(3）;
(4）.
定理2.5.15设X是一个集合，是集合X的一个闭包算子，则存在X的唯一一个拓扑T ，使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个，有.
证明：我们证明X的子集族
T =便是满足定理要求的那个唯一的拓扑。首先验证T 是X的一个拓扑。
(1)根据(1)我们知道，因此T ．根据（2）我们知道，因此，于是T ．
(2)设T ，则，再由(3),

因此，T .
（3）T T ，即X的子集族T 满足条件：对任意的AT ，有.于是
T }））=T }）T }
T }=T }）
因此，T }T .
假设F 是X的另一个满足定理要求的拓扑，也就是说，任何一个集合A在拓扑空间(X, F )中的闭包也是c（A)．此时易见，一个集合在拓扑空间（X，T ）中是闭集当且仅当它在拓扑空间(X, F )中是闭集．这说明T ＝F ．

（关于的证明）
由于，因此，T ，故为闭集，。由（2）知：
因此。另外一方面，，由此可得，.
(由于为闭集，故的补集是开集，肯定属于T ，根据T 的定义可知.

在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画.
定义2.5.16设(X,d)是一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离定义为

据下确界的性质以及邻域的定义易见：当且仅当对任意，存在使得，换言之即是：对于任意，有，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U，有，应用以上讨论立即得到：
定理2.5.17 设A是度量空间(X,d)中的一个非空的子集，则
（1）当且仅当；
（2）当且仅当；
（3）当且仅当；
引理2.5.18设A是拓扑空间（X，T ）中的一个非空子集，则

定义2.5.19 设X是一个集合．映射被叫做一个导（集）算子，如果它满足下面四个条件：，
( l ）；
( 2 ）；
( 3 ）；
( 4 ）.
定理2.5.20 设X是一个集合，是集合X的一个导算子，则存在X的唯一一个拓扑T 使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个，有.
证明:首先证明X的子集族T =便是满足定理要求的那个唯一的拓扑。
1.首先验证T 是X的一个拓扑.
(1)根据(1)我们知道，因此T ．根据（2）我们知道，因此，于是T ．
(2)设T ，则，再由(3),

因此，T .
（3）设T T ，即X的子集族T 满足条件：对任意的AT ，有.于是
T }））=T }）T }
T }=T }）
因此，T }T .
2.现在来证明，由

可知是(X, T )中的闭集，于是，而由可知（性质3），从而，故.
3.设，下面证明.

注：
唯一性显然。

以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．
定理2.5.21 设X和Y 是两个拓扑空间，．则以下条件等价：
( 1 )是一个连续映射；
( 2 )Y中的任何闭集B的原象是X中的闭集；
( 3 )对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包，即；
( 4 )对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即
证明：设B是Y的闭集．则是开集，因此根据（l ),是X中的开集，因此是X中的闭集．
()
设．由于，所以我们有.因为是Y 中的闭集，根据（2）, 是X中的闭集．因此有从而：.
设，对于集合，应用（3）可得，因此.
设U是Y中的一个开集．则是Y中的闭集．对此集合应用（4）可见．这说明是一个闭集，所以是开集．
（）

2.6 内部、边界
在前一节中我们讨论了在拓扑空间中由一个给定集合如何引出一些与之密切相关的集合，如导集，闭包等．本节继续这个话题．
定义2.6.1 设X是一个拓扑空间．如果A是点x一个邻域，即存在开集V使得，则称点x是集合A的一个内点，集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部，记作.
定理2.6.2 设X是拓扑空间，．则．因此.
证明：设，则，于是存在x的一个邻域U，使得．从而，故，这证明．
另一方面，若，则存在x的一个邻域V，使得，从而，故，也即，故.这就证明了.
以上只证明了定理中的第一个等式．要证明定理中的第二个等式，只需将第一个等式中的A换成，并将所得到的等式两边取补集即可．
关于内部的基本性质，我们有与闭包的性质完全对偶的一组定理，这些定理的证明过程都是将闭包的相应性质通过上面定理转化为内部的性质．
定理2.6.3 拓扑空间X的子集A是开集的充分必要条件是.
定理2.6.4 设X是一个拓扑空间．则对于任意，有
( l ）；
( 2 ) ；
( 3 ) ；
( 4 ) .
定理2.6.5 拓扑空间X的任何一个子集A的内部都是开集．
定理2.6.6 设(X, T )是一个拓扑空间，则对于X的每一个子集A，有
T ：}，即集合A 的内部等于包含于A 的所有开集之并．
与我们在前一节中处理闭包运算时的情形一样，求取一个集合的内部也可以理解为从拓扑空间X的幂集到自身的一个映射，它将每一个映射为，也同样可以象定义闭包运算一样定义内部运算，并由内部运算导出拓扑和拓扑空间的概念。
定义2.6.7 设X是一个拓扑空间，．称为是集合A的一个边界点，如果在x的任何一个邻域U中既有A中的点又有中的点，即既有，又有．集合A的全体边界点构成的集合称为集合A的边界，记作．

闭包，内部，边界之间存在种种联系，我们列举一部分如下：
定理2.6.8 设X是一个拓扑空间，．则

练习
1、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
2、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
3、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
4、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
5、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
6、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
7、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ③
8、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ①
9、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ④
10、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ② ③ ④ 答案：①
11、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若,则