基本不等式中“1的妙用”.doc

基本不等式中“1的妙用”

一、考法解法
命题特点分析
此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式的值已知，求另一个代数式‚的最小值，其中两个代数式一个是整式，一个是分式，当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃
主要是凑出可以使用基本不等式的形式：的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析
例题1：（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，，求的最小值；
（3）已知，，求的最小值；
（4）已知，，求的最小值；
【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。
【答案】（1）
当且仅当即时取等号
（2）
当且仅当即时取等号
（3）
当且仅当即时取等号
（4）因为，所以，然后
当且仅当即时取等号

例题2：（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，，求的最小值；
（3）已知，，求的最小值；
（4）已知，，求的最小值；
【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。
【答案】
（1）整式变形成，

当且仅当取等号
（2）

然后求当时，代数式的最小值
（3）整式变形成，求代数式最小值
（4）假设分式变形为的形式，保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比，即，，分式变形为
整式变形为，然后求的最小值。
例3：（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，，求的最小值；
【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。
【解析】
（1）当且仅当时取等号
（2）因为，然后求的最小值

三、达标与拓展
基础过关（第1—5题）
1．若正数，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解析】正数，满足，
，
，
当且仅当时取等号
即的最小值是
【答案】C.
2. 已知均为正实数，且，则的最小值为 ．
【解析】试题分析：，
当且仅当即时，等号成立，即的最小值是．
【例1】 3. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【【解析】因为是与的等比中项，所以

【答案】B．
4．已知__________.

【解析】令解得

当即取等号.
5. 已知实数，满足，则的最大值为 ．
【解析】实数，满足，
，
，
解关于的不等式可得，
故答案为：．
智能拓展（第6—10题）
6. 已知，，，则取到最小值为 ．
【解析】试题分析：令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．

7.已知正数满足则的最小值为
【解析】
则，令，即， 恒成立，由得，
8. 若正数满足，则的最小值为 .
【解析】=
令，则，即，
原式=
9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ，当取到最大值时 .
【解析】恒成立问题，求的最小值，即为“1的替换”
答案为：，；
10. 在边长为1的正三角形中，且，则的最小值等于 .
【解析】这是结合向量来解的一个题目，的最小值为.

6