第2章模糊关系.doc

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第二章 模糊关系与模糊关系合成
第一节 模糊关系

在第一章中我们介绍过“关系”的概念，那是指事物之间一种完全清晰的关系，即直积中序偶（x,y）的第一个元素与第二个元素之间，要么存在关系R，要么不存在关系R，不存在其他情形。但是实际事物中却大量存在另一类型的关系，这种关系不能简单地用“有”或“无”作肯定或否定回答，因此可以考虑运用模糊关系加以描述，即在直积空间中各元素之间，可以在不同程度上具有我们所指的某种关系，也就是说，对于这种关系允许有中间过渡性。例如，用X，Y表示两类人的集合，那么对于“亲密关系”而言，X,Y的各成员之间具有这种关系就不会那么清晰，允许存在由亲密到不亲密的中间过渡状态，若以表示具有“亲密关系”的元素序偶组成的集合，则序偶对于的隶属关系就不象清晰关系那样非有即无，如果以表示这种隶属程度，则可以取[0，1之间的任何数值。
一、模糊关系定义
设X，Y为两个非空集合，则称直积X×Y中的一个模糊子集是X到Y的一个二元模糊关系，可表示为

模糊关系是由其隶属函数
：X×Y→[0，1] （表示从X×Y到[0，1]的一个映射）完全刻划。
对 (x ,y)∈X×Y，（x,y）→∈[0，1]
其中表示（x,y）具有关系的程度。
当X=Y 时, 称为“在X上的二元模糊关系”。
注意在表示模糊关系时，序偶（x,y）的顺序不能颠倒。
二、模糊关系表示法
当论域是有限域时，一个模糊关系可以用图形或数来表示，这里主要介绍最常用的矩阵表示法，称这种矩阵为模糊关系矩阵。
例1 设论域A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
从A到B的模糊关系定义为“a比b小得多”，则此关系可用下表给出：
表2-1 a比b小得多

隶属度μR
B
1
2
3
4
5

1
0
0
0.5
0.8
1
A
2
0
0
0
0.5
0.8
3
0
0
0
0
0.5
或者表示成为如下的关系矩阵：

例2 设论域X={x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5}是五个人的集合，X上的一个模糊关系定义为他们之间“面貌相象”关系，则此关系可用模糊矩阵表示如下：

根据上面所举例，我们给出模糊关系定义
设论域X={x1 ，x2 ，x3 ，…， x m}
Y={ y1 ，y2 ，y3 ，…， y n }
则从X到Y的模糊关系R可以用矩阵表示

称为模糊关系矩阵，
其中，1≤ i ≤m ，1≤ j ≤n ， x i ,x j ∈X 。
若是X上的模糊关系，则称为n×n的方阵。
三、模糊关系的性质
1．自反性
设是X上的模糊关系，对x∈X，必有，则称是有自反性的模糊关系，例如相象关系具有自反性。
2．非自反性
设是X上的模糊关系，对x∈X，必有，则称是非自反性的模糊关系，例如仇敌关系是非自反的。
3．对称性
设是X上的模糊关系，对x∈X，y∈X，必有，则称具有对称性
4．设是X上的模糊关系，对x∈X，y∈X，要么，要么，则称是 X上的非对称模糊关系，例如大于关系就是非对称模糊关系。
5．传递性
设是X上的模糊关系，对x,y,z∈X，若

则称是 X上的有传递性的模糊关系，例如“大得多”关系就是传递性的模糊关系。
采用矩阵形式，就可以更方便地显示模糊关系的性质。设是X上的模糊关系，则我们有下列结论：
⑴ 具有自反性，则的主对角线上元素皆为1。
⑵ 具有非自反性，则的主对角线上元素皆为0。
⑶ 具有对称性，则是对称方阵，即，其中是的转置矩阵。
⑷ 具有非对称性，则中关于主对角线对称的任意两个元素不相等或这两个元素皆为0。
6．模糊关系运算
我们已经看到，一个模糊关系就是一个模糊集合，于是对模糊关系的运算就是对模糊集合的运算，运算的结果就是模糊关系式，X上的模糊关系之间有并、交、补、包含、相等的基本运算，定义如下：
⑴ 相等
，对x∈X，y∈X，必有
⑵ 包含
，对x∈X，y∈X，必有
⑶ 并
，对x∈X，y∈X，必有
⑷ 交
，对x∈X，y∈X，必有

⑸ 补
对x∈X，y∈X，必有
⑹ 恒等
X上的模糊关系称为恒等关系，记为，定义为

⑺ 全称关系
X上的模糊关系称为全称关系，记为E，定义为
。
四、模糊关系的矩阵运算方式
有了模糊关系矩阵，则模糊关系运算可以用矩阵运算来表示

1．相等
，
2．并
设 ， 则

3．交
设 ， 则

4．补
设 ，则

例3 设
求 ， ，
解：

第二节 模糊关系合成
所谓模糊关系合成，是指模糊关系之间的一种运算关系，既然模糊关系使用矩阵表示直观方便，因此模糊关系合成也可以采用矩阵运算进行。

一、模糊关系合成
定义1 设是从集合X到Y的一个模糊关系，是集合Y到Z的一个模糊关系，所谓对的合成，是指从X 到Z的一个模糊关系，记为，它具有隶属函数：
∨∧
其中符号∨表示取大运算，符号∧表示取小运算
若是X上的模糊关系，则可以记为
，
定义2 设,,
设是从集合X到Y的一个模糊关系，是集合Y到Z的一个模糊关系，相应的模糊矩阵分别为： 、 ，则称矩阵

是 、的模糊积，或称是与的合成。
由上述定义可知：模糊关系与模糊关系的合成可以用矩阵表示成为

例1 设 ，求
解：

例2 设
求
解：
例3 某家庭中，子女与父母面貌相似关系用表示，父母与祖父母面貌相似关系用表示，具体表示如下：
父 母 祖父 祖母
子 0.8 0.2 父 0.5 0.7
女 0.1 0.6 母 0.1 0
求子女与祖父母面貌相似关系？
解：写成矩阵关系

把它们还原为模糊关系就是：
祖父 祖母
子 0.5 0.7
女 0.1 0.1
也就是说，在该家庭中，孙子与祖父、祖母的相似程度分别是0.5与0.7，孙女与祖父、祖母的相似程度只有0.1，仔细回味生活中这个例子，我们就能明白现实生活中模糊矩阵相乘时先取小后取大的现实根据，有人认为取大取小是模糊数学的特别美妙之处。
二、模糊乘法的性质
1．结合律

推论：
2．对并的分配律

但是对于交，其分配律未必成立

3．（为单位矩阵）
4．包含
，
，
，
第三节 模糊相似关系、模糊等价关系与λ— 截关系

一、模糊相似关系
模糊相似关系是一类有价值的特殊关系，它的特点是在论域中任何一个元素自身与自身完全具有所指的关系，并且如果元素甲与元素乙在同样程度上具有这种关系，故可以概括为如下定义。
定义3 若X上的模糊二元关系满足：
1．自反性----对x∈X ，
2．对称性----对(x,y) ∈X ，
则称为X上的模糊相似关系。
例如面貌相象关系便是模糊相似关系。
若用模糊关系矩阵来表示模糊相似关系的话，则这矩阵中主对角线上元素为1，这说明模糊关系具有自反性，这矩阵中的元素是关于主对角线对称，即

例如下面的模糊关系矩阵就具有上面所述的性质。

表示的关系是模糊相似关系，且为相似矩阵。
二、模糊等价关系
定义4若X上的模糊相似关系满足传递性：

则称为X上的模糊等价关系。
传递性的实质是 。
因为模糊关系可以由模糊关系矩阵表示，因此一个模糊等价关系也可以由模糊关系矩阵表示，一个模糊关系是否等价可以由其模糊关系是否等价来判断，而模糊等价矩阵的定义如下：
定义5 若相似矩阵满足

则称为等价矩阵。
例4 下面的矩阵为模糊相似矩阵，验证它是模糊等价矩阵。

因为
故所以它是模糊等价矩阵。
要构造一个模糊等价关系，只需要构造一个模糊等价矩阵即可。
下面介绍构造模糊等价矩阵的方法，它也表示了模糊相似矩阵与模糊等价矩阵之间的关系。
1．首先给出一个模糊相似矩阵
2．作出自身的复合
3．若首次出现
则为一个模糊等价矩阵。
例5 由下面的模糊相似矩阵构造模糊等价矩阵

解：

故为所求的模糊等价矩阵，其对应的模糊关系也就是模糊等价关系。
定理1 设为有限域X上的模糊相似关系，且，则必然存在一个自然数k≤n ，使得是X上的模糊等价矩阵。（证明从略）
这个定理也就是说，给定一个模糊相似关系，总可以得到一个模糊等价关系。
三、λ—截关系
1．模糊关系的λ—截矩阵
设为一个模糊矩阵，则对于λ∈[0，1]的每一个取值，均对应一个非模糊矩阵

Rλ 称为的λ—截矩阵，其中

显然，Rλ 的元素只取0，1两个值，即，这样的矩阵称为布尔矩阵。
例6 设 ，求 ， ，
解：
2．λ—截关系
直积X×Y上一个模糊关系的λ—截关系Rλ ，是指X×Y上的一个特征函数

那么由定义知道：模糊关系的λ—截关系可以完全由模糊关系矩阵的λ—截关系表示出来。

习 题 二

1．设有模糊矩阵

求 ， ，，，，。
2．设有模糊矩阵

试求：（1） （2） ，指出合成运算不满足交换律。
3.下列模糊关系是自反的？对称的？还是模糊等价关系？

4．四名高考学生，最后一诊的考试成绩如下表，试用λ（分别取0.60,0.75,0.90）截矩阵分出他们的成绩水平。

语文 外语 数学 物理 化学
甲 91 98 95 93 90
乙 55 75 82 62 84
丙 67 53 90 83 81
丁 90 82 61 58 53
提示：将上面成绩矩阵除以100，化成模糊矩阵，再按λ（分别取0.60,0.75,0.90）取截矩阵。