三角函数-知识点及高考题.doc

高中数学第四章-三角函数04. 三角函数 知识要点1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数ysinx，的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是1，1，值域是函数ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数ytanx，的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是（，），值域是函数yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）1(2009年广东卷文)函数是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 2（2009全国卷理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（C）（A） （B） （C） (D) 3（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )4（2009安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D） .(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.（2009安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D） （2009江西卷文）函数的最小正周期为A B C D （2009天津卷文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ）A B C D（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是 A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间0，上是增函数 C.函数的图象关于直线0对称 D. 函数是奇函数9（2009福建卷理）函数最小值是A-1 B. C. D.110（2009辽宁卷文）已知，则（A） （B） （C） （D）11（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（A） (B) (C) (D) 21世纪教育网 12（2009全国卷文）的值为(A) (B) (C) (D) 13.(2009湖南卷理)将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 A B C. D. 21世纪教育网 14（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A B C D 三角函数习题1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y+1=02.（2002春北京、安徽，5）若角满足条件sin20，cossin0，则在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2002上海春，14）在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A.2k，2k（kZ） B.2k，2k（kZ）C.2k，2k（kZ） D.2k，2k（kZ）5.（2002全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）6.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图41所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（ ）图41A.（0，1）（2，3）B.（1，）（，3）C.（0，1）（，3）D.（0，1）（1，3）7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（，）上为减函数的是（ ）A.y=cos2x B.y2|sinx| C.y()cosxD.y=cotx8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）9.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.（2001全国文，1）tan300+cot405的值是（ ）A.1B.1C.1D.111.（2000全国，4）已知sinsin，那么下列命题成立的是（ ）A.若、是第一象限角，则coscosB.若、是第二象限角，则tantanC.若、是第三象限角，则coscosD.若、是第四象限角，则tantan12.（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）13.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（x）（0），在区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x）在a，b上（ ）A.是增函数 B.是减函数C.可以取得最大值mD.可以取得最小值m14.（1999全国，11）若sintancot（，则（ ）A.（，） B.（，0） C.（0，） D.（，）15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为的奇函数，则f（x）可以是（ ）A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x16.（1998全国，6）已知点P（sincos，tan）在第一象限，则在0，2内的取值范围是（ ）A.（，）（，） B.（，）（，）C.（，）（，） D.（，）（，）17.（1997全国，3）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（ ）18.（1996全国）若sin2xcos2x，则x的取值范围是（ ）A.x|2kx2k+，kZ B.x|2k+x2k+，kZC.x|kxk+，kZ D.x|k+xcotB.tancos D.sincos24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinx（01在区间0，上的最大值是，则 .25.（2002北京文，13）sin，cos，tan从小到大的顺序是 .26.（1997全国，18）的值为_.27.（1996全国，18）tan20+tan40+tan20tan40的值是_.28.（1995全国理，18）函数ysin（x）cosx的最小值是 .29.（1995上海，17）函数ysincos在（2，2）内的递增区间是 .30.（1994全国，18）已知sincos，（0，），则cot的值是 .1.答案：C解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.图45评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项.2.答案：B解析：sin22sincos0 sincos0即sin与cos异号，在二、四象限，又cossin0cossin由图45，满足题意的角应在第二象限3.答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB4.答案：A解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案.图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）6.答案：C解析：解不等式f（x）cosx0 0x1或x3图487.答案：B解析：A项：y=cos2x=，x=，但在区间（，）上为增函数.B项：作其图象48，由图象可得T=且在区间（，）上 为减函数.C项：函数y=cosx在(，)区间上为减函数,数y=（）x为减函数.因此y=（）cosx在（，）区间上为增函数.D项：函数ycotx在区间（，）上为增函数.8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数.选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.9.答案：B解析：A、B是锐角三角形的两个内角，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，故选B.10.答案：B解析：tan300cot405tan(36060)cot(36045)tan60cot451.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，）时，yxcosx0.13.答案：C解法一：由已知得M0，2kx2k（kZ），故有g（x）在a，b上不是增函数，也不是减函数，且当x2k时g（x）可取到最大值M，答案为C.14.答案：B解法一：取，代入求出sin、tan、cot之值，易知适合，又只有（，0），故答案为B.解法二：先由sintan得：（，0），再由tancot得:（，0）15.答案：B解析：取f（x）=cosx，则f（x）sinx=sin2x为奇函数，且T=.评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.答案：B解法一：P（sincos，tan）在第一象限，有tan0，A、C、D中都存在使tan0的，故答案为B.解法二：画出单位圆如图410使sincos0是图中阴影部分，又tan0可得或，故选B.17.答案：A解析：ytan（）tan（x），显然函数周期为T2，且x时，y=0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2xsin2x0，所以2k+2x2k+，kZ.解得k+xk+，kZ（注：此题也可用降幂公式转化为cos2xcos2x得sin2x1sin2x，sin2x.因此有sinx或sinx.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k+x2k+或2k+x2k+（kZ），2k+x2k+可写作（2k+1）+x（2k+1）+，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作n+x0)的一段图象如右图所示，则周期T、初相的值依次为()A，B2， C，D2，4函数f(x)图象的一部分如图所示，则f(x)的解析式为()Af(x)4sin3.5 Bf(x)3.5sin4Cf(x)3.5sin4.5 Df(x)4sin3.55(09天津理)已知函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度6如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是_7函数ysin的图象()A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称8要得到函数ycosx的图象，只需将函数ysin(2x)的图象上所有点的()A横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度答案C9要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycos的图象()A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位10直线ya(a为常数)与正切曲线ytanx(为常数，且0)相交的两相邻点间的距离为()AB. C. D与a值有关11将最小正周期为的函数g(x)sin(x)(0，|0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)sinx的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度13(09天津理)已知函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度14函数的图象关于轴对称，则最小正角为_15.将函数的图象上各点向右平移个单位，所得的图象关于原点对称，则正数的最小值为_16将函数的图象向左平移个单位，再向上1个单位，所得图象的函数解析式是要得到函数的图象，只需将函数的图象沿轴向左平移个单位17若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值答案：1、答案B解析最大值3，最小值1，A1，T，ysin(x)2，又过点，sin()1，2k(kZ)，令k0得，故选B.2、答案B解析由2得，tan3，sincos.3、答案C解析T2，所以2.此时ysin(2x)1，因为是使函数f(x)sin(2x)1取最小值的点，所以2x2k，22k2k，kZ，可取.4、答案B解析设函数的解析式为yAsin(x)k(A0)由图象可知y3.5sin(x)4.936，T12，y3.5sin(x)4.当x3时，y7.5代入上式，7.53.5sin()4，sin()1，0，函数f(x)的解析式为f(x)3.5sin(x)4.故选B.5、答案A解析T，2.f(x)sinsin(2x)cos2x yf(x)图象左移个单位即得g(x)cos2x的图象故选A.6、答案y2sin解析A2，T2(0.50.1)0.8，y2sin，将(0.1,2)代入得：0.1，y2sin.7、答案A解析ysin的图象的对称轴方程为x(kZ)，对称中心为，当k1时，选项A正确8、解析ycosxsin(x)，将ysin(2x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到ysin(x)的图象，再向左平移个单位即可得到ysin(x)的图象故选C.9、答案A解析ysinxcoscoscos，须将ycos的图象向右平移个单位点评一般地，正弦与余弦异名函数图象平移时，由cosx为偶函数知，将正弦函数利用sinxcos化余弦后，结合cosx为偶函数可调整x系数的符号，再考虑平移单位数较简10、答案C解析利用图象知，直线ya与正切曲线ytanx相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为，应选C.11、答案，填一个即可解析T，4，g(x)sin左移个单位得到ysinsinsin为偶函数，k，k，(kZ)|2，.12、答案D解析f(x)最小正周期为，4，f(x)coscos4，g(x)sin4xcoscoscos4，故须将f(x)的图象右移个单位长度13、答案A解析T，2.f(x)sinsin(2x)cos2x yf(x)图象左移个单位即得g(x)cos2x的图象故选A.