高中数学论文浅谈特例法在解题中的妙用.doc

特例法的妙用
如果你认真研究近几年的高考数学题，你将会发现有些选择题，须用特例法求解。所谓特例法，通俗来说就是一般的满足，特殊的也满足；即在一般情况下，可用特殊的情形来代替一般情形。具体来说就是用特殊的值、向量、点、数列、函数、位置、图形来代替一般的值、向量、点、数列、函数、位置、图形；从而达到快速解题的目的。下面我就高考题把特例法做一总结，希望对你有所帮助。
一、 特殊值法
例1 设，且，，，则的大小关系为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：取a=2,得答案B
评注：所选取的特例要符合题设条件，且越简单越好。
例2 若，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：取,排除A,B,C,得D
评注：一般情况下，特例法与排除法结合起来使用。
例3 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则 ( )
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
解析：三角形中角的正弦值均为正
的三内角的余弦值也为正
是锐角三角形
取
得所以选D
评注：所取的特例必须是我们非常熟悉的，越简单越好。
例4 直线与曲线 的公共点的个数为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析：不妨取k=1,将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即有四解，
所以交点有4个，故选择答案D。
评注:任意不等于0的k都满足，k取1当然满足；不要担心做错题。
例5 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1－a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：取a=1得函数f(x)=x2+2x+4，二次函数的图象开口向上，对称轴为，∴ x1+x2=0，∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离。
∴ f(x1)<f(x2) ，选A．
评注：0<a<3中的任何一个值都满足题设，a=1也满足。
例6 若数列满足: , 且对任意正整数都有,则（ ）
A． B． C． D．
解析：数列满足: , 且对任意正整数都有；所以，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.
评注：任意正整数都有，取m=1又未尝不可。
二、 特殊向量法
例1 如图, 已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ 　）
（A） （B）
（C） （D）

解析：如图：不妨设正六边形边长为1，
根据正六边形的性质，得答案为A
评注：特例越简单越好,越方便越好。

例2 设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则( )
A． B．
C． D．
解析：∵，∴不妨取，且起点在原点，在轴正半轴上；则向量、、顺时针旋转后与、、同向，且=2，∴，选D.
评注：一般问题特殊化，不会失去一般性。
三、 特殊点法
例1 函数（）的反函数是（ ）
（A）（）　　 （B）（）
（C）（） 　　（D）（）
解析：原函数经过（4，3）点，它的反函数经过（3，4）点；排除C,D;再根据原函数是增函数，得值域为，故反函数的定义域为；选A
评注：最快最简单的方法就是最好的方法。
F
B
C

D
.

y2=4x

.
A
.

Y
X
.

例2 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=（ 　　）
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
解析：,不妨取A(0,0)
则，即=1;做平行四边形FCDB
∵抛物线关于x轴对称
.
∴|FB|=|FC|,即FCDB为菱形
∴FD⊥BC,即B,C两点的横坐标均为；得
∴|FA|+|FB|+|FC|=1+5=6；故选B
评注：此题若分析出点F为△ABC的重心，则解法就更简单了。若分析不出，此法也不错。
四、 特殊数列法
例1 如果数列是等差数列，则( )
（A）＋＜＋ （B）＋＝＋
（C）＋＋ （D）＝
解析：取，得答案为B
五、 特殊函数法
例1 定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（　　）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．3 Ｄ．5
解析：联想满足题设的函数，我们取则答案为D。
评注：千万别担心，你的特例太简单了，会把题做错。只要满足题意，越简单越好。
例2 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
解析:取，排除A、C.再取,排除B;故选择答案D。
评注：取特例取我们最熟悉的，这样有利于解题。
例3 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：联想满足题设的函数，我们取则答案为B
评注：以5为周期的可导偶函数，你不得不想到三角函数
例4 设函数为奇函数，
则（ ）
A．0 B．1 C． D．5
解析：根据题意，联系我们学过的所有函数。只有一次函数满足
题设∴，得;∴;得；故选C
评注：很多抽象函数都以我们学过的函数为模型，同学们可以认真体会与总结。
例5 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）
A. f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
解析：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，联想我们学过的函数，取，排除A,B;再想若为常值函数也满足题意；故选C
评注：当取一个特例不能排除所有的错误项，且剩余项还十分相近时，应全面考虑；做到不重复也不遗漏。
六、 特殊位置法
例1 设三棱柱的体积为，分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为( )
•
•
P
QP
B
A B C D
解析：不妨取正三棱锥且满足,
不妨取=0;
此时
评注：满足题意的点P和Q有无穷多个，特殊位置也不止一个；比如P和Q都取中点，也能得到答案；但过程较繁。取=0，使得P与A重合；Q与 重合，特例推到极限情形，问题就相当简单了。故特例只要满足题意，越简单越好。
例2 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A
o
B

A．1 B． C． D．2
解析：如右图，不妨设其中一个面过球心，
则圆心距=
评注：高考题不怕你做不到，就怕你想不到。

七、 特殊图形法
例1 给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （ ）
A B C D
解析：∵
则若；
根据函数与不等式之间的关系得，
的函数图像应在的上方
∴答案为A
评注：这道题目，是当年辽宁卷的压轴选择题；大多数学生感到无从下手，没有抓住问题的实质；结果弄错了答案，丢了分。如果解题时，你感到题目特别难、无从下手时，是不是要用特例法了。切记，切记！
特例法在高考中考的并不多，一旦考上，往往是大多数学生失分的题目;高考不但考知识、能力，还考你对数学思想的理解和应用程度;一般与特殊的思想是高考考纲要求的数学思想，同学们应掌握这种数学思想的解题技巧，并会灵活应用它。
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