高中数学论文浅谈特例法在解题中的妙用.doc

特例法的妙用 如果你认真研究近几年的高考数学题，你将会发现有些选择题，须用特例法求解。所谓特例法，通俗来说就是一般的满足，特殊的也满足；即在一般情况下，可用特殊的情形来代替一般情形。具体来说就是用特殊的值、向量、点、数列、函数、位置、图形来代替一般的值、向量、点、数列、函数、位置、图形；从而达到快速解题的目的。下面我就高考题把特例法做一总结，希望对你有所帮助。一、 特殊值法例1 设，且，则的大小关系为（）解析：取a=2,得答案B评注：所选取的特例要符合题设条件，且越简单越好。例2 若，则下列命题中正确的是（） 解析：取,排除A,B,C,得D评注：一般情况下，特例法与排除法结合起来使用。例3 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则 ( )A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形解析：三角形中角的正弦值均为正的三内角的余弦值也为正是锐角三角形取得所以选D评注：所取的特例必须是我们非常熟悉的，越简单越好。例4 直线与曲线 的公共点的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：不妨取k=1,将代入得：，显然该关于的方程有两正解，即有四解，所以交点有4个，故选择答案D。评注:任意不等于0的k都满足，k取1当然满足；不要担心做错题。例5 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1a,则( )A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：取a=1得函数f(x)=x2+2x+4，二次函数的图象开口向上，对称轴为， x1+x2=0， x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离。 f(x1)f(x2) ，选A评注：0a3中的任何一个值都满足题设，a=1也满足。例6 若数列满足: , 且对任意正整数都有,则（ ） A B C D 解析：数列满足: , 且对任意正整数都有；所以，数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.评注：任意正整数都有，取m=1又未尝不可。二、 特殊向量法例1 如图, 已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A） （B）（C） （D）解析：如图：不妨设正六边形边长为1，根据正六边形的性质，得答案为A评注：特例越简单越好,越方便越好。例2 设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则( )A BC D解析：，不妨取，且起点在原点，在轴正半轴上；则向量、顺时针旋转后与、同向，且=2，选D.评注：一般问题特殊化，不会失去一般性。三、 特殊点法例1 函数（）的反函数是（ ） （A）（） （B）（）（C）（） （D）（）解析：原函数经过（4，3）点，它的反函数经过（3，4）点；排除C,D;再根据原函数是增函数，得值域为，故反函数的定义域为；选A评注：最快最简单的方法就是最好的方法。FBCD.y2=4x.A.YX.例2 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）(A)9(B)6(C) 4 (D) 3解析：,不妨取A(0,0)则，即=1;做平行四边形FCDB抛物线关于x轴对称.|FB|=|FC|,即FCDB为菱形FDBC,即B,C两点的横坐标均为；得|FA|+|FB|+|FC|=1+5=6；故选B评注：此题若分析出点F为ABC的重心，则解法就更简单了。若分析不出，此法也不错。四、 特殊数列法例1 如果数列是等差数列，则( )（A） （B）（C） （D）解析：取，得答案为B五、 特殊函数法例1 定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）0135解析：联想满足题设的函数，我们取则答案为D。评注：千万别担心，你的特例太简单了，会把题做错。只要满足题意，越简单越好。例2 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数解析:取，排除A、C.再取,排除B;故选择答案D。评注：取特例取我们最熟悉的，这样有利于解题。例3 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（）解析：联想满足题设的函数，我们取则答案为B评注：以5为周期的可导偶函数，你不得不想到三角函数例4 设函数为奇函数，则（ ） A0 B1 C D5解析：根据题意，联系我们学过的所有函数。只有一次函数满足题设，得;得；故选C 评注：很多抽象函数都以我们学过的函数为模型，同学们可以认真体会与总结。例5 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ ）A. f（0）f（2）2f（1）解析：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，联想我们学过的函数，取，排除A,B;再想若为常值函数也满足题意；故选C评注：当取一个特例不能排除所有的错误项，且剩余项还十分相近时，应全面考虑；做到不重复也不遗漏。六、 特殊位置法例1 设三棱柱的体积为，分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为( )PQPBA B C D 解析：不妨取正三棱锥且满足,不妨取=0;此时评注：满足题意的点P和Q有无穷多个，特殊位置也不止一个；比如P和Q都取中点，也能得到答案；但过程较繁。取=0，使得P与A重合；Q与 重合，特例推到极限情形，问题就相当简单了。故特例只要满足题意，越简单越好。例2 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）AoBA1 B C D2解析：如右图，不妨设其中一个面过球心，则圆心距=评注：高考题不怕你做不到，就怕你想不到。七、 特殊图形法例1 给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （ ）A B C D解析：则若；根据函数与不等式之间的关系得，的函数图像应在的上方答案为A评注：这道题目，是当年辽宁卷的压轴选择题；大多数学生感到无从下手，没有抓住问题的实质；结果弄错了答案，丢了分。如果解题时，你感到题目特别难、无从下手时，是不是要用特例法了。切记，切记！特例法在高考中考的并不多，一旦考上，往往是大多数学生失分的题目;高考不但考知识、能力，还考你对数学思想的理解和应用程度;一般与特殊的思想是高考考纲要求的数学思想，同学们应掌握这种数学思想的解题技巧，并会灵活应用它。用心 爱心 专心