三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证.pdf

第4 2 卷第4 期2023年8 月文章编号：2 0 9 5-7 3 8 6(2 0 2 3)0 4-0 10 6-0 9DOI:10.3969/j.issn.2095-7386.2023.04.015武汉轻工大学学报Journalof Wuhan PolytechnicUniversityVol.42 No.4Aug.2023三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证张文福12,杨琴1,江杨1（1.安徽建筑大学土木工程学院，安徽合肥2 3 0 0 0 0；2.南京工程学院建筑工程学院，江苏南京2 1116 7）摘要：为了使三角形管翼缘工字形截面构件在实际工程中被方便计算和使用，基于“板-梁”理论，对纯弯扭作用下的单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁进行扭转振动分析，利用能量变分原理，推导出悬臂钢梁扭转角公式和简支端自由扭转振动下的频率公式。运用ANSYS软件建立有限元模型并提取扭转角以及频率解进行对比和验证。结果表明，扭转角的理论解与有限元解误差在0.6 2%4.0 8%之间，扭转振动结果误差在一4.0 2%一1.3 5%之间，从而初步证明了文中理论的正确性。研究成果可为单轴对称三角形管翼缘工字形梁扭转振动的工程设计提供参考。关键词：梁；扭转振动；三角形管截面；板-梁理论；有限元中图分类号：U441The torsional vibration derivation and its finite elementverification of I-beam with triangular tube flangeZHANG Wenful.2,YANG Qin,JIANG Yang(1.College of Civil Engineering,Anhui Jianzhu University,Hefei 230000,China;2.College of Architecture Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)Abstract:In order to make the triangular flange I-section member convenient to calculate and use in practi-cal engineering,this paper is based on the plate-beam theory,the torsional vibration analysis of uniaxialsymmetric triangular tube flange I-section steel beam under pure bending torsion is carried out,and the tor-sional angle formula of cantilever steel beam and the frequency formula under free torsional vibration ofsimple branch end are derived by using the principle of energy variation,and the finite element model is es-tablished by ANSYS software and the torsion angle and frequency solution are extracted for comparisonand verification.The results show that the error between the theoretical solution and the finite element so-lution of the torsion angle is between 0.62%4.08%,and the error of the torsional vibration result is be-tween-4.02%-1.35%,which preliminarily proves the correctness of the theory in this paper.The re-search results of this paper can be used as a reference for the engineering design of torsional vibration of u-niaxial symmetric triangular tube flange I-beams.Key words:beam;torsional vibration;triangular tube section;plate-beam theory;finite elements收稿日期：2 0 2 3-0 7-2 8.作者简介：张文福（19 6 5-），男，教授，博士，E-mail：z h a n g _ w e n f u 12 6.c o m.基金项目：国家自然科学基金面上项目钢管混凝土翼缘工字形梁弯扭屈曲和畸变屈曲理论与设计方法研究”（5157 8 12 0）；国家自然科学基金面上项目“方钢管混凝土框架柱低周疲劳性能的试验与理论研究”（5117 8 0 8 7)；国家自然科学基金项目钢管混凝土桁架拱平面外屈曲的新板一梁理论与设计方法研究”（52 17 8 14 3).文献标识码：A4期1引言工字形钢梁因其轻质高强、建造方便的特性在工程中占据主要地位，经常被制作成高而薄的薄壁构件，但由于其为开口薄壁构件，扭转刚度较低，不能很好地发挥抗扭性能。为提高工字形钢梁的抗扭性能，Dempseyl1研究发现了一种新型的薄壁型钢梁空翼缘钢梁(HFB),弥补了工字形钢梁抗扭性能的不足,提升了抗扭刚度。目前对空翼缘梁截面的研究主要集中在抗弯承载力性能上，而对扭转振动方面的研究比较稀缺，原因是空翼缘梁截面是开闭口组合截面，运用传统的理论体系无法解决这类问题。因此，将开、闭口截面理论统一起来解决混合截面薄壁构件扭转振动问题成为工程设计需要考虑的问题之一。目前对于薄壁构件的扭转振动研究主要以试验和模拟为主。Pavazza 等人2 建立了单轴和双轴开口截面薄壁梁受剪切影响下的扭转理论，验证了在均布扭矩作用下的简支梁和固支梁的位移和正应力结果与有限元对比吻合良好；WangZQ等人3 通过研究箱形悬臂薄壁（TW)梁和两端固定工字梁，得出了TW梁的自身特性和截面特性能够影响约束剪应力,进而得到新的封闭薄壁(CTW)梁的约束扭转控制方程，并将数值与其他结果进行比较，证明了该理论的准确性和适用性；秦翱翱等人4 依据乌曼斯基第二理论，结合试验和有限元模型,研究了单箱双室波形钢腹板组合箱梁的扭转性能；文颖等人51提出了开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转分析的一维有限元模形，通过数值算例对建立的一维有限元刚度矩阵和开闭口混合截面杆件扭转分析方法进行正确性验证，其结果具有较高精度；张文福等人6 采用能量变分法来研究空间桁架的固有振动，推导得出三角形空间桁架梁的竖向振动频率的解析解，运用有限元软件模拟得到空间桁架的频率，结果与理论解十分吻合；冀伟等人7 通过研究波形钢腹板预应力混凝土简支箱梁，利用边界条件求解得到扭转振动频率计算公式，并利用试验进行动力性能测试，经过与有限元模拟解比较，结果吻合良好；韦忠瑄等人8 推导了波形钢腹板PC组合箱梁振动频率计算公式，结合实验和有限元进行了对比；CarlosG等人9 通过研究三角形单元翼缘加劲的板梁数值模型，推导出了三角形单元翼缘加劲钢板梁在贴片荷载下的屈曲系数解析表达式Euro C等人10 1通过研究三角形单元翼缘钢板梁的拼装抗力，并建立数值模型与试验结果进行对比验证，结果表明使用三角形槽翼缘能够增强钢板梁抵抗贴片加载的能张文福，杨琴，江杨：三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证知量有构件的自振频率力。107力；Sohani Fatemeh等11推导出一组非线性轴向、横向耦合的运动方程，通过校正线性固有频率系数求得非线性固有频率解，得出非线性固有频率受梁的轴向和横向振幅影响的结论；魏建军等人12 通过对比在集中荷载下的三角形空翼缘梁和传统H形钢梁破坏模态，得出三角形翼缘梁的抗弯扭性能较好，并利用有限元模拟结果对该结果加以佐证。混合截面薄壁构件扭转振动问题的研究依据传统理论无法解决，张文福13 提出的“板-梁”理论构建了能量变分和微分方程模型，将自由扭转与约束扭转统一起来，为解决复杂的薄壁构件问题提供了借鉴。通过研究已有文献，发现将管翼缘截面由开口变为闭口后，扭转惯性矩明显增强，有利于提高构件的稳定承载力。将工字形梁的受压翼缘换成三角形翼缘后，可以避免梁的整体侧向失稳。因此，笔者将基于“板-梁”理论对单轴对称三角形管翼缘工字形梁进行研究，推导出上翼缘为三角形的工字形悬臂钢梁转角公式和简支端自由扭转振动下的频率公式，并与经典理论公式进行对比，再运用有限元软件验证其正确性。2基基本假设与基本参数2.1截面的基本假设(1)刚周边假设。梁的横截面在变形后仍能维持原来的形状，即横截面是刚性的，依据此可以确定板件剪心的横向位移。(2)板变形假设，薄壁截面可以看成多块板的组合，每块板平面外引起的纵向位移、应变能都由Kirchoff 板理论来确定。(3)梁变形假设，对于闭口截面平面内引起的纵向位移、应变能由Timoshenko梁理论确定，对于开口截面平面内引起的纵向位移、应变能由Euler梁理论确定。（4)动能假设，将板件动能分为平面内和平面外动能。2.2基本参数笔者以单轴对称三角形管翼缘工字形梁为研究对象，基于“板-梁”理论引人两套坐标系：整体坐标系y和局部坐标系ns。整体坐标系原点选在截面形心，各板件局部坐标系在各板件形心。坐标系及截面参数如图1所示，截面变形图如图2 所示。已知钢材的弹性模量为E、剪切模量为G、泊松比为，当钢梁发生扭转变形时,则未知量有横截面绕剪心的刚性转角（之），当钢梁发生扭转振动时，则未108武汉轻工大学学报bxtSSb.xtWeXhW1hwxt2023年不nhc(0,0)nS(X,J)c(0,0)Snybxt图1截面尺寸图Fig.1Cross-sectional dimension drawing3单轴对称三角形管翼缘工字形截面的形心与剪心(1)形心假设e为上翼缘自身形心到截面形心的距离，则依据合力矩为零的条件，必有：(EAw）(hw+2bwcosB23(EAn)(h一ers)-(EAr2)ers=0由此可解出图2 截面扭转变形图Fig.2 Cross-sectional torsional deformation diagram对上翼缘三角形形心取矩，可得(hw+2+2bcosE)+(EI.nu)h=(-EIy.wu2(-Ely.ru-Ely.nu-EIy.wu)hs(+2bco0)+1y.nh23h3Iy.w+Iy.r+Iy.n1tib其中：Iy.fef3124sirP)是三角形截而面对 y 的惯性短,1.=3+212(3)bwtsin?-cos12+ef3(1)hwt12Ahw22bwcosB3+AAw+Ar+Anhw2bwcosBewl2其中Af、A w、A n 分别为三角形的翼缘面积、工字形腹板面积、工字形下翼缘面积。(2)剪心因为三角形截面是单轴对称截面,所以剪切中心一定在对称轴轴上，假设截面绕弱轴弯曲产生横向位移u而不产生扭转角，则各个板件分别绕弱轴弯曲产生剪力，即Q=-EIy.fu,Q!=-EIy.tu,Q=-Ely,wu(144(ttbr)(ur+(en+)三角形左腹板的总应变能为左腹板平面内与平是工字形腹板对轴的惯性矩，Iy,f1字形下翼缘对轴的惯性矩。3er3,en=h一er3Etnbi12是工(2)4单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁组合扭转和扭转振动理论4.1总应变能4.1.1单轴对称三角形截面应变能三角形截面是闭口截面，平面内引起的纵向位移、应变能由Timoshenko梁理论确定，平面外引起的纵向位移、应变能由Kirchhoff薄板理论确定。三角形上翼缘的总应变能为上翼缘平面内与平面外应变能之和，即tibi2(d12之tbf之3面外应变能之和，即d之d(4)(5)4期其中r、山为我们假定的待定函数,b1为假定的待定系数。b%twb2bwtwE12一(20)1442(bwtw)42+4+G(ewyo)sinp)tbw23其中2 为我们假定的待定函数,b2为假定的待定系数。4.1.2截面转角与横截面刚性转角之间的关系对比上述三角形截面的应变能计算，可以发现闭口截面比开口截面多了r、w 1、4 2、b i、b 2 这五个未知量。这是因为Timoshenko梁和Euler梁模型对截面纵向变形的描述不同，而且横截面为单轴对称截面，因此需要找到截面刚性转角与截面转角的关系。第一个关系为交点处的纵向位移协调条件。+bi），4 r(6fb+b第二个关系为剪力流相等的条件。qf=qwtbi(aitw-hsitr)2(26w)2E12(brtw+2bwtrW12(atw-hat2bw+hsl(tbr)bitw+2bwtfGaitw-hatibr张文福，杨琴，江杨：三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证E1一门W2bo+b22109b%twaw+brbwtw12t3.631442bwsin(2)(bwtw)4+G(ew-yo)sinp)wbw23面外应变能之和,即aw2之(bwsin(其中令bwa1=sin(2)+(ew-yo)sin,ew-yo=4bwcos一hsl2由式(7)(10),求得yw1=4w2=4w,b26.aitwi-hsitn(2bwl）bitwl+2bwitnbwDw2-b22(7)(8)(9)aitw-hsitrbitw+2bwtt4tbf323d之三角形右腹板的总应变能为左腹板平面内与平d之(6)(10)6bf262f(11)0(12)aitwi-hsitrlw(brtwl+2bmitn这便是截面刚性转角与截面转角、lw2的关系。4.1.3三角形截面的扭转总应变能三角形的总应变能为上翼缘、左腹板、右腹板应变能之和,将式(11)(12)带人式(4)(6)可得b144(bt）2()2d之（之）(bm）d之2144(13)1104.1.4三角形截面的总偏移应变能将上翼缘侧移应变能和腹板偏移应变能相加即Eh2一4.1.5工字形应变能(1)腹板应变能由于是开口截面，腹板平面内引起的纵向位移、h%h14412(-ew+yi)?)23武汉轻工大学学报是截面偏移产生的总应变能，即b%t1212+2E2023年sin412cos2应变能由Euler梁理论确定,平面外引起的纵向位移、应变能由Kirchhoff 薄板理论确定,将平面内与平面外应变能相加可以求得腹板的应变能，用Uw表示。(15)a20(14)d之(2)下翼缘应变能下翼缘是开口截面，其平面内引起的纵向位移、应变能由Euler梁理论确定，平面外引起的纵向位(bit(ef4y1)?+1一12f1t3移、应变能由Kirchhoff 薄板理论确定,将平面内与平面外应变能相加可以求得腹板的应变能,用Un.o表示。Ebit144a2(16)4.1.6单轴对称三角形管翼缘工字形组合扭转的总应变能单轴对称三角形管翼缘扭转的总应变能为各部tb(aitw-hsitr)12(bitw+2bwtfhwewly1)221212E(aitw-hsitfU=Uf.+Ur.h,o+Uw+U,(bitw+2bwt1一(ei4一yi)2-wtw2hssinB12(ttbr)(atw-hat2bw+hsl(brtw+2bwtr2aitw-hsiti+2(bwtw)(a1brtw+2bwtr最终截面扭转的总应变能可简化为EIW+GJk2a2分扭转应变能和偏移应变能之和，即式（13）（16)相加。(26w(b%twb%t4(bit(br0)2.一2144biih3tibi14412bwb%tcOs12+tb+th33tbwbmti（a 之）bf3其中式中Iw为单轴对称三角形管翼缘工字形截面的翘曲惯性矩，Jk为单轴对称三角形管翼缘工d(17)之14414412sin43字形截面的扭转刚度。(24期Jk=(ttbr)(brtw+2bwtt4.2单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁扭转振动的总动能单轴对称三角形管翼缘工字形总动能为各部分动能之和,即：20p1.g+1.(T=一(hs1+hs)2bitr+I.=+tabnhu+tabi+bati.张文福，杨琴，江杨：三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证t:biatw-hsiti)12(brtw+2bwthwt14412+2h212atw-hsitL2bw+hsltbr+thw+2(btw)a33dz(18)biitbri+2tb+21ub(a+6)1212thw+hwt31212111b%twb%twatw-hsitf)(2bw)1442144+212ewFyo）Sin4(brtw+2bwtrbit(ef4yo)12bwcOS123其中：e22h(br)?+bitihtbi14412sin?p)4atw-hsittbtw+2bwtW+23bnti3biti(aitw-hsitr)2(26w)12（b r t w+2 b w t rbiththw14414412ef22S32twbaitw-hsitr3bitw+2bwtt+2(twbw(e2sinp)2.4.3单轴对称三角形管翼缘工字形总势能根据单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁总势能I=U+T+GJk(）2-pp I,o2-pp?Ia2a24.4能量变分模型和微分方程模型(1)悬臂梁扭转变形的精确解析解对于悬臂梁，仅考虑自由端端部扭矩作用下扭转角的通解(z)=Ci+C2+C sinh(kz)+Ccosh(kz)再利用边界条件可得M.(之)：(kz一sinh(kz)+KEiIWcosh(kz)一1 tanh(kz)GJk其中：k2一EiIw可求得自由端的扭转角，即最大扭转角为K?M,0max1-Ktanh(EiIw（）EIW其中:K=1(2)简支梁扭转振动频率的精确解析解根据哈密顿原理和欧拉-拉格朗日方程，可得26%tw(bt)212ef2sin)tabwtabi1212为各部分总应变能和总动能之和，由式（17）（18)可得出方程为EiIw之由式(2 1)(2 2)可推导出单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁扭转振动的微分方程为：EiIa4(GJk-pp g)简支梁边界条件:0=0(L)=（L)=0把边界条件带入式（2 0)中，可以发现Ci、C2、Cs、C4 系数不全为零，所以必有行列式为零。可解得 sin(a2l)=0,=i,j，j=1,2,3。若要一阶频率，则i等于1，二阶则i等于2。扭转角表达式为：(20)(2)=C:sin(i L)当之时将式(2 3)带人式（2 2),其中C3不为226%ibi1441442J(T-U)dt=0F。dFdF=0dd2a2ppI,0=0(22)(23)dz(19)(21)112零，可解得单轴对称三角形管翼缘工字形钢梁扭转振动的频率力。1元E.I+GJk1元力p(1.(iT)+1.)5角解析解与有限元验证对于有限元模型的建立，利用ANSYS软件进行建模，笔者选择了BEAM189单元，该单元基于铁木辛柯理论，考虑了剪切变形的影响，适合分析ELEMENTS武汉轻工大学学报中等长度和细长梁结构，解决线性、大转动和大应变等问题。单轴对称三角形管翼缘工字形截面解析解与有限元验证如下，其中钢材的弹性模量为2.06X1011Pa,泊松比为0.3。(24)(1)悬臂钢梁解析解与有限元对比在纯弯矩的作用下悬臂梁最大扭转角的解析解按式(2 0)求解。悬臂梁约束与荷载图和扭转变形图如图3 所示。有限元与理论解析解对比如表1所示。为简化截面参数数量，使上翼缘三角形各板件厚度统一为t。NODALSOLUTIONSTEP=1SUB=1TIME=1ROTSUM(AVG)RBY3=ODAK-.202E-04SX=.1612-032023年.358E-04.179E-04.538E-04图3 单轴对称三角形翼缘工字形截面悬臂梁约束与荷载和扭转变形图Fig.3 Uniaxial symmetric triangular flange I-section cantileverbeam constraint and load and torsional deformation diagram表1单轴对称三角形管翼缘工字形截面钢梁扭转角与有限元解的比较Table 1Comparison of torsion angle and finite element solution of uniaxial symmetric triangular编号L11.521.531.541.552.062.072.082.093.0103.0113.0123.0注：表中长度单位为m;0为按公式（2 0)计算，计算中M.为1N.m;OrEM有限元解的单位为rad;误差=（0 一OrEM）/100%。从表1中可以得出，悬臂钢梁自由端的最大扭转角与有限元模型得出的扭转角结果是比较接近.717E-04.896R-04tube flange I-section steel beambilbwl0.10.10.10.10.10.80.10.60.10.10.10.10.10.80.10.60.10.10.10.10.10.80.10.6.108E03.1258-03.143E-03.1612-03thw0.00200.200.00250.200.00200.150.00250.150.00200.200.00250.200.00200.150.00250.150.00200.200.00250.200.00200.150.00250.15tw0.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.002的,误差在0.6 2%4.0 8%之间,验证了本理论在组合扭转方面的可靠性。b120.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10/10-53.222.585.4311.834.493.587.5316.797.005.5911.7126.69OFEM/10-53.202.555.3611.504.433.537.4016.206.895.4811.5025.60误差/%0.621.161.312.791.341.401.733.511.571.971.794.084期(2)简支钢梁自由扭转振动频率解析解与有限元对比简支梁自由扭转振动的扭转模态图如图4 所DISPLACEMENTSTEP=1SUB=2FRBO=260.933DNX=,59533张文福，杨琴，江杨：三角形管翼缘工字形梁扭转振动推导及有限元验证113示，有限元与自由扭转振动频率理论解析解对比如表2 所示。DISPLACEMENT9TEP=1SUB=2FREO=260.933DNX=.59533（a）第一阶扭转模态图DISPLACEMENTSTEP=18UB=5FREO=602.336DNX=.565776（b）第一阶扭转剖面图DISPLACEMENTSTEP=18UB=5FREO=602.336DNX=,565776（c）第二阶扭转模态图图4 单轴对称三角形翼缘工字形截面简支梁建模与变形图Fig.4 Modeling and deformation diagram of simple support beam of uniaxial symmetrictriangular flange I-section表2 单轴对称三角形管翼缘工字形截面钢梁自由扭转振动频率与有限元解的比较Table 2Comparison of free torsional vibration frequency and finite element solution of uniaxial阶数L11.521.531.512.022.032.013.023.033.0注：表中长度单位为m;P理论单位为hz,按公式(2 4)计算；PFEM有限元解的单位为hz。（d）第二阶扭转剖面图symmetric triangular tube flange I-section steel beambnbwl0.10.100.10.100.10.100.10.080.10.080.10.080.10.060.10.060.10.06t0.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.002hw0.150.150.150.150.150.150.150.150.15tw0.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.0020.002br20.10.10.10.10.10.10.10.10.1P理论250.332581.1701039.730161.708364.200634.51672.857164.305286.830PPEM260.385601.4101068.980167.490374.310646.92675.669168.551290.690误差/%-4.02-3.48-2.81-3.58-2.78-1.96-3.86-2.58-1.35114从表2 中可以得出，简支梁自振作用下扭转振动频率理论解与有限元模型得出的结果是接近的，误差在一4.0 2%一1.3 5%之间，验证了本理论在扭转振动方面的可靠性。6总结(1)基于“板-梁”理论推导出了单轴对称三角形管翼缘工字形悬臂钢梁的总应变能和总势能表达式，给出了截面的翘曲刚度、自由扭转刚度。悬臂钢梁给出了能量变分模型和微分方程模型，并依据微分方程和边界条件，给出了在一端固定、一端自由边界条件下扭转角的表达式及最大扭转角。在扭转振动方面，推导出了单轴对称三角形管翼缘工字形简支钢梁的总动能和总势能表达式，求出了在两端简支边界条件下频率的表达式。(2)利用有限元软件ANSYS建立了相应的有限元模型，验证文中推导的悬臂钢梁扭转角和简支钢梁扭转振动频率理论解的准确性，有限元模拟结果表明转角公式的结果误差在0.6 2%4.0 8%之间,而扭转振动频率理论解结果的误差在一4.0 2%一1.3 5%之间。误差均不大，从而验证了该理论的可靠性。参考文献：1 Dempsey R.Structural behavior and design ofhollow flange beams J.Proc.2nd Nat.Structural Engineering Conference,Institu-tion of Engineers,Australia,1990:327-335.2 Pavazza R,Ado M,Boze P.Torsion of thin-walled beams of symmetrical open cross-sec-tions with influence of shear J.Transac-tions of FAMENA,2013,37(2):1-14.3VWang Z Q,Zhao J C.Restrained torsion ofthin-walled beams J.Journal of StructuralEngineering,2014,140(11):04014089.武汉轻工大学学报4 秦翱翱,刘世忠，冀伟，等.单箱双室钢底板波形钢腹板组合箱梁扭转性能分析J门.东南大学学报（自然科学版），2 0 2 1，51（5）：7 4 0-7 4 6.5文颖，陈泽林.基于协调翘曲场的开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转一维有限元分析.工程力学,2 0 2 0,3 7(9)：3 8-4 9.6张文福，杜娟，刘迎春，等.空间桁架梁固有振动的能量变分解析解J.工程力学，2 0 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