证明(二).doc

证明 （二）
济南第二十六中学：王恒利

一、课标解读与知识网络
1. 课标解读：
教学目标：
(1) 经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力。体会归纳、类比、转化、数形结合的思想方法。
（2）进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。
（3）了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理。
（4）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
（5）能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形。
本章的知识体系与已学过的知识密切相关，掌握等腰三角形、直角三角形的性质及判定，线段的垂直平分线、角的平分线的性质、判定，并运用于解决实际问题是学好本章的关键，推理证明是本章学习的重点。本章内容的学习，既是对已学知识的复习与巩固，也应让学生尝试从不同角度思考问题，通过对解决问题过程、方法的反思，不断积累、总结，逐步形成解决问题的经验与策略。教学中应注重让学生充分感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性，进一步发展学生的演绎推理能力，提高学生语言表达能力及思维的严谨性。
在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等，面对各种纷繁复杂的信息，要进行处理与选择，进而推理，做出决策。因此，发展学生的推理能力，对学生将来的生活至关重要。《标准》对义务教育阶段学生应具有的推理能力提出了明确要求：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”推理就是“有一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”。推理能力的培养是一个缓慢的过程，是让学生自己“悟”出道理、规律、思考问题的方法、方式等，这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行。因而，教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织引导学生充分经历“观察、实验、猜想、证明”等活动过程，把对学生推理能力的培养有机地融入这样的过程中。另外，培养学生的演绎推理能力，还要考虑学生的身心特点，认知水平，关注学生的个体差异，开始部分的教学尽量放慢速度，降低难度，先让学生掌握基本的证明步骤与格式，规范书写，树立学习证明的信心；然后可以尝试让个体学生讲解题目的证明思路，集体讨论、分析、纠错，要使每一个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，引导学生在学习中不断总结，对所用方法、方式进行反思，交流体会，积累经验，逐步形成解决各类问题的策略。

2. 知识网络

本章所涉及的知识点多在七年级、八年级都已学过，是八年级（下）第六章《证明（一）》的继续，学生对图形的性质及相关关系进行了大量的直观探索，经历了简单的推理过程，具备了一定的推理基础。同时，本章也为继续学习九年级（上）证明（三）打下基础，在教材中具有承上启下的作用。
（1） 知识结构图

实际背景
定理
公理
与等腰三角形、等边三角形有关的结论
与直角三角形有关的结论
与一般三角形的有关结论
互逆命题及真假命题
反证法
尺规做图
线段的垂直平分线
角的平分线
三角形
解决实际问题

(2) 知识联系图
九年级（上）证明（三）
八年级（下）证明（一）
九年级（上）证明（二）
平面图形及其位置关系（七年级上）
四边形（八年级上）
三角形（七年级下）
相似图形（八年级下）
勾股定理（八年级上）
与证明有关的知识点

二、考点透视与学法指导
1. 考点透视：
三角形是最简单的多边形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用，因此，三角形在中考中的地位是非常突出的。近几年的中考，其分值约占全卷的10% 。命题方向：（1）围绕等腰三角形的性质定理及推论命题；（2）围绕直角三角形的性质定理及判定定理命题、三角形全等的判定定理命题；（3）围绕线段垂直平分线、角的平分线的性质定理及其判定定理命题；（4）围绕会利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线命题。各地中考题对有关特殊三角形的性质与判定进行考查，其主要目的是考查学生运用特殊三角形的相关性质与判定来解、证几何题的能力，题型多以选择题、计算题、证明题为主，大多为中档题，也有一些说理性、探索性、开放性的问题，这些新题型多以考查学生利用已学知识进行大胆的猜想、探索、实践、验证并得出结论的过程，教学中应给与足够的重视。

中考题摘选：
（2004年重庆北碚课改试验区）小芳要画一个两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个三角形的周长是（ ）
A 16cm B 17cm C 16cm或17cm D 11cm
(2005年安徽)下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，请你求出其余两角。”
同学们经过片刻的思考和交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°.”王华同学说：“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1） 假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2） 通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
考点分析: 以上两题考查等腰三角形的有关性质、三角形的内角和定理及三边关系定理，需要进行分类讨论。在讲解第一课时时，应注意这类题型的训练，有意识的培养学生的分类意识，提高思维的严谨性。

(2004年黄冈)如图（1）已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC与点F.
图（1）
求证：BF=2CF.
考点分析: 此题主要考查线段垂直平分线的性质定理，在讲解
这一部分内容时，应强化学生对基本图形的认识及对基本定理
的应用。
A
B
.
.
(2004年潍坊)如图所示为公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A,B两棵树间的距离。（我们不能直接量得）
请你根据所学知识，以卷尺和量角仪为测量工具
设计一种测量方案。
要求：（1） 画出你设计的测量平面图；
(2) 简述测量方案，并写出测量的数据；（长度用a,b,c…表示；角度用α,β,γ…表示）
(3) 根据你测量的数据，计算A,B两棵树间的距离。
考点分析:本题主要考查学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，充分体现了数学的应用价值，可借助的知识点有：三角形全等、三角形相似、三角形中位线、解直角三角形的知识等加以解决。
(2005年云南)小颖在做下面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心将部分字迹污损了。作业过程如下（涂黑部分即污损部分）；
已知：如图，OP平分∠AOB,MN∥OB 求证：OM=NM
证明：因为OP平分∠AOB
所以
又因为MN ∥OB
所以
故∠1=∠3,所以OM = NM
小颖思考：污损部分应分别是以下四项中的两项：①∠1=∠2 ②∠2=∠3 ③∠3=∠4 ④∠1=∠4
那么她补出来的结果应是( )。
A ①④ B ②③ C ①② D ③④
考点分析: 该题的题型近几年较多出现，主要考查基本的推理能力，可结合例题进行改变练习。
（2005年福州市）已知：如图（2），点C,D在线段AB上,PC =PD 。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给与证明。所添条件为_________，你得到的一对全等三角形是△_______≌△________.
考点分析: 开放性题目是中考的热点题型，一般无固定结论或结论较多，是培养创新能力的最有价值的一类题目，一般要求学生具有发散思维能力，能多层次、多角度地考虑问题，本体考察的知识点是三角形全等的判定条件，答案具有可选择性，因此应教会学生以正确简单为原则进行答题。
(2005年黄冈市) 多选题：如图(3)，△ABC中,AB=AC,D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G ，连结CE，下列结论中正确的有（ ）
A AD平分∠BAC B BE =CF C BE =CE D 若BE =5,GE =4,则GF =
图（2）
图（3）

考点分析: 此类选择题型中考题也较多出现，是对学生综合运用知识的能力的考查，学生不容易答对。该题涉及的知识点有等腰三角形“三线合一”的性质、线段垂直平分线的性质定理、相似三角形的判定等，尤其是第三问，需要添加辅助线，难度较大。在复习阶段，可以结合学生实际进行该类题型的联系，注意适当把握题目的难易程度。

2. 学法指导：
（1） 使学生充分经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，分析问题要灵活，掌握方法的多样性。
（2） 教学中注重对证明思路的启发，鼓励多样化的证明方法，培养学生形成反思的习惯。
（3） 要求学生掌握掌握证明的基本步骤和方法，规范作题的格式，推理要严谨，要做到步步有据。
（4） 注意数学思想方法的渗透，思维习惯、解题策略的培养。
（5） 依据《标准》，把握好证明题目的难度，避免繁、难、怪题，注重开放性、探索性题目。
三、课时安排与教学建议
1. 课时安排：（共12课时）
1.1 你能证明他们吗 4课时
1.2 直角三角形 2课时
1.3 线段的垂直平分线 2课时
1.4 角平分线 2课时
复习课 2课时
2. 重点、难点及教学建议
［第一课时］：
重点：掌握等腰三角形、等边三角形的性质定理及证明。
难点：“等边对等角”性质的证明。
教学建议：可将P4随堂练习1提到想一想前面，把习题1.1作为随堂练习的第一题，在布置作业时，可将P5例一作为思考题目，为下节课做好铺垫，减少容量。
［第二课时］：
重点：（1）等腰三角形的判定定理及证明；（2）反证法的理解和掌握；（3）一题多变的训练。
难点：对反证法的理解和掌握。
教学建议：习题1.2第4题学生学生独立完成有困难，可以在讲反证法时，设计几个命题，让学生讨论如何假设，然后再引导学生从假设出发，推导矛盾。作业题布置一个类似题目，例如：“证明：在一个四边形中，至少有一个角小于或等于90°”。
［第三课时］：
重点：（1）等边三角形的判定定理及证明；（2）一锐角等于30°的直角三角形的性质定理、判定定理及证明。
难点：一锐角等于30°的直角三角形的性质定理的证明思路的形成。
教学建议：把随堂练习1提到定理2前面。
［第四课时］：
教学建议：根据学生掌握1.1等腰三角形的情况，对本单元的内容进行复习巩固，有选择的讲解习题1.1—1.3及试一试题目，并适当补充有关的题型（可结合《学习检测》），注重分类讨论思想的培养，对基本图形的认识和把握。
［第五课时］：
重点：（1）掌握勾股定理和其逆定理；（2）会说出一个命题的逆命题并会判断真假命题。
难点：（1）勾股定理的逆定理的证明思路；（2）勾股定理与逆定理的区别；（3）正确得出一个定理的逆命题
教学建议：对勾股定理的逆定理的证明要求不宜太高，大多数学生能理解就可以了，要注意强调勾股定理与逆定理的区别，明确定理是直角三角形的性质，而逆定理是直角三角形的判定。另外，对于勾股定理的证明可单独拿出一节课来，结合04年济南市中考题进行探索，强化学生的拼图意识，提高学生“借助图形的面积”证明相关结论的能力。
［第六课时］
重点：掌握并证明“HL”定理并能应用“HL”定理解决有关问题。
难点：应用“HL”定理运用数学语言解决相关的数学问题。
教学建议：这节课容量不大，难度较低，应注重对学生逻辑推理能力的培养。
［第七课时］：
重点：（1）线段垂直平分线的性质定理及判定定理的证明；（2）用尺规作线段的垂直平分线。
难点：正确说出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题。
教学建议：教学生认识两个定理的基本图形，了解性质及判定的一般应用；落实线段垂直平分线的尺规作图；重视习题1.6 2，3及试一试1三道题目的讲解。
［第八课时］：
重点：（1）三角形三边垂直平分线交点的性质定理的掌握、证明；（2）尺规作等腰三角形。
难点：三角形三边垂直平分线的性质定理的证明。
教学建议：应让学生明确三角形三边垂直平分线的交点的性质是到三角形三个顶点的距离相等，反之，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。还要注重对尺规作图类题目的分析。
［第九课时］：
重点： （1）三角形角平分线的性质定理及判定定理的掌握及证明；（2）用尺规作角的平分线。
难点： 对性质定及判定定理的数学符号语言叙述
教学建议：强化基本图形的意识；落实角平分线的尺规作图；重视随堂练习 2的讲解及变型练习。
［第十课时］：
重点：三角形三角平分线交点的性质定理的掌握、证明及应用
难点： 定理的证明；例题思路的推导。
教学建议：证明定理时可类比三角形三边的垂直平分线的交点的性质进行处理；在探索例题时要给学生充分的时间思考、讨论，对解题过程应逐步板书，让学生明确每一步的依据，提高逻辑推理能力。

四、复习建议：
建议复习分两课时进行，第一课时引导学生梳理知识点，有针对性地讲解课本上的习题、复习题，巩固基础，落实课本；第二课时针对中考，进行专题训练。单元测验后，应重视评析试卷，对于出错较多的题目类型，可进行强化训练，及时查缺补漏。

［ 专题一］：对基本概念、基本定理的考查
1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
C
N
M
Q
P
A
N
M
Q
P
B
M
N
P
Q
N
M
D
P
Q

2. 关于等边三角形有下面四种说法：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的三角形是等边三角形。这些说法中，正确的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列关于命题的说法中正确的是（ ）
A 每个命题都有逆命题 B 每个定理都有逆定理
C 每个真命题的逆命题也是真命题 D 每个假命题的逆命题也是假命题
［ 专题二］：对平面图形的计算的考查
4. 底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是 。
5. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则底角为 。
6. 如图，△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线叫BC与D，AC的垂直平分线叫BC与E， 则△ADE的周长等于 。
7. 如图：在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN, 已知 AB=10,AC=16,求MN的长。
7题图
6题图
9题图
8题图

［专题三］：对平面图形的证明的考查
8. 如图：在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C
求证：AB+BD=AC
9. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB==90°,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD, 垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.
求证：AB垂直平分DF.
10题图
10. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法，如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置，连接CC’，设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理a2+b2=c2.

［专题四］：对尺规作图的考查
11. 如图：一辆汽车在直线形公路AB由A向B行驶，M,N分别是位于公路AB两侧的村庄。
（1） 设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P、Q的位置（保留作图痕迹）。
（2） 当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M、N两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远（分别用文字表述你的结果，不必证明）？
12题图
（3） 在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与M、N的距离相等？如果存在，请在图中AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。
11题图

12. 如图所示，A,B,C是三幢居民楼的位置，现计划在三幢居民楼之间修一座凉亭P,使P到A,B,C的距离相等，是确定P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）。
［专题五］：对应用类问题的考查
13. 某次“海上搜救”活动演习中，一救护船在A处测得海岛B在北偏东35°，上午11时，该船从A处出发，以每小时20海里的速度，向正北航行到C处，再观测海岛B在北偏东70°，且船距离海岛20海里，求该船到达海岛的时间。
14. 如图①是一面矩形红旗完全展开时的尺寸图（单位：cm）.其中矩形ABCD是双层白布缝制的穿旗杆的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面。（1）用加工过的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）； （2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm。在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h。
14题图①
14题图②

［专题六］：对开放类问题的考查
15. 如图：Rt△ACD≌Rt△BFD, △ABC中，延长BC交AF于D，延长AC交BF于E，AD与BE的延长线相交于F,∠ABD=45°试将下列条件中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确命题，并证明这个命题。① AD⊥BD; ② AE⊥BF; ③ AC=BF.
15题图
16题图
O
17题图
16. 如图：已知在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O,给出下列四个条件：① ∠EBO=∠DCO; ② ∠BEO=∠CDO; ③ BE=CD; ④ OB=OC. (1) 在上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号表示即可）. (2) 选择（1）中的情形，证明△ABC为等腰三角形。

［专题七］：对探究类问题的考查
17. 如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的点D重合，要使D恰为AB的中点，问在图中应加一个什么条件？

五 单元检测（满分：100分，时间：90分钟））
一、填空：（每空3分，共24分）
1、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为 。

2、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根。
3、如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是 ______三角形；
4. 底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是 。
5、在Rt△ABC中，∠A＞∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度
6、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为40，则底角B的大小为 。
7、△ABC的边长为三个连续自然数，过最大边所对角是最小边所对角的2倍，则△ABC的周长为 。
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为a，则其底边上的高是 。
二、选择题（每题3分，共18分）
1. 关于等边三角形有下面四种说法：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的三角形是等边三角形。这些说法中，正确的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，，且BF=CD，BD=CE，则∠EDF=（ ）
A、90°–∠A B、90°–∠A C、180°–∠A D、45°–∠A

3、如图，已知AC平分∠PAQ，点B、B´分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，下列条件中哪个可能无法推出AB=AB´（ ）
A、BB´⊥AC B、BC=B´C C、∠ACB=∠ACB´ D、∠ABC=∠AB´C
4、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5、如图，在△ABC中，AB=AC ，∠A=36，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
6、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
三、证明与解答：（共58分）
1、（6分）如图，已知：方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上确定一点，连接AB、AC、BC，使△ABC的面积为2个平方单位。

2、（8分）如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足。求证：（1）G是CE的中点 （2）∠B=2∠BCE

3、（8分）如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F。
（1） 求证：AN=MN
（2） 求证：△CEF为等边三角形
（3） 将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在(2)中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立。

4、（10分）如图，已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2 、h3，则△ABC高为h。若点P在一边BC上如图（1），此时h3=0。可得结论h1+h2+h3=h。（1）请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内如图（2），上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2 、h3 与h之间又有怎样的关系？

5、（8分）如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE。
A

D
E

B C
（1）求证△BCE≌△DCE；
（2）求∠EDC的度数。

6、（8分）阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.
证明：在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；

7、（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ BAC=90，O为BC的中点。
（1） 写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2） 如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论。

11