恩施州自然风光无限.doc

· 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；  图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.  
(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.
(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.
(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，
建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

· 解:⑴图（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
∴AC=30                  ．
在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30   ∴BC=40 
∴ BP=
S1=         
⑵图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又BC=40
∴BA'=
由轴对称知：PA=PA'
∴S2=BA'=           
∴                    
(2)如 图（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'>A'B
∴S2=BA'为最小      
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B'=
∴所求四边形的周长为  
（2011?成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一 动点． （1）若BK= 5/2KC，求 CD/AB的值； （2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= 1/2AD时，猜想线段AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=
1/nAD（n＞2），而其余条件不变时，线 段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等 量关系？请直接写出你的结论，不必证 明．
（1）由已知得 CK/BK= 2/5，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用 CD/AB= CK/BK求值； （2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G 为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则 EG=BG= 12BC，而GF= 1/2CD，EF= 12AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、 CD三者之间的数量关系； 当AE= 1/nAD（n＞2）时，EG=BG= 1/nBC，而GF= 1/nCD，EF= n-1n/AB， EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定 与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索 规律．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN， sin∠EMP=12/13．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求EM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=30，AB=50．
∴AC=√(50²-30²)=40
当点E与点C重合时，PE=PC=AC·BC/AB=40×30/50=24
又sin∠EMP=12/13=PE/EM，
∴EM=13PE/12=13×24/12=26.

（2）∵tanA=EP/AP=BC/AC=30/40=3/4，AP=x
∴EP=AP·3/4=3x/4
又sin∠EMP=12/13
∴cos∠EMP=5/13
∴tan∠EMP=12/5=EP/MP，MP=5EP/12=(5×3x/4)/12=5x/16
又EM=EN
∴PN=PM=5x/16
∴BN=AB-AP-PN=50-x-5x/16=50-21x/16
即y=50-21x/16，(0＜x＜32).

（3）（i）当E在AC边上（不包含C）时，
由（2）知AM=AP-MP=x-5x/16=11x/16，EN=EM=EP/sin∠EMP=(3x/4)/(12/13)=13x/16，NB=y=50-21x/16
∵∠AME=∠ENB
∴当AM/ME=EN/NB时，△AME∽△ENB
即(11x/16)：(13x/16)=(13x/16)：(50-21x/16)，
解得x=22，即AP=22；

（ii）当E、C重合时，
由（1）知EP=24，EN=EM=26，PM=PN=10，AM=AP-MP=32-10=22，NB=50-32-10=8
∴22/26≠26/8，即AM/ME≠EN/NB，△AME∽△ENB不成立
（iii）当E在BC边上（不包含C）时，
设EP=12k，则EM=EN=13k，PM=PN=5k，
又tanB=EP/PB=AC/BC，即12k/PB=40/30，解得PB=9k
∴NB=PB-PN=4k，AM=AB-PM-PB=50-5k-9k=50-14k
∵∠AME=∠ENB
∴当AM/ME=EN/NB时，△AME∽△ENB
即（50-14k）：13k=13k：4k，解得k=8/9
PB=9k=8，AP=50-8=42.
综上所述，若△AME∽△ENB，则AP=22或42．