三角函数恒等变换.doc

(完整)三角函数恒等变换
§6。3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数
【复习目标】
1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；
2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．
3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．

【双基诊断】
（以下巩固公式）
1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ )
A。－ B。 C.－ D.

2、在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是 （ )
A.直角三角形 B。等腰三角形 C.等腰直角三角形 D。正三角形

3、的值是 （ ）
A。 B. C。 D。

4、已知cos－cosβ=，sin－sinβ=，则cos(－β）=_______.

5、已知，则 。

6、若，其中是第二象限的角，则 。

7、化简等于 （ )

8、 （ ）
2 4 8 16
9、已知tan和tan(－)是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a、b、c的关系是( ）
A.b=a+c B。2b=a+c C.c=b+a D.c=ab

10、= .

11、设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是 （ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c

12、△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=_______。

13、f（x）=的值域为 （ ）
A。（－－1,－1）∪(－1，－1） B. (,）
C。［，－1］∪（－1，） D.［，]

14、已知∈（0，），β∈(，π）,sin（+β）=，cosβ=－，则sin=____.

15、下列各式中，值为的是 （ ）
A.sin15°cos15° B.2cos2－1 C. D。

16、已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________。

17、 .

18、 ．

19、 = ；

20、 。

21、= 。

22、 （ ）

23、已知,当时，式子可化简( ）

24、若cos=,且α∈（0,），则tan=____________。

25、= 。

26、若f（tanx)=sin2x,则f（－1）的值是 ( )
A。－sin2 B.－1 C. D.1

27、，则 ．

(以下巩固题型）
28、 .

29、（1）； (2）．

30、 。

31、= ．

32、已知sin(x－)cos(x－）=－，则cos4x的值为 .

33、若,sin+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cos,则β－的值为 .

【深化拓展】（巩固三角变换）
1．设cos（－）=－，sin(－β）=，且＜＜π,0＜β＜，
求cos（+β）。

2。 已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值。

3．已知关于的方程的两根为,
求:(1)的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．

4． 已知为一三角形的內角,求的取值范围．

5．已知6sin2+sincos－2cos2=0，∈［，π］,求sin(2+）的值。

6。已知为第二象限角,cos+sin=－，求sin－cos和sin2+cos2的值.

7．已知sin2=，∈（，)。
（1）求cos的值；
（2）求满足sin（－x）－sin(+x）+2cosα=－的锐角x。

8．已知，求的值。

【回顾思悟】

1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；
2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、的变换、和积的变换、幂的变换等方面;
3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．
三角函数求值问题一般有三种基本类型：
1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值;
2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值;
3．给值求角，即给出三角函数值,求符合条件的角．
(二）主要方法:
1．寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角；
2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
3．一些常规技巧:“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．
1。化简要求：
（1)能求出值的应求出值。
（2）使三角函数种数尽量少.
（3）使项数尽量少。
（4）尽量使分母不含三角函数.
（5）尽量使被开方数不含三角函数.
2。常用方法：
(1)直接应用公式.
（2)切割化弦，异名化同名,异角化同角。
（3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n+1sinα,应用二倍角正弦公式即可.
1。证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.
2。条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法(即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.
3。三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值,这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+)（A≠0，ω＞0)的形式,或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.
【答案提示】
1、解析:原式=sin17°·（－sin43°）+（－sin73°）(－sin47°)=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=. 答案：B
2、解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. ∴cosAsinB－sinAcosB=0.
∴sin(B－A）=0。∴B=A。 答案：B
3、解析：原式=
===. 答案：C
4、解析：（cosα－cosβ）2=，（sinα－sinβ）2=.
两式相加，得2－2cos(α－β）=. ∴cos（α－β)=。 答案：
7、化简等于 ( ）

8、 （ ）

9、解析:∴tan==1. ∴－=1－.
∴－b=a－c。∴c=a+b。 答案:C
10、解析一：tan15°+cot15°=+===4。
解析二：由tan15°=tan（45°－30°）===。
∴原式=+=4。
11、解析：a=sin59°,c=sin60°,b=sin61°，∴a＜c＜b。
12、解析：利用正弦定理,由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°)A=30°. 答案：30°
13、解析:令t=sinx+cosx=sin（x+）∈[－，－1]∪(－1，）,
则f（x）==∈[，－1］∪（－1，）。 答案:C
14、解析：由0＜α＜，＜β＜π,得＜α+β＜.
故由sin（α+β）=，得cos（α+β)=－. 由cosβ=－，得sinβ=。
∴sinα=sin［（α+β）－β]=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－)－（－）·=－. 答案：－
15、解析:=tan45°=. 答案：D
16、解析：由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=,
cos2θ=1－2sin2θ=1－2·=. 答案：
18、 1 ．；
19、原式
．
21、分析：原式=

注：化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式还需用到代数变形公式，如平方差公式。
22（ ） 23、（）
24、若cosα=，且α∈（0，），则tan=____________.
24、解析一:由cosα=，α∈（0，）,得sinα==,
tan=====.
解析二：tan===. 答案：
25、原式
．
26、解析：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1。 答案：B
27、，则 ．
29、证:（1）左边

右边，∴得证．
说明:由等式两边的差异知：若选择“从左证到右"，必定要“切化弦"；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．
（2）左边
右边，∴得证．
31、解：原式

32、剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.
解：由已知得sin(x－－）cos（x－)=－，∴cos2（x－）=.
∴sin2x=cos(－2x)=2cos2（－x）－1=－.∴cos4x=1－2sin22x=1－=－.
33、剖析：由已知首先消去γ是解题关键。
解：由已知,得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ。
平方相加得（sinβ－sinα）2+(cosα－cosβ）2=1.
∴－2cos(β－α)=－1.∴cos（β－α)=。∴β－α=±。
∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α。∴β－α=。
评述：本题极易求出β－α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根。因此求值问题要注意分析隐含条件。
1．剖析：=（α－）－（－β）。依上述角之间的关系便可求之。
解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜。
故由cos（α－）=－，得sin(α－）=.
由sin（－β)=，得cos（－β）=.
∴cos（）=cos[（α－）－（－β）］=…=.
∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－.
评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系。其中变角是常见的三角变换.
2．分析：角之间的关系：（－x）+（+x)=及－2x=2（－x)，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
解：∵(－x)+(+x）=，∴cos（+x）=sin（－x).
又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x)cos（－x）,
∴=2cos（－x）=2×=.
3．已知关于的方程的两根为，
求:（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．
②
①
解：（1)由根与系数的关系，得，
∴原式．
（2）由①平方得:，，即，故．
（3）当，解得，
∴或， ∵，∴或．
4． 已知为一三角形的內角,求的取值范围．
解:
．
∵为一三角形內角,，
∴的取值范围是．
5．已知6sin2α+sinαcosα－2cos2α=0，α∈［，π），求sin（2α+）的值。
分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能。
解法一：由已知(3sinα+2cosα）（2sinα－cosα）=03sinα+2cosα=0或2sinα－cosα=0。由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即α∈（,π）。
于是tanα＜0，∴tanα=－.
sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin
=sinαcosα+(cos2α－sin2α）
=+×=+×.
将tanα=代入上式得
sin（2α+）=+×=－+，即为所求.
解法二：由已知条件可知cosα≠0，则α≠,
∴原式可化为6tan2α+tanα－2=0，
即（3tanα+2）(2tanα－1）=0。
又∵α∈（,π）。∴tanα＜0，∴tanα=－。
下同解法一。

6.已知α为第二象限角,cos+sin=－，求sin－cos和sin2+cos2的值.
解:由cos+sin=－平方得
1+2sincos=，即sinα=，cosα=－。
此时kπ+＜＜kπ+.
∵cos+sin=－＜0,sincos=＞0,
∴cos＜0，sin＜0。∴为第三象限角.
∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，
即sin－cos＜0.
∴sin－cos=－=－，
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=。
评述:由三角函数值判断的范围是关键.
7．解：（1)因为＜α＜,所以＜2α＜3π.
所以cos2α=－=－.
由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－.
（2）因为sin（α－x）－sin(α+x）+2cosα=－，
所以2cosα（1－sinx）=－.所以sinx=。
因为x为锐角，所以x=。
8． 南通P:76

【同步训练】
1、满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是 （ ）
A。α=，β= B.α=，β= C。α=，β= D.α=,β=
解析：由已知得cos（α+β）=，代入检验得A. 答案：A
2、已知tan（+α)=2,则的值为 .
解:由tan（+α）==2， 得tanα=.
于是====.
3、在中,，则 ．
4、要使sinα－cosα=有意义,则应有 （ )
A.m≤ B.m≥－1 C.m≤－1或m≥ D。－1≤m≤
解析:2sin（α－）=sin（α－）=.
由－1≤≤1－1≤m≤。 答案:D
5、 = ．
5、原式

∵，∴，∴，
∴原式．

6、已知cosα=，cos（α+β）=－,α、β∈（0，），则β= .
解：由cosα=，cos（α+β）=－，
得cosβ=cos[（α+β）－α］=,
得β=.
7、(2005年春季上海，14）在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析：由=，得=。
又=，∴=.∴=.∴sinAcosB=cosAsinB，
sin（A－B）=0，A=B。同理B=C. ∴△ABC是等边三角形。 答案:B
8、若8cos（+α）cos（－α）=1,则sin4α+cos4α=_______.
解析：由已知得8sin(－α）cos（－α）=1，∴4sin（－2α）=1。∴cos2α=.
sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2－2sin2αcos2α=1－sin22α=1－（1－cos22α）
=1－（1－）=1－×=. 答案：
9、若tanx=，则=_______。
解析：原式=====2－3。
答案:2－3
10化简= 。
解：原式=
=
=
===tan。
11、已知0＜α＜，tan+cot=,则sin(α－）的值为 .
解：由已知tan+cot==，得sinα=。
∵0＜α＜，∴cosα==.
从而sin(α－）=sinα·cos－cosα·sin
=×－×=（4－3)。
12、已知x∈(－，0)，cosx=，则tan2x等于 （ )
A。 B。－ C. D。－
解析：∵cosx=，x∈（－,0），
∴sinx=－。∴tanx=－.
∴tan2x===－×=－。
答案：D
13、已知sin（θ+π)＜0，cos(θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是 （ ）
A.tan＜cot B.tan＞cot C。sin＜cos D.sin＞cos
解析：由已知得sinθ＞0,cosθ＜0，
则tan－cot=－=－＞0。 ∴tan＞cot。 答案：B
14、下列四个命题中的假命题是 （ ）
A.存在这样的α、β,使得cos(α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B。不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α、β，cos（α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α、β,使得cos(α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
解析:由cos(α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得
sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ(k∈Z）. 答案：B
15、函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______。
解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2(sinx－）2+.
∴sinx=1时,ymax=4。
答案：4
16、求周长为定值L(L＞0）的直角三角形的面积的最大值。
解法一：a+b+=L≥2+。
∴≤。
∴S=ab≤（)2
=·［］2=L2.
解法二:设a=csinθ,b=ccosθ。

∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L。
∴c=。
∴S=c2sinθcosθ=.
设sinθ+cosθ=t∈（1,］，
则S=·=·=（1－）≤（1－）=L2。
17、（2004年湖南，17）已知sin（+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα－cotα－1的值。
解:由sin（+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin(+4α）=cos4α=,得cos4α=.
又α∈（，）,所以α=.
于是2sin2α+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+
=－(cos2α+2cot2α)=－（cos+2cot）
=－（－－2）=.
18、α、β∈（0，），3sin2α+2sin2β=1，① 3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值。
解：由①得3sin2α=1－2sin2β=cos2β.
由②得sin2β=sin2α。
∴cos(α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β
=3cosαsin2α－sinα·sin2α=0.
∵α、β∈(0,），∴α+2β∈（0，).
∴α+2β=.
19、求证：=。
证明：左边===，
右边==，
∵左边=右边，∴原式成立。
20、（2005年春季北京，15）在△ABC中,sinA+cosA=，AC=2，AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。
解法一:∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，
∴cos(A－45°）=.
又0°＜A＜180°,
∴A－45°=60°，A=105°.
∴tanA=tan(45°+60°）==－2－.
∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°=。
∴S△ABC=AC·ABsinA
=·2·3·
=（+）。
解法二：∵sinA+cosA=， ①
∴（sinA+cosA）2=.∴2sinAcosA=－。
∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.
∴90°＜A＜180°.
∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=,
∴sinA－cosA=。 ②
①+②得sinA=。
①－②得cosA=.
∴tanA==·=－2－。
（以下同解法一）
21、锐角x、y满足sinycscx=cos(x+y)且x+y≠，求tany的最大值。
解：∵sinycscx=cos（x+y），
∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny,
siny（sinx+cscx）=cosxcosy.
∴tany====≤=，
当且仅当tanx=时取等号.
∴tany的最大值为。
22、已知α、β∈（0，），3sinβ=sin(2α+β)，4tan=1－tan2.求α+β的值。
解：∵4tan=1－tan2，
∴2·tanα=1，tanα=。
∵3sinβ=sin(2α+β)，
∴3sinβ=sin(α+β）cosα+cos（α+β）sinα.
∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα
=sin（α+β)cosα+cos（α+β）sinα。
∴sin(α+β)cosα=2cos（α+β）sinα。
∴tan（α+β）=2tanα=1。∴α+β=.
评述:角的变换是常用技巧。如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等。

23、是否存在两个锐角满足（1);（2)同时成立,若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解:由（1）得，∴，
∴，∴或（∵，∴，舍去），
∴为所求满足条件的两个锐角．
24、已知，求的值．
解：∵，，
∴,
得，若，则,
若，无意义．
说明:角的和、差、倍、半具有相对性，如，,等，解题过程中应充分利用这种变形．

25、已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1）,求证：tan（α+β）=tanα。
证明：∵sinβ=msin(2α+β），
∴sin[（α+β）－α］=msin［(α+β）+α]。
∴sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα
=msin(α+β）cosα+mcos（α+β）sinα.
∴(1－m）sin（α+β）cosα
=（1+m）cos（α+β）sinα.
∴tan(α+β）=tanα.

26、sinα+sinβ=，求cosα+cosβ的取值范围。
解：令t=cosα+cosβ， ①
sinα+sinβ=， ②
①2+②2，得t2+=2+2cos（α－β）.
∴2cos(α－β）=t2－∈[－2，2］.
∴t∈[－,］.

27、已知a=（cosx,sinx），b=（cos，－sin），x∈［0，].
（1）求a·b及｜a+b｜;
（2）若f(x）=a·b－2λ|a+b|的最小值是－，求λ的值。
解:（1）a·b=cosxcos－sinxsin=cos2x。
|a+b｜==2=2cosx（∵x∈［0，］）.
(2）f（x）=cos2x－4λcosx=2（cosx－λ）2－1－2λ2。
∵x∈［0，］,∴cosx∈［0,1］。
①当λ＜0,cosx=0时，f（x）min=－1，矛盾。
②当0≤λ≤1，cosx=λ时，f（x）min=－1－2λ2，由－1－2λ2=－,得λ=。
③当λ＞1，cosx=1时，f(x）min=1－4λ,
由1－4λ=－，得λ=＜1，矛盾。
综上，λ=为所求。