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一道高考题的演变
唐山一中 王君
要点：许多高考题都是在一些熟悉的题目基础上编制出来的. 下面的例子是60年代的一个高考题，经过改造，在近年的高考试题中频频出现，现在把它们总结出来，或许对老师和同学们有所启迪.

题目：过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作互相垂直的两条射线,交抛物线于A、B两点.
求证：AB中点的轨迹仍为抛物线(60年代高考题)
解1: 设OA: y=kx,OB: y=-x.
由y=kx和y2=2px 得 A(,)，
同理B(2pk2, -2pk).
设AB中点为P(x,y). 则 x=p(+k2)，y=p(-k) .
削去k得y2=p(x-2p)，这是以C(2p,0)为顶点的抛物线.
解2: 设点P(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2).
由=x1x2+y1y2=+y1y2=0, 得y1y2= -4p2.
又设AB方程为: x=my+n, 代入y2=2px得 y2-2pmy-2pn=0.
根据韦达定理得y1+y2 =2pm , y1y2=-2pn=-4p2.
所以n=2p, AB方程为: x=my+2p............①
点P的纵坐标为y==pm, 与①联立消去m得 y2=p(x-2p).
这是以(2p,0)为顶点, 焦点在x轴上的抛物线.

由解题过程可以得到两个中间结果:
⑴直线AB过定点(2p,0); ⑵y1y2= -4p2.
中间结果⑴就是下面的题目
1. 过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作互相垂直的两条射线,交抛物线于A、B两点. 求证: AB过定点.

因为AB过定点C(2p,0)，作OQ⊥AB于Q，则点Q一定在以OC为直径的圆上，于是有
2. (2000春季22题)已知点A、B在抛物线
y2＝2px(p>0)上运动，O是坐标原点，且
OA⊥OB, OQ⊥AB于Q.
求点Q的轨迹方程.

由中间结果⑵及均值不等式可以求出y12+y22的最小值.
3. (2006山东)已知抛物线y2=4x, 过点P(4,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)、
B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是_____.

把1题逆过来得
4. (2004重庆理)设常数p>0，过点C(2p,0)作直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B. 以线段AB为直径作圆H(H为圆心).
试证明抛物线的顶点在圆H的圆周上, 并求出圆H的面积最小时, 直线AB的方程(文科与此类似).

把抛物线的焦点放在y轴上, 并注意到S△AOB=p|x1-x2|. 由x1x2= -4p2并结合均值不等式可求|x1-x2|的最小值.
5. (2005广东)已知A、B是抛物线y=x2上两点，
O为坐标原点, OA⊥OB.
⑴求△AOB的重心G的轨迹方程;
⑵△AOB的面积是否存在最小值, 若存在，
请求出最小值；若不存在请说明理由.

把OA⊥OB这个条件用|+|=|-|替换得
6．(2006辽宁)已知A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2＝2px(p>0)上两个动点，O是坐标原点，向量、满足|+|=|-|.
设圆C的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
⑴证明:线段AB是圆C的直径;
⑵当C的圆心到直线x-2y=0的最小距离为时, 求p的值.
命题者想把∠AOB=90°换成其它固定的角(即OA、OB的倾斜角之差为
定值)看看AB是否过定点，AB中点轨迹是否为抛物线. 结果发现猜想并
不成立. 但是，把条件换成“OA、OB的倾斜角之和为定值”,则AB过
定点. 此时也便于使用韦达定理, 于是有
7. (2005山东题)已知动圆过定点(,0)且与定直线x= -相切,其中p>0.
⑴求动圆圆心C的轨迹方程;
⑵设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点, 直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标(文科θ=).
∠AOB=90°=0. 于是猜想“若=c(常数),直线AB
过定点”.得
8. 已知A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2＝2px(p>0)上两个动点，O是坐标原点，=c.
⑴求c的取值范围;
⑵当c为常数时,研究直线AB是否过定点?
解: ⑴∵=x1x2+y1y2=+y1y2=c,
∴y12y22+4p2 y1y2-4p2 c=0 …………………..①
由△=16p2(p2+c)≥0得c≥-p2;
⑵ 由①得 y1y2= -2p2±2p………..②
直线AB的方程为y-y1=(x-x1)，以x1=代入并整理得
y= ……………………………..③
把②代入③得y=,
所以直线AB过定点M(p-,0)或N(p+,0).

当c=0时,因AB不过原点，所以AB过定点(2p,0)，这就是题目1.
此题的结果说明: 当点A固定后，可以在抛物线上找到两点B1和B2，使直线AB1过点M(p-,0)，直线AB2过点 N(p+,0)，并且=,即=0.于是得
9. 点A是抛物线y2＝2px(p>0)上异于原点O的动点，点M、N在x轴上,且关于点(p, 0)对称，直线AM和AN分别与抛物线交于B、C两点.
求证:BC⊥OA.

保持点A不动，变动M、N，由OA的斜率为常数，及BC⊥OA，可知BC的斜率也为常数，得到
10．点A是抛物线y2＝2px(p>0)上异于原点O的定点，点M、N是x轴上关于点(p, 0)对称的两个动点，直线AM和AN分别与抛物线交于B、C两点. 求证: BC的斜率为常数.

题目8的逆命题为
11. 过x轴上一个定点（异于原点）M（a,0）作直线l交抛物线y2＝2px(p>0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证:
⑴y1y2为常数；
⑵为常数.
把8题和11题迭加在一起, 并取其一种特殊情况就是
12. (2006上海)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线 y2=2x相交于
A、B两点.
⑴求证:“如果直线l过点T(3,0), 那么=3”是真命题;
⑵写出⑴中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

特别地，当a=时，就是大家熟悉的题目
13. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证: y1y2=-p2.
题目10和13还有许多变化，请见“数学习题的编造”专题.

注意： 需要《立体几何》与《解析几何》教学软件的老师（学校）请与作者联系。
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2006.10
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