圆与正多边形(师).doc

课 题
圆与正多边形
教学内容
知识点梳理：
一、正多边形和圆
①各边、各角都相等的多边形叫做正多边形。
②任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且它们同心圆。
③正多边形的中心角的度数=
注意：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的对称性：
轴对称：
中心对称：
正多边形旋转对称性：
结论：绕中心旋转，都能和原来的图形重合．

例1：正n边形的半径为R，中心角= ；边长= ；边心距=________，周长=________，面积=________．:

例2：在圆O中，若弦AB是圆内接正方形的边，弦AC是圆内接正六边形的边，则∠BAC=
解：连接OA，OC，OB
∵AC是正四边形一边
∴∠AOC=90°
∴∠OAC=45°
∵AB是正六边形一边
∴∠AOB=60°
∴∠OAB=60°
当AB，AC在O的两侧时，∠BAC=60°+45°=105°
当AB，AC在O的同侧时，∠BAC=60°-45°=15°
例3：（2006•威海）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1/AB的值为（　　）

设ABCD的边长为a，园的半径为r，A1B1C1D1的边长为b，由图可知
2r=a    A1B1/AB=a/b=
巩固练习：
1、正n边形的内角和为____360（n-2）___每个内角为___360（n-2）/n_____，每个外角为________，每个中心角为__360/n______．
2、正六边形的边长、边心距、半径之比为_________
3、如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（　D　）
A．5﹕3 B．4﹕1 C．3﹕1 D．2﹕1

4、（2008•安顺）如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（　　）

△PQR是圆O的内接【正三角形】，四边形ABCD是圆O的内接【正四边形】，BC平行QR，
∠AOB=90°，∠PQR=60°
做OM平行QR与AQB弧交于M
∠AOM =∠AOB/2 = 90°/2 = 45°
又：∠OQR =∠PQR/2 = 60°/2 = 30°
OM平行QR
∠MOQ = ∠OQR = 30°
∠AOQ = ∠AOM+∠MOQ = 45°+ 30° = 75°

5、如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（-1，0），则点C的坐标为 ____________

六边形边长为1
C点坐标为(1/2,-√3/2)

6、（2010•乐山）正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为____

因为正六边形有三对平行边，总的各距离和是三对平行边的距离和，
设边长为a,一对平行边的距离，2倍的边心距，边心距=a√3/2=√3，
2倍的边心距为2√3，
P点到各边的距离和为2√3*3=6√3

正五边形、正十边形、黄金分割
例4：如图，BC是⊙A的内接正十边形的一边，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论成立的是（　①②③④　）
① BC=BD=AD ②BC2=DC•AC ③△ABC的三边之比为1：1： ④ BC=AC

例5：如图11，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，联结PA并延长，交⊙M于另外一点C.
(1) 若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；
(2) 联结OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；
(3) 是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由.
A
B
图11
C
Q
P
O
M

备用图
Q
P
O
图12
Q
P
O
M

（1）图画正确
过点作，垂足为
∴
由题意得：， 又是圆的直径
∴ ∴，
∴
在Rt△中，
又，
∴
∴ y关于x的函数解析式为 （）
（2）设圆M的半径为
因为 OA⊥MA，∴∠OAM=90°，
又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。
因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。
所以∠PMC=90°.
又≠∠P， 所以，∠AMO=∠P
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.
∴ , 即 ， 解得
从而
所以，，圆的半径为.
（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边
联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦与直线相交于点
由正五边形知 ，
∵ 是公共弦，所以，，
从而 ，
∴
∴，即圆的半径是
∵ ，
∴
∴
∴ △∽△
∴
∵ ，
∴ ，解得：（负值舍去）
∴
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
此时的，圆的半径是.

巩固练习：
1、已知：如图，在正五边形ABCDE中，BE分别与AC、AD相交于F、G，下列说法不正确的是（C 　　）
A .BG=DE B．∠CAD=36° C．图中有8个等腰三角形 D．F是BG的黄金分割点

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