新定义与新运算B答案.doc

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案）

第[1]道题答案：
100.
因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.

第[2]道题答案：
8.
依题意,得,解得.
第[3]道题答案：
42.
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

第[4]道题答案：
98.
原式

第[5]道题答案：
11.
<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以
原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

第[6]道题答案：
6.
x⊙5-5⊙x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.

第[7]道题答案：
45678.

第[8]道题答案：
.
因为○○,0.625△△,
△△,○○,
所以,原式.

第[9]道题答案：
2.
令x※3=y,则y※4=421200,
又421200,
所以y=24,即x※3=24.
又24=,故x=2.

第[10]道题答案：
4.
由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得
,
所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.
由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1.
所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.

第[11]道题答案：
(1)原式;
(2)原式△4=7△4=;
(3)原式△△13
.

第[12]道题答案：
(1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;
(2)因为表示a※b表示较大数与较小数的差,显然a※b= b※a成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.

第[13]道题答案：
(1)按照定义有2※3,3※4.
于是(2※3)※4※4=.
2※(3※4)=2※.
(2)由已知得 ①
若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.

第[14]道题答案：
(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.
因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到.
所以.