2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案.doc

玉溪一中2015届高三上学年期中考试题
理 科 数 学
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，,则是 (　　)
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中正确的是( )
A．若,则
B．若为真命题,则也为真命题

C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
D．命题“若,则”的否命题为真命题
4．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则＝ (　　)
A． B． C． D．
5．若框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　)．

A．k＝9? B．k≤8? C．k＜8? D．k＞8?

6．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 （ ） (　　)．
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)

（7题图）
7． 如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（ ）
A． : B．:
C．: D．:

8．在平行四边形中，60°，为的中点，若，则的长为( )
A． B． C． D．
9．若任取，则点满足的概率为( )
A． B． C． D．
10．已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线绕原点逆时针旋转°到交单位圆于点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．函数y＝的图象大致是 (　　)

12．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将名教师，名学生分成个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由名
教师和名学生组成，不同的安排方案共有__________种.

14．数列的前项和为，若则=____________.
15．如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是__________.

16．已知函数，给出下列五个说法：
①. ②若，则.③在区间上单调递增. ④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象.
⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是 .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程.
（Ⅱ）直线（为参数）与曲线交于两点，于轴交于点E，求.

18.（本小题满分12分）
已知函数．设时取到最大值．
（Ⅰ）求的最大值及的值；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，，且，试判断三角形的形状．

19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；
（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.

20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点。
P
A
B
C
D
E
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与 平面所成角的正弦值。

21.（本小题满分12分）已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）线段是椭圆过点的弦，且，求面积最大时实数的值.

22.（本小题满分12分）设 , .
（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
（Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

玉溪一中2015届高三上学年期中考试理科数学
参考答案
1-----5 DADAD 6-----10 CACAB 11-----12 CA
13. 12 14. 127 15. 16.①,④

17.【答案】(1) (2)

18.【答案】
又，则，故当
即时， 6分
（2）由（1）知，由即，
又，
则即，
故
又 所以三角形为等边三角形. 12分

19.【答案】（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，………………3分
∴该同学被淘汰的概率
．……………………６分
（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，
，．………………8分
∴的分布列为

1
2
3
P

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………１０分
∴……………………１２分
20【答案】.
解：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，，
P
A
B
C
D
E
x
y
z
，，
，
又，平面PBC，
∵平面EAC，平面平面PBC ……………6分
(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。
设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），
，，，
取=（1，－1，0）……………8分
则，m为面PAC的法向量
设为面EAC的法向量，则，
即，取，，，则，
依题意，，则。于是
设直线PA与平面EAC所成角为，则，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。……………12分
21.【答案】（1），又
…………4分
（2）显然直线不与轴重合
当直线与轴垂直时，||=3，，；………5分
当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，
整理，得
……………7分

令
所以由上，得
所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3 ……………10分
所以， ………………12分

22【答案】（1）当时,,,
,, 所以曲线在处的切线方程为; 2分
(2)存在,使得成立 等价于:, 考察, ,

递减
极小值
递增

由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数; 7分
(3)当时,恒成立等价于恒成立,

∴f(x)的最大值是0, 最小值是.………………12分