高等代数第三章线性方程组复习.doc

(和为零向量表法不唯一)
2.等价定义(理论):如果向量组A中有一个向量可由其他向量线性表出,那么向量组A线性相关,否则,线性无关(互为充要条件)
推论:向量组

线性相关,等价于存在I,使得ai可由a1….ai-1线性表出
3.线性相关性的判断：

1) 若m=n,那么有非零解,等价于系数行列式等于零,等价于秩r小于未知量的个数n(矩阵的行列式不等于0,等价于秩等于n)
2) 若m不等于n,有非零解等价于系数矩阵的秩小于未知量的个数
4.一般结论：
1)若一向量组线性无关,那么在每一个向量的的对应位置添加分量,所得向量组仍线性无关
2)部分相关,则整体必相关;整体无关,则部分必无关
3)单位向量组线性无关
4)由一个向量组成的向量组线性相关,则此向量为零向量

(范德蒙:列成等比,大角标-小角标)

补充：线性组合与线性表出
1）定义：若有数域P中的数K1 K2….Ks，使向量a=K1b1+…..+Ksbs,则a称为向量组b1
….bn的一个线性组合，或称a可由该向量组线性表出
2）定理：判断一向量是否可由一向量组线性表出

二向量组的极大无关组的定义及求法
1.向量组的等价：

即多由少线性表出，则多线性相关。

（推论连续应用两次即可得到上述结论）

2.极大线性无关组：

（极大线性无关组不唯一）

一个线性无关向量组的极大线性无关组就是其本身

三 向量组的秩，矩阵的秩的定义及求法
1.秩的定义：

2.关于向量组秩的结论：

（5）含有相同的秩，且其中一个可由另一个线性表出，则两向量组等价
（6）含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任意一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。
（7）一向量组的秩为r,那么此向量组中，任意r个线性无关的向量组都是此向量组的极大线性无关组
（8）一向量组的秩为r，存在r个向量，其中该向量组中任意一个向量都可由这r个向量线性表出，那么这r个向量组成该向量组的一个极大线性无关组
3.求向量组的极大无关组的方法：

B向量组的极大线性无关组——B中非零行第一个非零元素所在的列。

4. 求向量组秩的方法：

5矩阵的行秩，列秩，矩阵的秩：

6求矩阵秩的方法：

7求向量组或矩阵的极大线性无关组，并用极大线性无关组表示其他向量
将A化成简化阶梯型矩阵，对应的系数即为表出系数

8矩阵秩的另一种求法（理论）：

四 线性方程组有解判别法

（r为矩阵的秩）

五 线性方程组解的结构

1 基础解系的定义：

2基础解系的定理：

3，如何找基础解系：

4.非齐次线性方程组解的情况：

5非齐次线性方程组的通解：

{齐次线性方程组（1）与其导出组齐次方程组（2）解的关系：
1）（1）两个解的差是（2）的解
2）（1）与（2）解的和是（1）的解 }