二轮复习数学专题一第2讲-函数、基本初等函数的图象与性质.doc

2012年高考第二轮复习数学专题一第2讲　函数、基本初等函数的图象与性质

1．(2011课标全国卷，理2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　)．
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
2．(2011陕西高考，理11)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.

高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，则结合的知识点较多，多在试卷的后两道压轴题中出现．对图象的考查，主要是两个方面：一是识图，二是用图，即利用图象，通过数形结合的方法解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性，周期性等综合在一起考查，既有具体函数，也有抽象函数．

热点一　函数及其表示
该类题型主要涉及求函数定义域、值域、解析式以及抽象函数问题．
【例1】 (1)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)．
A．　　　B．　　　C．2　　　D．0
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
思路点拨：(1)结合分段函数解析式，由内到外层层求解；(2)由x的取值范围求得2x＋1的取值范围，即f(x)的定义域．

(1)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．
(2)求抽象函数的定义域时，若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)求值域的常用方法有：配方法、换元法、判别式法、不等式法、利用函数单调性法、数形结合法等．由于求函数值域的方法多种多样，在选择方法时，要注意所给的函数表达式的结构，由不同的结构选择不同的方法．
拓展延伸 若例1(2)中f(x)的定义域为(0,1)，试求函数F(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a>0)的定义域．

热点二　函数图象及其应用
该部分主要考查以下内容：(1)知式选图或知图定式；(2)利用图象研究函数的单调性、最值、零点；(3)利用图象研究方程、不等式问题．
【例2】 已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝关于方程g[f(x)]－a＝0(a为正实数)的根的叙述有下列四个命题：
①存在实数a，使得方程恰好有3个不同的实根；
②存在实数a，使得方程恰好有4个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰好有5个不同的实根；
④存在实数a，使得方程恰好有6个不同的实根．
其中真命题的个数是(　　)．
A．0　 B．1　 C．2　 D．3
思路点拨：分别画出f(x)和g[f(x)]的图象，数形结合求解．

(1)作函数图象的基本思想方法大致有三种：①通过图象变换利用已知函数图象作图；②对函数解析式进行恒等变换，转化成已知方程对应的曲线；③通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状．
(2)已知函数解析式选择其对应的图象时，一般是通过研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象特征选择正确的图象．
(3)研究方程的根的个数、根的范围问题，尤其是当方程不是常见的一元一次方程、一元二次方程且方程与常见的基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
拓展延伸 若关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＋b的值为(　　)．
A．5 B．4　 C． D．
热点三　函数性质的综合应用
该类题目往往把函数的奇偶性、单调性、周期性、最值、解析式等综合在一起进行考查，求解这类问题时，一是要紧扣奇偶性、单调性的定义及有关的结论，二是要把各种性质之间的联系充分利用好．
【例3】 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则
①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈[3,4]时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是__________．
思路点拨：①以t代替x－1，利用周期定义进行判定；②由①结合已知条件可知函数图象关于x＝1对称，进而判断单调性；③利用①②即可判定；④由4－x∈[0,1]，结合周期性及函数奇偶性进行判定．

(1)求解这类涉及函数性质的多项判断题时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接的判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用．
(2)判断函数的单调性的一般规律：对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法．
拓展延伸 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 010]上的所有x的个数．

1．求函数的单调区间而忽视函数的定义域导致错误．
例如求函数的单调区间时，易忽视x2－3x＋2>0这一前提．
2．忽视定义域要求导致判断函数奇偶性错误．
例如判断函数f(x)＝＋的奇偶性时，且勿盲目判断f(x)与f(－x)之间的关系，应首先求出函数的定义域，看函数定义域是否关于原点对称．
3．对函数图象的变换认识不深刻，造成图象变换中的错误．
例如已知函数y＝f(x)的图象求函数y＝f(1－x)的图象时，应先将y＝f(x)的图象关于y轴翻折得y＝f(－x)的图象，然后再将y＝f(－x)的图象向右平移一个单位，即得所求函数图象，而不是直接将y＝f(x)的图象平移．

参考答案
考场传真
1．B　解析：A中y＝x3是奇函数不满足题意；由y＝|x|＋1的图像可知B满足题意；C中y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意；D中y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意，故选B.
2．(2011陕西，理11)1　解析：∵1>0，
∴f(1)＝lg 1＝0，
∴f(f(1))＝f(0)．
又∵0≤0.
∴f(f(1))＝f(0)＝0＋3t2dt
＝t3|＝a3＝1，
∴a＝1.
核心攻略
【例1】 　(1)C　解析：f(x)＝
∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，
∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2.故选C.
(2)解：∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
∴1<2x＋1<3，
∴f(x)的定义域是(1,3)．
拓展延伸　解：由得
∵a>0，∴－a<a,1－a<1＋a.
①当1－a>a，即a<时，a<x<1－a；
②当1－a≤a，即a≥时，x的解集为空集．
∴当0<a<时，F(x)的定义域为(a，1－a)；当a≥时，F(x)的定义域不存在．
【例2】 　D　解析：令t＝f(x)，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数g(t)的图象如图(2)所示．

图(1)

图(2)
当a＝1时，g(t)＝1的解为t1＝，t2＝－3，结合图(1)知，由x3－3x2＋1＝，得3根；由x3－3x2＋1＝－3，得2根，此时共有5个不同的实根；当0<a<1时，g(t)＝a对应的两根t1，t2(t1<t2)满足t1<－3，－3<t2<0，
由x3－3x2＋1＝t1，得1根，由x3－3x2＋1＝t2，得3根，此时共有4个不同的实根；
当1<a<时，g(t)＝a对应的两根t3，t4均满足0<t3<1,0<t4<1，此时共有6根；
同理a≥时，有4根；故真命题的个数为3，选D.
拓展延伸　B　解析：由方程与不等式的关系可知，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集与方程x2－3x＋4＝a或x2－3x＋4＝b的根有关，令φ(x)＝x2－3x＋4，则φ(x)∈[1，＋∞)，若a>1，则不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为两段区域(如图所示)，故a<1，∴x2－3x＋4≥a恒成立，因此，原不等式的解集即为不等式x2－3x＋4≤b的解集，也就是说，a，b是x2－3x＋4＝b的解，

∴
整理得(a－b)(a＋b－4)＝0.
又a≠b，∴a＋b＝4.选B.
【例3】 　①②④　解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；由于f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1－x)，结合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于x＝1对称，而当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x＝2x－1单调递增，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝f(2)＝，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为，故③不正确；设x∈[3,4]，则x－4∈[－1,0]，4－x∈[0,1]，于是f(4－x)＝1－(4－x)＝x－3，而由周期为2和函数为偶函数知f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，从而当x∈[3,4]时，f(x)＝x－3，故④正确．
拓展延伸　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)解：当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x，－1≤x≤1.
又设1<x<3，则－1<x－2<1，
∴f(x－2)＝(x－2)．
又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2)＝－[－f(－x)]＝－f(x)，
∴－f(x)＝(x－2)．
∴f(x)＝－(x－2)，1<x<3.
∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数，
故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 010，则≤n≤.
又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)．
∴在[0,2 010]上共有502个x使f(x)＝－.