二轮复习数学专题一第2讲-函数、基本初等函数的图象与性质.doc

2012年高考第二轮复习数学专题一第2讲函数、基本初等函数的图象与性质1(2011课标全国卷，理2)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|2(2011陕西高考，理11)设f(x)若f(f(1)1，则a_.高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，则结合的知识点较多，多在试卷的后两道压轴题中出现对图象的考查，主要是两个方面：一是识图，二是用图，即利用图象，通过数形结合的方法解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性，周期性等综合在一起考查，既有具体函数，也有抽象函数热点一函数及其表示该类题型主要涉及求函数定义域、值域、解析式以及抽象函数问题【例1】 (1)已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()ABC2D0(2)已知函数f(2x1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域思路点拨：(1)结合分段函数解析式，由内到外层层求解；(2)由x的取值范围求得2x1的取值范围，即f(x)的定义域(1)求f(g(x)类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性(2)求抽象函数的定义域时，若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)求值域的常用方法有：配方法、换元法、判别式法、不等式法、利用函数单调性法、数形结合法等由于求函数值域的方法多种多样，在选择方法时，要注意所给的函数表达式的结构，由不同的结构选择不同的方法拓展延伸 若例1(2)中f(x)的定义域为(0,1)，试求函数F(x)f(xa)f(xa)(a0)的定义域热点二函数图象及其应用该部分主要考查以下内容：(1)知式选图或知图定式；(2)利用图象研究函数的单调性、最值、零点；(3)利用图象研究方程、不等式问题【例2】 已知函数f(x)x33x21，g(x)关于方程gf(x)a0(a为正实数)的根的叙述有下列四个命题：存在实数a，使得方程恰好有3个不同的实根；存在实数a，使得方程恰好有4个不同的实根；存在实数a，使得方程恰好有5个不同的实根；存在实数a，使得方程恰好有6个不同的实根其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3思路点拨：分别画出f(x)和gf(x)的图象，数形结合求解(1)作函数图象的基本思想方法大致有三种：通过图象变换利用已知函数图象作图；对函数解析式进行恒等变换，转化成已知方程对应的曲线；通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状(2)已知函数解析式选择其对应的图象时，一般是通过研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象特征选择正确的图象(3)研究方程的根的个数、根的范围问题，尤其是当方程不是常见的一元一次方程、一元二次方程且方程与常见的基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标拓展延伸 若关于x的不等式ax23x4b的解集恰好是a，b，则ab的值为()A5 B4 C D热点三函数性质的综合应用该类题目往往把函数的奇偶性、单调性、周期性、最值、解析式等综合在一起进行考查，求解这类问题时，一是要紧扣奇偶性、单调性的定义及有关的结论，二是要把各种性质之间的联系充分利用好【例3】 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x3,4时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_思路点拨：以t代替x1，利用周期定义进行判定；由结合已知条件可知函数图象关于x1对称，进而判断单调性；利用即可判定；由4x0,1，结合周期性及函数奇偶性进行判定(1)求解这类涉及函数性质的多项判断题时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接的判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用(2)判断函数的单调性的一般规律：对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法拓展延伸 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 010上的所有x的个数1求函数的单调区间而忽视函数的定义域导致错误例如求函数的单调区间时，易忽视x23x20这一前提2忽视定义域要求导致判断函数奇偶性错误例如判断函数f(x)的奇偶性时，且勿盲目判断f(x)与f(x)之间的关系，应首先求出函数的定义域，看函数定义域是否关于原点对称3对函数图象的变换认识不深刻，造成图象变换中的错误例如已知函数yf(x)的图象求函数yf(1x)的图象时，应先将yf(x)的图象关于y轴翻折得yf(x)的图象，然后再将yf(x)的图象向右平移一个单位，即得所求函数图象，而不是直接将yf(x)的图象平移参考答案考场传真1B解析：A中yx3是奇函数不满足题意；由y|x|1的图像可知B满足题意；C中yx21在(0，)上为减函数，故不满足题意；D中y2|x|在(0，)上为减函数，故不满足题意，故选B.2(2011陕西，理11)1解析：10，f(1)lg 10，f(f(1)f(0)又00.f(f(1)f(0)03t2dtt3|a31，a1.核心攻略【例1】 (1)C解析：f(x)01，f(0)2012.f(0)21，f(f(0)222a4a，a2.故选C.(2)解：f(2x1)的定义域为(0,1)，12x10，aa,1aa，即a时，ax1a；当1aa，即a时，x的解集为空集当0a时，F(x)的定义域为(a，1a)；当a时，F(x)的定义域不存在【例2】 D解析：令tf(x)，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数g(t)的图象如图(2)所示图(1)图(2)当a1时，g(t)1的解为t1，t23，结合图(1)知，由x33x21，得3根；由x33x213，得2根，此时共有5个不同的实根；当0a1时，g(t)a对应的两根t1，t2(t1t2)满足t13，3t20，由x33x21t1，得1根，由x33x21t2，得3根，此时共有4个不同的实根；当1a时，g(t)a对应的两根t3，t4均满足0t31,0t41，则不等式ax23x4b的解集为两段区域(如图所示)，故a1，x23x4a恒成立，因此，原不等式的解集即为不等式x23x4b的解集，也就是说，a，b是x23x4b的解，整理得(ab)(ab4)0.又ab，ab4.选B.【例3】 解析：在f(x1)f(x1)中，令x1t，则f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；由于f(x)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，结合f(x1)f(x1)得f(1x)f(1x)，故f(x)的图象关于x1对称，而当x0,1时，f(x)1x2x1单调递增，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；由知，f(x)在一个周期区间0,2上的最大值为f(1)1，最小值为f(0)f(2)，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为，故不正确；设x3,4，则x41,0，4x0,1，于是f(4x)1(4x)x3，而由周期为2和函数为偶函数知f(4x)f(x)f(x)，从而当x3,4时，f(x)x3，故正确拓展延伸(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)f(x)是以4为周期的周期函数(2)解：当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)f(x)x，即f(x)x.故f(x)x，1x1.又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x2)f(2x)f(x)2)f(x)f(x)，f(x)(x2)f(x)(x2)，1x3.f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数，故f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 010，则n.又nZ，1n502(nZ)在0,2 010上共有502个x使f(x).