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定积分的方法总结

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．
一、定义法
例1、求，（）
解:因为函数在上连续，所以函数在上可积，采用特殊的方法作积分和．取，将等分成个小区间,
分点坐标依次为
取是小区间的右端点，即，于是，，
其中，=
=
将此结果代入上式之中，有

从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．　
评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
变式：求．
分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解：将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
==．
二、微积分基本定理法
例2、计算．
解：=
==．
练习：计算：(1)．(2)
解: (1)．
(2)．
评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．
一般地：
三、几何意义法
例3、求定积分的值.
分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．
解：,而表示圆x2＋y2＝4在第一、二象限的上半圆的面积．
因为，又在x轴上方．所以＝．
评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．
四、性质法
例4、求下列定积分：
⑴；⑵．
分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
解：由被积函数tanx及是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．
所以⑴ ＝0；⑵＝0．
评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当f(x)为偶函数时，＝2；②当f(x)为奇函数时，＝0
练习：计算：(1)．(0) (2)．
五、定积分换元法
定理：假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有：．　(1)
本定理证明从略．在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．
例5、求
解：令，则，，当时，；当时，。所以===。
练习： 计算:(1)．(2)．
解:(1)令，则．当时，；当时，．故 .
显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积．

(2)解法一 令，则．
当时，；当时，，于是．
解法二:也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变．即．

作业：
1.求下列定积分:
(1);(2);(3);(4)
2.求下列定积分
(1)， (2) ，(3) 。
答案:(1) (2) (3)
3.利用奇偶性计算下列定积分。
（1），（2），（3）。
答案: 2 （1）0，（2），（3）0，