特殊四边形.doc

特殊的平行四边形
1．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（  ）．
    A．对角相等且互补                  B．对角线互相平分
    C．一组对边平行，另一组对边相等;    D．对角线互相垂直
知识点：矩形、菱形、正方形的性质
知识点的描述：
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
菱形的性质：
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
正方形具有矩形和菱形的全部性质
解：A只有矩形有，B和C菱形和矩形都有，D菱形具有而矩形不一定具有
答案：D
1．下列说法正确的有（   ）
（1）矩形的对角线互相垂直
（2）正方形的面积是对角线的平方的一半
（3）菱形的对角线平分一组对角
（4）正方形是平行四边形也是菱形
    A．1个     B．2个     C．3个     D．4个
解：（1）不正确，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直。
正确的有（2）（正方形是菱形）（3）（4），
答案：C

2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设有下列条件：(1)AB=AD，(2)∠DAB=90?/SPAN>，(3)BO=DO，AO=CO，(4)矩形ABCD，(5)菱形ABCD，(6)正方形ABCD，则下列推理中不成立的是（  ）．

知识点：矩形、菱形、正方形的判定
知识点的描述：
矩形的判定一：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定二：有三个角是直角的三角形是矩形
矩形的判定三：对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的判定一：一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定二：四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形的判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形
解：A成立，一组邻边相等的矩形是正方形
B成立, 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C不成立,
D成立, 一个直角的平行四边形是矩形
答案：C
2．下列说法中：
  （1）对角线互相平分互相垂直的四边形是矩形．
  （2）对角线相等的四边形是矩形．
  （3）对角线相等并且互相垂直的四边形是正方形．
  （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
    正确的个数是（  ）．
    A．1个     B．2个     C．3个     D．4个
解：（1）对角线互相平分互相垂直的四边形是菱形不一定是矩形
∵OA=OC，OB=OD，
    ∴四边形ABCD是平行四边形，
    又∵AC⊥BD，
    ∴□ABCD是菱形．
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形（如图），对角线相等的平行四边形才是矩形

（3）对角线相等并且互相垂直的四边形不一定是正方形，如图

（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
如图所示，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，
    ∵四边形ABCD为平行四边形，
    ∴AB∥CD．
    ∴∠2=∠3．
    ∵∠1=∠2，
    ∴∠1=∠3．
    ∴AD=CD．
    ∴□ABCD为菱形．
答案：A

3．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点D，∠AOD=120?/SPAN>，AB=4cm，那么矩形的对角线的长（    ）．
A. 4cm    B. 2cm    C. 4cm    D. 8cm  
知识点：矩形的性质
知识点的描述：
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
    又∵OA=OC=AC，OB=OD=BD，
    ∴OA=OD．
    ∵∠AOD=120?/SPAN>，∴∠ODA=∠OAD=30?/SPAN>．
    又∵∠DAB=90?/SPAN>，∴BD=2AB=2×4=8（cm）．
答案：D
3．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长(     )．
A.2      B.3      C.4      D.6     
解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90?/SPAN>．
    ∵CE⊥EF，∴∠AEF+∠DEC=90?/SPAN>．
    又∵∠AFE+∠AEF=90?/SPAN>，∴∠AFE=∠DEC．
    ∵EF=CE，∴△AEF≌△DCE（AAS）．
    ∴AE=DC．又∵矩形的周长为16，
    ∴2（AE+DE+DC）=16，即2AE+2=8．
    ∴AE=3．
答案：B
4．如图所示的是我们熟悉的衣帽架，它是由三个菱形组成的，菱形的边长为20cm，
（1）当处于图（1）所示的形状时，衣帽架总长为72cm，这时衣帽架的宽度是（    ）
（2）我们把衣帽架拉开，如图（2）所示，使总长度变为96cm，则它的宽度变成了（   ）

A. （1）16cm（2）18cm          B. （1）32cm（2）24cm   
C. （1）18cm（2）16cm       D. （1）16cm（2）24cm   
知识点：菱形的性质
知识点的描述：
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
解：（1）由图（1）可以作出如图甲的图形．连接AC，BD，则BD=72÷3=24（cm），
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，OB=BD=×24=12（cm），AC=2OA．
    ∵AB=20cm，
    ∴OA==16（cm）．
    ∴AC=2×16=32（cm）．
∴衣帽架的宽度是32cm．
（2）由图（2）可以作出如图乙的图形，
连接AC，BD，则BD=96÷3=32（cm）．
    由（1）中方法可得OA=12cm，
    ∴AC=2×12=24（cm）．
    ∴衣帽架的宽度变成24cm．
答案：B
4．在菱形ABCD中，∠DAB=120?/SPAN>，如果它的一条对角线长为12cm，求菱形ABCD的边长(    )．
A. 4cm   B. 18 cm   C. 12cm     D. 12cm或4cm   
解：（1）若对角线AC=12cm，如图甲所示．
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴∠DAC=∠BAC=∠DAB，
    AB=BC=CD=AD，AD∥BC．
    ∴∠DAC=∠ACB，∠DAB+∠B=180?/SPAN>．
    ∵∠DAB=120?/SPAN>，
    ∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=∠B=60?/SPAN>．
    ∴△ABC为等边三角形．
∴AB=AC=AC=12cm，即菱形ABCD的边长为12cm．
   （2）若对角线BD=12cm，如图乙所示，连接AC，交BD于点O．
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，AB∥CD，AD=CD=AB=BC，
    ∠BAO=∠DAO=∠DAB，OA=AC，OD=BD．
    ∴∠DAB+∠ADC=180?/SPAN>，∠BAO=∠DCA，OD=6cm．
    ∵∠DAB=120?/SPAN>，
    ∴∠ADC=∠BAO=∠DAO=∠DCA=60?/SPAN>．
    ∴△ADC为等边三角形，∴AC=AD．
    ∴OA=AD．设OA=x，则AD=2x．
    ∵AC⊥BD，∴AD2=AO2+OD2，
    即（2x）2=x2+62．∴x=2．
    ∴AD=2×2=4（cm）．
    ∴AD=CD=AB=BC=4cm，即菱形的边长为4cm．
    综上所述，菱形的边长为12cm或4cm．
答案：D

5．如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F．
   （1）求证：OE=OF．
（2）当O点运动到何处时，四边形AECF为矩形？(    )．
A. 当O点运动到AC中点时   B. 当O点运动到EF中点时    
C. 当O点运动到A点时      D. 当O点运动到C点时   
知识点：矩形的判定
知识点的描述：
矩形的判定一：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定二：有三个角是直角的三角形是矩形
矩形的判定三：对角线相等的平行四边形是矩形
证明：（1）∵MN∥BC，
    ∴∠OEC=∠BCE．
    又∵∠OCE=∠BCE，
    ∴∠OEC=∠OCE，∴EO=CO．
    同理，FO=CO，∴OE=OF．
    （2）∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线，
    ∴∠OCE+∠OCF=（∠ACB+∠ACD）=×180?90?/SPAN>，即∠ECF=90?/SPAN>．
    而EO=OF，
    ∴当O点运动到AC中点时，AO=CO，
    四边形AECF为平行四边形，
    ∴O是AC中点时，四边形AECF为矩形．
答案：A
5．如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
  （1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(    )
A.直角三角形       B. 等腰三角形   
C. ∠BAC=150?/SPAN>      D. ∠BAC=90?/SPAN>    
解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
    ∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
    ∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60?/SPAN>．
    ∴∠DBE=60?∠EBA，∠ABC=60?∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．
    ∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC．
    又∵△ACF是等边三角形，
    ∴AC=AF，∴DE=AF．
    同理，可以说明AD=EF．
    ∴四边形ADEF是平行四边形．
    （2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90?/SPAN>．
    ∵∠DAB=∠FAC=60?/SPAN>，
    ∴∠BAC=360?∠DAB-∠FAC-∠DAF=360?60?60?90?150?/SPAN>．
    ∴当△ABC满足∠BAC=150?/SPAN>时，四边形ADEF是矩形．
答案：C

6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形还是矩形？说明你的理由．（    ）
A. 是矩形   B. 是菱形       
知识点：菱形的判定
知识点的描述：
菱形的判定一：一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定二：四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
解：四边形PEQF是菱形．理由如下：
    ∵PE⊥AB，FN⊥AB，
    ∴PE∥FN．
    同理，PF∥EM．
    ∴四边形PEQF是平行四边形．
    ∵AB=AC，∴∠B=∠C．
    又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
    ∴∠BEP=∠CFP=90?/SPAN>．
    又∵BP=CP，∴△BEP≌△CFP（AAS）．
    ∴PE=PF．
    ∴四边形PEQF是菱形．
答案：B
6．如图所示，□ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？
A. 是   B. 不是        
解：四边形AFCE是菱形．
    ∵点E在AC的垂直平分线上，
    ∴AE=EC．
    同理，AF=FC．
    ∴∠1=∠3．
    又∵AE∥FC，
    ∴∠1=∠2．
    ∴∠2=∠3．
    又∵CO⊥EF，
    ∴∠COF=∠COE=90?/SPAN>，
    ∴△COF≌△COE．
    ∴CF=CE．
    ∴AE=EC=CF=FA．
    ∴四边形AFCE是菱形．
答案：A

7．如图所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．（1）求证：AF⊥DE．（2）∠HFG和∠FGH的关系（   ）．
A. ∠HFG=∠FGH．          B. ∠HFG和∠FGH互余    
C. ∠HFG和∠FGH互补      D. ∠HFG和∠FGH 没有必然的联系   
知识点：直角三角形的性质
知识点的描述：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半
解： （1）∵F为DE中点．
    ∴AF为△ADE的高．
    ∵AD=AE，∴AF⊥DE．
    （2）连接CG．
    ∵CB=CE，G为BE中点，∴CG⊥BE．
    ∴∠AFC=∠AGC=90?/SPAN>．
    ∵H为AC中点，
    ∴FH=AC，GH=AC．
    ∴FH=GH．
    ∴∠HFG=∠FGH．
答案：A

7．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，求斜边上的中线长(    )．
A.8 cm    B. 6cm    C. 10cm     D. 5cm   
解：在△ABC中，
    ∵∠ACB=90?/SPAN>，AC=6cm，BC=8cm．
    ∴AC2+BC2=AB2．
    ∴AB==10（cm）．
    ∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=×10=5（cm）．
答案：D

8、如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为(     )。
A. 6  B. 8  C. 10  D. 8 
知识点：正方形的性质
知识点的描述：正方形具有矩形和菱形的全部性质

解：联结NB，可以证明无论N在什么位置，DN=BN
所以联结BM, 即为DN+MN的最小值
在Rt△MCB中求得BM=10
答案：C
8、如图，正方形ABCD的边长为3，AC、BD相交于O。M是BC上的任意一点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F，求ME+MF的长(    )
A. 3  B. 3 
C. 6  D. 2 

解：联结OM
S△OBC=S正方形ABCD=(3)2=
Rt△OCB中,OB=OC,BC=3
∴OB=OC=3
∵S△OBC= S△OBM+ S△OMC
∴=×OB×ME+×OC×MF
∴=×ME+×MF
∴ME+MF=3
答案：A
9．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC，垂足为E，求菱形ABCD的面积(    )
A. 16        B.12         C. 8        D.12 
知识点：菱形的面积
知识点的描述：
菱形的面积有两种计算方法：（1）两条对角线乘积的一半，（2）底乘以高
解：连接AC，BD，设AC和BD相交于点O．
    ∵AE⊥BC，且AE平分BC，
    ∴△ABC和△ADC都是正三角形．
    ∴AB=AC=4．
    ∵△ABO为直角三角形，∴BD=4．
    ∴菱形ABCD的面积为8．
注：本题当然也可以采用第二种方法。
答案：C
9．如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积(    )．
A. 130cm2   B. 125cm2   C. 120cm2  D. 115cm2 
解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠AED=90?/SPAN>．
    ∵DE=BD=×10=5（cm），
    ∴AE==12（cm）．
    ∴AC=2AE=2×12=24（cm）．
∴S菱形ABCD=BD·AC=×10×24=120（cm2）．
答案：C

10．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90?/SPAN>，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．四边形DECF（    ）
A. 一定是平行四边形  B. 有可能是菱形  C. 有可能是矩形  D. 有可能是正方形 
知识点：直角三角形的性质
知识点的描述：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
解：∵D，E分别为AC，AB的中点，
    ∴DE为△ACB的中位线，
    ∴DE∥BC．
    ∵CE为Rt△ACB的斜边中线，
    ∴CE=AB=AE．
    ∴∠A=∠ACE．
    又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．
    ∴DF∥CE．
    ∴四边形DECF为平行四边形．
答案：A
10．如图所示，在△ABC中，∠C=90?/SPAN>，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，△EDF是（    ）．
A.等腰三角形     B.直角三角形  
C. 锐角三角形    D. 等腰直角三角形 
解：连接CD．则CD⊥AB
   ∵在Rt△ABC中，AD=BD，
    ∴CD=AB=AD．
    ∵AC=BC，∴∠A=45?/SPAN>．
    ∵PE⊥AC，PF⊥BC，
    ∴四边形PECF为矩形．
    ∴CF=PE=AE．
    又∵CD=AD，
    ∴∠ACD=∠BCD=45?/SPAN>．
    ∴△AED≌△CFD（SAS）．
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF
∴∠EDF=90?/SPAN>
∴△EDF是等腰直角三角形
答案：D