向量的内积及其运算.doc

向量的内积及其运算
向量的内积
已知两个非零向量和，作，，则就叫做向量与的夹角．记作．
我们规定，．
当时，我们说向量与垂直，记作．
我们把的长与在方向上正射影的数量的乘积叫做向量与的内积．记作．即　　　　　(1)
由上述定义可知，两个向量与的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．
根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：
(1) 如果是单位向量，则
；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
以上性质的证明留给同学作为练习．
例1　已知，，，求．
解：

练习A
1．已知，，，求．
(1) ，，；
(2) ，，；
(3) ，，；
(4) ，，．
2．已知，，求．
(1) ，；
(2) ，；
(3) ，；
(4) ，．

练习B
1．已知，在方向上的正射影数量如下，求．
(1) 6； (2) -6； (3)8； (4) -8．
2．在直角坐标系内，已知向量与轴和轴的正向的夹角分别为和，求在轴、轴上正射影的数量．

向量内积运算律
向量的内积运算满足如下运算律：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
例2 求证：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
证明：(1)
(2)
(3) 由(2)式解出，即得
．
例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：是菱形，和是它的两条对角线．
求证：．
证明：

．
．
．
．

练习A
1．已知，，，求．
2．已知，，，求,．
3．在中，已知，，，求．

练习B
1．在中，已知，，，求的长．
2．对任意向量、，求证：．

向量内积的坐标运算
在直角坐标平面内，已知、分别为轴、轴的基向量，，，则．　　　　(2)
证明：
因为
所以 ．
例5 已知，．求，，，．
解：，

，
．
例6 已知：点、、．求证：．
证明：
．

注 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直．

练习A
1．已知向量的坐标，求
(1) ，；
(2) ，；
(3) ，；
(4) ，．
2．已知：，，．求证：．

练习B
1．已知向量求证．
2．已知向量求的值，使与垂直．
3．已知点、，点在轴上，且，求点的坐标．
4．已知三角形的三个顶点是、、，求和的度数．