解锐角三角三函数2.doc

解锐角三角函数
课前热身
（1）Rt△ABC中，∠C＝900,若AB＝5，AC＝4，则sinB= .
（2）Rt△ABC中，∠C＝900，sinA =，cosA=
（3） .
（4）∠B为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B＝　　 .
（5）等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是　 .
（6）在△ABC中，若cosA=,tanB=，则这个三角形一定是（    ）
A. 锐角三角形     B. 直角三角形  C. 钝角三角形     D. 等腰三角形
（7）等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于 （ ）
A. B. C. D.

知识要点
解锐角三角形
※一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
※二. 正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
※三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
※余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

0º
30 º
45 º
60 º
90 º
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

—
cotα
—

1

0
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则
①；
②；
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
图1
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

解直角三角形
1． 在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系

如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

(2)三边之间关系
 a2 +b2 =c2 (勾股定理)
 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
根据以上Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 所以：
由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．

例题讲解
考点一：锐角三角函数的概念与性质
【例1】如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )

(A)1 (B)2 (C) (D)
【思路点拨】选B.根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义 即可得到。
巩固练习：
1.(2010·常德中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )
(A) (B)2 (C) (D)
2.(2010·黄冈中考)在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则tanB＝( )
(A) (B) (C) (D)
考点二： 特殊角的三角函数值
【例2】计算：（cos60°）-1÷（-1）2010+|2-|-×（tan30°-1）0

3.如图,已知:45°<A<90°,则下列各式成立的是( )

(A)sinA=cosA (B)sinA>cosA (C)sinA>tanA (D)sinA<cosA
4. cos30°=( )
5.计算:

6.计算

知识考点三： 解直角三角形及应用
7、若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分．（参考数据：≈1.7）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：解决此题的关键是求出AB的长，可过B作河对岸的垂线，在构建的直角三角形中，根据河岸的宽度即AB与河岸的夹角，通过解直角三角形求出AB的长，进而根据时间=路程÷速度得出结果．
解答：解：如图，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C．在Rt△ACB中，有：
AB===600．
∴t==2≈3.4（分）．
即船从A处到B处约需3.4分．
点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
8、河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
9、如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为＿＿＿m（结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

10.生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC. (结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)

知识考点：方位角的应用
【例】如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.
(1)说明本次台风会影响B市；
(2)求这次台风影响B市的时间.

【自主解答】(1)作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,由条件知, PB=320,∠BPQ=30°,得BH=320×sin30°=160<200,∴本次台风会影响B市.
(2)如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束. 由(1)得BH=160千米, 由条件得BP1=BP2=200千米,所以 P1P2=2 =240 (千米),
∴台风影响的时间为 t= =8 (小时).
活学巧练：
(2011·济宁中考)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？
（参考数据：）

【解析】过点P作AB的垂线交AB于C点，由题意知AB=105海里，∠ACP=∠BCP=90°，设AC=x cm，
则BC=(105-x)cm，在Rt△APC中， ，
∴
在Rt△BPC中， ∴
∴ ，解得x=25，即AC=25，BC=80，
∴
答：此时海检船所在的B处与城市P的距离为100海里.

课堂练习
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：b：c＝( )
A 、1:2:3 B．1: : C．1: :2 D．1:2:
B
C
A
D
l

2．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得 , 又测得米，则小岛B到公路l的距离为( )
A．25 米 B． 米
C． 米 D．（）米
3．已知a为锐角，若cosa＝，则sina＝ ，tan(90°－a)＝
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝ ，sinA＝
5．已知sina=, a为锐角，则cosa＝ ，tana＝
6.等腰三角形的腰长为2cm，面积为1 cm2，则顶角的度数为
7．已知正三角形，一边上的中线长为，则此三角形的边长为
8.计算：
（1）2sin30°-2cos60°+tan45°
（2）
9.已知α为锐角,当无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
10.如图，在ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC =14，AD=12，SinB=4／5.
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值.

11．如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝，∠B＝30°AD＝10，
求 BD的长.

12.已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，
求OP的长.

作业
1. 如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若。

    （1）求△ANE的面积；
（2）求sin∠ENB的值。

 2. 已知在△ABC中，，AC=2，BC边上的高。
    （1）求BC的长；
（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。

3 已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
AB=5，AC=3，求AD的长。

4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

5.