反证法、同一法.doc

初二数学课外兴趣小组活动(十三)
反证法
一、内容提要：
1、反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，
当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
2、一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：若A则B===若非B则非A。
例如　　原 命 题： 对顶角相等 　 (真命题)
逆否命题： 不相等的角不可能是对顶角　 (真命题)
又如　　原 命 题： 同位角相等，两直线平行　 (真命题)
　　 逆否命题： 两直线不平行，它们的同位角必不相等　(真命题)
3、 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
① 反设　假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
② 归谬　推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
③ 结论　从而得出命题结论正确
例如：要证两直线平行。用反证法证明时
① 假设这两直线不平行；
② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③ 从而肯定，非平行不可。
二、例题学习：
例1、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
　已知：如图∠1＝∠2 A 1 B
求证：AB∥CD　
证明：设AB与CD不平行　　 C 2 D
　那么它们必相交，设交点为M D
这时，∠1是△GHM的外角　　 　　A　　　 1　　M　　　B
∴∠1＞∠2　　 G　
这与已知条件相矛盾　 2　
∴AB与CD不平行的假设不能成立　　H　　
∴AB∥CD　 C
例2、求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，
这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，
因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3、已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数
证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)
当　m=3k+1时，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　
当　m=3k+2时，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1
即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴　m2是3的倍数时，m 也是3的倍数

三、专题训练：
1、写出下列各命题结论的反面：
命题的结论　　
结论的反面
①直线a ∥b

②线段m=n

③a2是偶数

④∠A是锐角

⑤点A在⊙O上

⑥∠A，∠B，∠C至少有1个
大于或等于60

⑦正整数m是5的倍数

⑧方程没有有理数根　

⑨至少有一个方程两根不相等

2、已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，
求证：A，B，C三点在同一直线上

3、求证：等腰三角形的底角是锐角

4、求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度　　

5、如果a2奇数，那么a也是奇数　 （仿例3）

6、已知：a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)
求证：a,b,c至少有一个偶数

7、求证：二元一次方程8x+15y=50没有正整数解

同一法
一、内容提要：
1、“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效
的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2、同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，
那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
　互逆两个命题一般是不等价的。例如：
原命题： 福建是中国的一个省　（真命题）
逆命题 ：中国的一个省是福建　（假命题）
　但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如：
原命题 ：中国的首都是北京　 （真命题）
逆命题： 北京是中国的首都　 （真命题）
又如：
原命题： 等腰三角形顶角平分线是底边上的高。 （真命题）
逆命题： 等腰三角形底边上的高是顶角平分线。 （真命题）
3、釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
二、例题学习：
例1、求证：三角形的三条中线相交于一点。
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，
证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）
证明：∵AD和BE相交，设交点为G
连结并延长CG交AB于F，
连结DE交CF，于M
∵DE∥AB
∴＝＝， 即＝
＝＝， 即＝
∴＝， ∴AF，＝BF，，CF，是AB边上的中线，
∴AD，BE，CF相交于一点G。

例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2
求证：AD是△ABC的高

分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，
所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于E A
根据勾股定理：
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2）
　　　　　＝BE2－EC2
∵AB2－AC2＝BD2－DC2　 B E D C
∴BD2－DC2＝BE2－EC2
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）　
∴BD－DC＝BE－EC　 ①
BD＋DC＝BE＋EC　　②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD　是△ABC的高　

三、专题训练：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1、用同一法证明：三角形的中位线平行于第三边。

2、已知E是正方形ABCD内的一点，∠EAB＝∠EBA＝15　
求证△ECD是等边三角形

3、已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且∠CBE＝15　
求证：AE＝AB