互动课堂(2.1.2 演绎推理).doc

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重难突破 　　
1.概念理解
演绎推理是一种重要的推理形式,指前提与结论之间蕴涵关系的推理.演绎推理在思维过程的方向上与归纳推理相反,即由一般到特殊的推理过程,其推理形式为

在推理形式中,不论任何具体概念代入S、M与P,只要代入后的前提是正确的,那么代入后的结论也是正确的,这表明在演绎推理中,从正确前提出发,运用正确的推理形式,就必然得出正确的结论.
“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其它命题.
像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.
演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.
演绎推理的主要形式,就是由大前提,小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示:

三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.
三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——结论.
例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.

图2-1-8
　　如图2-1-8所示,在锐角△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求证:AB的中点M到D,E的距离相等.
分析:解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.
证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提
在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,小前提
所以△ABD是直角三角形.结论
同理,△AEB也是直角三角形.
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提
所以DM=AB.结论
同理,EM=AB.
所以,DM=EM.
2.演绎推理的应用
就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.但数学结论、证明思路等的发现过程,主要靠合情推理.因此,我们不仅应当学会证明,也应当学会猜想.
继《原本》之后,公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域,例如牛顿以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系.
3.注意的问题
演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的.但错误的前提可能导致错误的结论.
活学巧用
一、认清“三段论”的结构
【例1】指出下面推理中的错误.
(1)自然数是整数,　　　　　　　　　 　 大前提
-6是整数, 小前提
所以-6是自然数; 结论
(2)中国的大学分布于中国各地, 大前提
北京大学是中国的大学, 小前提
所以北京大学分布于中国各地. 结论
解:(1)大、小前提中的“自然数”(P)与“-6”(S)都分别与“整数”(M)的一部分存在联系,这样“整数”(M)就不能起到联结“自然数”(M)与“-6”(S)的作用,因此不能使“自然数”(M)与“-6”(S)发生必然的确定关系.
(2)这个推理的错误原因是“中国的大学”未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在小前提中表示中国的一所大学.
点评:三段论法的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之,“全体概括个体.”M、P、S三个概念之间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图2-1-9);如果概念M排斥概念P,则P必排斥M中的任一概念S(如图2-1-10).

图2-1-9　 图2-1-10
弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.
【例2】已知a、b∈R,求证:.
证明:设f(x)=,x∈［0,+∞),
x1、x2是［0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1<x2,f(x2)-f(x1)=-
=.
因为x2>x1≥0,所以f(x2)>f(x1).
所以f(x)= 在［0,+∞)上是增函数.(大前提)
由|a|+|b|≥|a+b|≥0,(小前提)
知f(|a|+|b|)≥f(|a+b|),即成立.
点评:求证式的形式特点是解题思路的重要信息,对不等式两端进行化简是关键.
二,应用三段论证明数学问题
【例3】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.
已知在梯形ABCD中(如图2-1-11),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.

图2-1-11

证明:(1)等腰三角形两底角相等(大前提),
△DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰(小前提),
∠1=∠2(结论).
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提),
∠1=∠3(结论).
(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),
∠2和∠3都等于∠1(小前提),
∠2=∠3(结论),即AC平分∠BCD.
(4)同理,DB平分∠CBA.
点评:这个证明中如果把(4)也详细地写出,则一共通过六次三段论的形式.因此一个命题的证明形式,确切地常叫做复合三段论的形式,或说命题的推证方
法是复合三段论法,但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某大三段论的结论,也就不再写出了.如例3的证明可写成:
∵DA=DC(省略了大前提),∴∠1=∠2.
∵AD∥BC,且被AC截得内错角为∠1和∠3(省略大前提).
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD(省略大前提,小前提).
同理,可证DB平分∠ABC.
这样,一般地在推论命题时所采用的这种表达方法,就叫做简化的复合三段论法.
【例4】已知函数f(x)=+bx,其中a>0,b>0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.
证明:设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(+bx1)-(+bx2)
=(x2-x1)(-b).
当0<x1<x2≤时,则x2-x1>0,0<x1x2<,>b,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,］上是减函数.
当x2>x1≥时,则x2-x1>0,x1x2>,<b,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在［,+∞)上是增函数.
点评:这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义,第二个三段论所依据的大前提是增函数定义.小前提分别是f(x)在(0,］上满足减函数定义和f(x)在［,+∞)上满足增函数定义,这是证明该例题的关键.

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