全国中学生数理化竞赛试题.doc

（数学部分）

第一部分 解题技能竞赛大纲
第二部分 解题技能竞赛试题样题
第三部分 数学建模论文示范论文

首届全国中学生数理化学科能力竞赛
化学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）

为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：

1　命题指导思想和要求
根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：
1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。
2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。
3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。

2　命题范围
依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。

3　考试形式
初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。

4　试卷结构
全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）

5　难度系数
1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；
2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。

初中一年级样题

一、 选择题（每小题5分，共30分）
1、若，，那么的值有( )个 【C】
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
2、若表示一个整数，则整数x可取值共有( ).【D】
（A）3个 （B） 4个 （C） 5个 （D） 6个
3、如果代数式4y2－2y+5的值为7，则代数式2y2－y+1的值等于（ ）【A】
（A）2 （B）3 （C）-2 （D）4
4、已知与之和的补角等于与之差的余角，则＝（　）【C】
（A）750　（B）600　　（C）450　　（D）300　

A
B
C
D

5、如右图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）【D】
（A）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（B）△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（C）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
（D）△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形

6、观察这一列数：，, , ,，依此规律下一个数是（ ）【D】
（A） （B） （C） （D）

二、 填空题（每小题5分，共30分）
7、已知，则＝_________ 【128】
8、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页。若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了　　　　页【35】
9、如果多项式3mxay与—2nx4a—3y是关于x、y的单项式，且他们的和是单项式，则a2004—1=______ 【0】
10、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________cm³。【60】

11、张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果：王说："丁队得冠军，乙队得亚军"； 李说："甲队得亚军，丙队得第四"；张说："丙队得第三，丁队得亚军"。 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是___________。【丁】
12、如果a、b、c是非零有理数，那么的所有可能值是　　　　
【3、1、-1、-3】

三、 解答题（每小题20分，共60分）
13、计算【2007】
14、三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，试求的值
【解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等。
于是可以判定与中有一个是0，中有一个是1，但若，会使无意义，∴，只能，即，于是．只能是，于是＝－1。
∴原式＝2 。】

15、现在由五个福娃带我们去参观国家体育馆“鸟巢”，贵宾门票是每位30元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，我们一行共有18人（包括福娃），当领队欢欢准备好零钱到售票处买18张票时，爱动脑筋的晶晶喊住了欢欢，提议买20张票，欢欢不明白，明明我们只有18人，买20张票岂不是“浪费”吗？
（1）请你算算，晶晶的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？
（2）当人数少于20人时，至少要有多少人去“鸟巢”，买20张票反而合算呢？
【略】

16、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系？（只须写出结论）
【答案：①过点P作PF∥AC，交ME于点F,则∠γ= ∠α+∠β
②当点P运动到射线AN上时：∠α= ∠γ+∠β
当点P运动到线段BM上时: ∠β= ∠γ+∠α】

初中二年级样题

一、 选择题（每小题5分，共30分）
1、一个多边形的内角和与外角和的总和为1800°，则这个多边形的边数是（ ）【B】
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
2、若直线过第一、二、四象限，那么直线不经过（ ）【B】
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3、如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )【C】
(A)4种 (B)6种
(C)8种 (D)12种。

4、在中，设所对的边分别为,若，那么等于 ( ) 【B】
(A) (B) (C) (D)
5、如右图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，
N是AC上一动点，则DN+MN的最小为（ ）．
（A）8 B．8 C．2 D．10
【D 提示：D点和B点关于AC对称】
6、、已知长度为l0cm的线段AB，以AB为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C1；将AB两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C2；再将AB三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为 Ck，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和Ck的数值 ( )
（A）越来越大 （B）越来越小 （C）不变 （D）无法判断
【C不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5π】

二、 填空题（每小题5分，共30分）
7、如图1，直线上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边
三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置.如果等边三角形翻转
204次，则顶点A移动的路径总长是_____ _ (用π表示)
【544π】
8、下列4个判断：
①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
②两个三角形的6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；
③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
其中正确判断的编号是___________________【①②③】
9、若a、c、d都是整数，b是正整数，且a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值是____________
【－5 ∵a＋b＝c①，b＋c＝d②，c＋d＝a③，∴由①＋②得a+c+2b=c+d=a，即c= －2b
进而得a=－3b,d=－b,∴a+b+c+d=－5b,∵b是正整数，∴最大值为－5】
10、现有长为150的铁丝，要截成若干个小段，要求每段的长度都是不小于1的整数，如果其中任意三小段都不能组成三角形，问当切成最多段时，共有___________种切法.
【7．提示：要尽可能多的切成段，且任意三小段都不能组成三角形，只能这样切成10段：
（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55＋7（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，55＋6
（3）··· ，36，55＋5 （4）··· ，37，55＋4（∵59－37>21） (5)··· 13,22,35,57+3 (6)···,22,36,57+2（∵59－36>22） (7)···,8,14,22,36,58】

11、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数。起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车。若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车。已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有 辆汽车，这批旅客有 人。
【提示：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然≥2，≤32．
易知旅客人数等于，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为，由此列出方程
。
所以 。
因为为正整数数，所以必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，
且≥2，所以，或。
如果，则，，不满足≤32的条件。
如果，则，，符合题意。
所以旅客人数等于＝23×23＝529（人）】
12、∣|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿【6，14】

三、 解答题（每小题20分，共60分）
13、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1．若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形．

【答案：如右图,符合条件的六边形有许多．】

14、甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：
（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？
（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？
（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？

【答案：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为
将代入，解得 所以
由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，
（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上
（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为
将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得
所以
当乙车到达B地时，千米。代入，得小时
又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为
将（1.8，48）代入，得，解得
所以
当甲车与乙车迎面相遇时，有
解得小时 代入，得千米
即甲车与乙车在距离A地千米处迎面相遇
（3）当乙车返回到A地时，有 解得小时
甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）】

15、当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．

【答案：将x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694①，于是400a=694-(20b+c)，
由-10<b<10，-10<c<10得-210<20b+c<210．故484<400a<904，又a为整数，∴a=2．将a=2代入①，得20b+c=-106②，于是20b=-106-c，
又-10<c<10．故-116<20b<-96，而b为整数，故b=-5，代入②得c=-6．
∴满足条件的二次三项式只有2x2-5x-6 】

16、现有一台天平，一个2克的砝码和一个7克的砝码，要求只使用这台天平三次，将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外，为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案，说明基本理由
【此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况，可将指定重量分为2份，它们的重量之差(克数)仅限于：0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型：
。从而可得下列5种解决方案

而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码，则还可以得到其他的解决方案(略)。 】

初中三年级样题

一、选择题（每小题5分，共30分）
1、已知，，则＝（ ） 【B】
（A）4 （B）0 （C）2 （D）－2

2、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是
（ ）【B】
D
B
C
A

E
F
（A） （B） （C） （D）

3、一块含30°角的直角三角板（如右图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm，那么△DEF的周长是（ ）
(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（）cm (D)（）cm
【B：提示：连结BE，分别过E，F作AC的平行线交BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN=．∴ 小三角形的周长是cm】
4、作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是（　　 ）【D】
(A) 　　 　　(B)
(C) (D)

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

5、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白
两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱
向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）
【答案： C
黑甲壳虫爬行的路径为：
白甲壳虫爬行的路径为：
黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D1，因此】

6、一个商人用元（是正整数）买来了台（为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则的最小值是（ ） 【C】
（A）11 （B）13 （C）17 （D）19

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点A顺时针旋转60°得正方形AB′C′D′，点C所经过的路径长为 。【】
8、已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为　　 　　cm．
【 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=3×4，h=】
9、设、是方程的两个实根，且．则的值是 ．
【1】
10、从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是
【】
11、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是　　
【答案：35％或65％ 解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％】

12、在直角坐标系中，轴上的动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标＝ 【】

三、解答题（（每小题20分，共60分）
13、如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．
【解：设一次函数解析式为，则，得，令得，则OA＝．
令得，则OA＝．

所以，三角形AOB面积的最小值为12．】

14、小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长。
A
B
C
E
图1
A
B
C
E
图2(a)
A
B
C
E
图2(b)
解：分三种情况 ：（1）当底边在长方形的长边上时，如图1，ABAC10 cm，
BE6 cm，BC2BE12 cm

（2）当腰在长方形的长边上时，
如图2（a），BCAB10 cm，CEBCBE1064 cm，
ACcm
如图2（b），BCAC10 cm，BEBC＋CE10＋616 cm，
ABcm
故等腰三角形的底边长为 cm或 cm或 cm

15、边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是多少？
答案：
解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或 解得 或
∵ (此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取其中n是3的倍数．
三角形的面积．对于，
当n≥0时，随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小．

高中一年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知，则下列结论正确的是（D ）
（A） （B） （C） （D）
3．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ）
（A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
令，则

故选A
4．如果关于x的方程至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ C ）
（A）]（B）（C）（D）
由或，或解得，，故选C
5．不等式> 1 – log 2 x的解是（ B ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
，或
，或，故选B
6．已知y = f ( x ) 是定义在R上的单调函数，则（ D ）
（A）函数x = f – 1 ( y ) 与y = f ( x )的图象关于直线y = x对称
（B）函数f ( – x ) 与f ( x )的图象关于原点对称
（C）f – 1 ( x )和f ( x )的单调性相反
（D）函数f ( x + 1 ) 和f – 1 ( x ) – 1的图象关于直线y = x对称
二 填空题（每小题5分，共30分）
7．已知不等式() x 2 – a > 4 – x的解集是( – 2，4 )，那么实数a的值是 8 。
8．已知函数y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R，则m的取值范围是[0，4] 。
或，解得
9．如果函数f ( x ) = a x 2 + b x + c，x∈[ 2 a – 3，a 2 ]是偶函数，则a = -3或1 ，b = 0 。
10．多项式因式分解的结果是。
提示：十字相乘法
11．若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a有三个不相等的实数根，则a =或。
提示：图象法
12．函数的最大值是。
提示：
三 解答题
13（本小题满分20分）
已知试求使方程有解的k的取值范围
解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足

当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

由（1）得
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解
当k≠0时，（4）的解是
，把（5）代入（2），得
解得：
综合得，当k在集合内取值时，原方程有解
14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为

而
所以
15（本小题满分20分）
已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点
, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示)

证明：在 中，由Menelaus定理得
因为 ，所以
由 ，知 ∽ ，则
所以，， 即
因此， ． 又 ， 故

高中二年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则下列结论正确的是（D ）
（A） （B） （C） （D）
2．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ）
（A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
令，则

故选A
3．圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1上任意一点P ( x，y )都满足x + y + c ≥ 0，则c的取值范围是（ C ）
（A）( – ∞，0 )] （B）[，+ ∞ ]) （C）[– 1，+ ∞ ]) （D）[ 1 –，+ ∞ ])
4．不等式> 1 – log 2 x的解是（ B ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
，或
，或，故选B
5．棱长为的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放入一个小球，则这些的最大半径为 （C ）
（A） (B) (C) (D)
如果正四面体的棱长为，则根据正四面体的性质和球的性质可计算出正四面体的内切球半径为（正四面体的内切球的球心将高四等分），后放入小球是一个新正四面体的内切球，且新正四面体的高为原正四面体的高减去其内切球的直径，所以新正四面体的高为，进而得到所求球的半径为
6．函数y =+的最小值是（ D ）
（A）2 （B）2 （C） （D）
y =+

二 填空题（每小题5分，共30分）
7．已知函数，当时的值域是，则 [1，4] 。
8．函数的最大值是 0 。

9．已知数列{ a n }的通项公式是a n =，b n =（n= 1，2，3，… ），则数列{ b n }的前n项和
b n =
所以

10．若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a有三个不相等的实数根，则a =或。
11．已知直线的方向向量是，直线的斜率是，
直线斜率是。其中都可取任何实数，则三条直线中倾斜角为钝角的条数的最大值是 2 。
因为三条直线的斜率之和

所以至多有两条直线的斜率小于零。

12．给出下列5个命题：
（1） 函数是奇函数；
（2） 函数的图象关于轴对称；
（3） 函数与的值域一定相等，但定义域不同；
（4） 互为反函数的两个函数的图象若有交点，则交点不一定在直线上；
（5） 若函数存在反函数，则在其定义域内一定单调
其中正确命题的题号是___（1）、（4）__

三 解答题

13（本小题满分20分）
定义在上的减函数也是奇函数，且对一切实数，
不等式恒成立。
求实数的取值范围。
分析：根据题设，可以将等价转化为可分离参数的不等式形式。
解：因为是奇函数
所以不等式可化为
又因为在上是减函数
不等式可进一步化为
即
因为对一切实数，都有，所以
进而得到
令，则
而，所以当时，
所以实数的取值范围是

14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为

而
所以

15（本小题满分20分）
已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点
, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示)

证明：在 中，由Menelaus定理得
因为 ，所以
由 ，知 ∽ ，则
所以，， 即
因此， ． 又 ， 故

初中高中数学创新小论文要求及范文

一、 论文形式：科学论文
科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。
注意：它不是感想，也不是调查报告。
二、 论文选题：新颖，有意义，力所能及
要求：
1. 有背景.
应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。
2. 有价值.
有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提升科学研究的能力。
3. 有基础
对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问题的数据资料是能够获得的。
4. 有特色
思路创新，有别于传统研究的新思路；
方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；
结果创新，要有新的，更深层次的结果。
5. 问题可行
适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生（高中生）的能力范围。
三、 （数学应用问题）数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确
要求：
1． 数据真实可靠，不是编的数学题目；
2． 数据分析合理，采用分析方法得当。
四、 （数学应用问题）数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
要求：
1． 抽象化简适中，太强，太弱都不好；
2． 抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确；
3． 数学推理严格，计算准确无误，得出结论；
4． 将所得结论回归到实际中，进行分析和检验，最终解决问题，或者提出建设性意见；
5． 问题和方法的进一步推广和展望。
五、 （数学理论问题）问题的研究现状和研究意义：了解透彻
要求：
1． 对问题了解足够清楚，其中指导教师的作用不容忽视；
2． 问题解答推理严禁，计算无误；
3． 突出研究的特色和价值。
六、 论文格式：符合规范，内容齐全，排版美观
1. 标题：
是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。
要求：反映内容准确得体，外延内涵恰如其分，用语凝练醒目。
2. 摘要：
全文主要内容的简短陈述。
要求：
1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；
2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，6000字以内的文章摘要一般不超过300字；
3）不要举例，不要讲过程，不用图表，不做自我评价。
3. 关键词：文章中心内容所涉及的重要的单词，以便于信息检索。
要求：数量不要多，以3-5各为宜，不要过于生僻。
4. 正文
1）前言：
问题的背景：问题的来源；
提出问题：需要研究的内容及其意义；
文献综述：国内外有关研究现状的回顾和存在的问题；
概括介绍论文的内容，问题的结论和所使用的方法。
2）主体：
（数学应用问题）数学模型的组建、分析、检验和应用等。
（数学理论问题）推理论证，得出结论等。
3）讨论
解释研究的结果，揭示研究的价值, 指出应用前景, 提出研究的不足。
要求：
1）背景介绍清楚，问题提出自然；
2）思路清晰，涉及到得数据真是可靠，推理严密，计算无误；
3）突出所研究问题的难点和意义。
5. 参考文献：
是在文章最后所列出的文献目录。他们是在论文研究过程中所参考引用的主要文献资料，是为了说明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前人成果的尊重和提供进一步检索的线索。
要求：
1）文献目录必须规范标注；
2）文末所引的文献都应是论文中使用过的文献，并且必须在正文中标明。

示范小论文：

东北育才学校紧急情况下学生的疏散问题

辽宁沈阳　东北育才学校初一　 李思阳　　指导老师　徐秋慧

摘要：本文针对东北育才学校北校区东楼在紧急情况下学生的疏散问题，在合理的假设下，得出了在学生人数密度较大的教学楼内，学生疏散时间的计算方法和疏散过程中学生拥挤瓶颈现象的解决方法，并提出了采用合理疏散方案来控制疏散过程中学生拥挤的瓶颈现象，使学生能在最短的时间内疏散到安全地带。
关键词：紧急疏散；瓶颈现象；疏散时间；

1. 问题的提出
学校是学生聚集的场所，人口密度大，一旦发生危险情况，如火灾、爆炸等紧急情况，如果疏散方式不科学，后果则不堪设想。我们应该防患于未然，在危险发生之前，就考虑到各种危险因素，设计出最合理疏散方式，使危险发生时，将损失降低为最小。
对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别。本文针对东北育才学校北校区东楼的结构特点，提出一种学生疏散时间计算模型，对东楼的危险场景作了分析，从而指导学生能在最短的时间内疏散到安全地带。
 2. 模型假设与符号说明
2.1模型假设：
（1）学生具有相同的疏散特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；
（2）学生都处于清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；
（3）在疏散过程中，学生人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配；
（4）学生在不拥挤的情况下，平均运动速度为3米/秒；
（5）学生从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变；
（6）每班学生人数相等；
（7）每个学生所占的空间是相等；
（8）每班教室长度是相等的，为12米长；
（9）假设火灾发生在第三层的特2班教室；
（10）发生火灾时每个教室都为满人，这样这层楼师生共有560人；
（11）教学楼内安装有应急广播系统，但没有集中火灾报警系统；
（12）从起火时刻起，当可用安全疏散时间TKY小于必需安全疏散时间TBX，为逃生失败；
2.2东北育才学校北校区东楼情况介绍
东北育才学校北校区东楼为一幢三层的建筑，每层有11间教室，1间活动室，6间办公室。一层中间为大厅，其余为教室，每间教室都有学生上课。二层为活动室和办公室，人员极少故忽略不考虑，只作为一条人员通道。每班教室都有两个出口。
经测量，走廊的总长度为108米，走廊宽为2.2米，单级楼梯的宽度为0.32米，每层楼梯共有16级，楼梯口宽2.0米，每间教室的面积为72平方米。东北育才学校北校区东楼平面图见图1。
图1东北育才学校北校区东楼平面