三区间复合Laguerre方程边值问题的解的相似结构.pdf

年 月 陕西理工大学学报(自然科学版).第 卷第 期 ().引用格式:李顺初付雪倩范林等.三区间复合 方程边值问题的解的相似结构.陕西理工大学学报(自然科学版)():.三区间复合 方程边值问题的解的相似结构李顺初 付雪倩 范 林 邵东凤 刘 盼西华大学 理学院 四川 成都 摘 要:对一类三区间复合 方程边值问题的解式进行研究发现其解的结构具有相似性 其解式可以通过定解条件的系数、引解函数及相似核函数组装而成 其中引解函数通过定解方程的两个线性无关解构造而成相似核函数由定解条件的系数和引解函数构造而成从而提出了应用相似构造法来解决三区间复合 方程的边值问题关键词:方程边值问题相似核函数相似构造法中图分类号:.文献标识码:文章编号:()收稿日期:修回日期:通信作者:李顺初()男湖北浠水人教授主要研究方向为微分方程和渗流力学及其应用在解决实际工程问题时常常会涉及到微分方程的求解问题那么研究微分方程解的规律对简化求解具有重要意义 年李顺初通过对二阶齐次线性微分方程(组)的边值问题和二阶齐次线性偏微分方程的混合问题的分析提出了一种研究微分方程边值问题解的相似结构的方法 相似构造法目前该方法可用于求解扩展变形 方程、方程、三区复合 方程以及石油工程中的渗流模型等问题 方程广泛应用于多个领域如:物理学、工程技术等那么对它的解式进行研究对实际生活具有重要意义 利用广义 变换和 变换求得了 方程的解 等采用分数幂级数法获得了分数阶 方程的分数阶幂级数解 等基于分数幂级数展开的 方法求得了分数阶 方程的解 郑鹏社等在研究变系数非线性常微分方程的解时通过弹性变换将其转化为 方程进行求解 李顺初等对一般的 方程和二区复合 方程的求解进行了研究但是对三区复合 方程的求解还没有 为了更进一步地对 方程的相关理论进行分析本文研究如下的三区间复合 方程的边值问题:()()()()()其中 为自变量为关于自变量 的函数、为常数()为正整数且 预备知识引理 方程的形式为()()它的两个线性无关解为()、()其通解可以表示为()()()()其中 为整数、为任意常数()为 多项式()为第二类 方程引理 ()为第一类 函数()、()与()分别满足()!()()()()()引理 第一类 函数的微分性质()()()现在由 方程的两个线性无关解构造二元函数()()()()()()()()()()()()!()()()()()()()()()()()()()()()()()()!()()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()()()其中()()称为引解函数 表示内区 表示中区 表示外区 主要定理及证明定理 若边值问题()有唯一解则它的内、中、外区解可以分别表示为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()其中()称为内区()相似核函数表示为()()()()()()()()陕西理工大学学报(自然科学版)第 卷()称为中区()相似核函数表示为()()()()()()()()()称为外区()相似核函数表示为()()()()()()证明 容易知道边值问题()的三个定解方程都为 方程由引理 可以得到其通解为()()()()其中、()为任意常数根据引理 和引理 可得 !()()()()()()将式()、()代入边值问题()的内边界条件、衔接性条件以及外边界条件可得()()!()()()()()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()()()()!()()()()()()()即式()()组成关于待定系数、的线性方程组并结合式()()可以得到关于待定系数、的线性方程组的系数行列式为 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()由于边值问题()有唯一解即 根据 法则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()第 期 李顺初付雪倩范林等 三区间复合 方程边值问题的解的相似结构 ()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()!()()()()()()()()()()()()()!()()()()()将式()()代入式()并结合式()()以及式()()进行组装即可得到边值问题()的内、中、外区解式()()推论 对于边值问题()若内边界条件为 则其内区解就是内区相似核函数()推论 在边值问题()中有如下推论成立:/()()相似构造法求解步骤通过以上定理 的证明可以归纳得到如下求解三区间复合 方程边值问题()的步骤:构造内、中、外区引解函数根据边值问题()中定解方程的两个线性无关解()、()构造引解函数()()(式()()构造内、中、外区相似核函数外区相似核函数(式()由外边界条件 的系数、以及外区引解函数()()构成并计算出()中区相似核函数(式()由衔接性条件 的系数、中区引解函数()()以及()构成并计算出()内区相似核函数(式()由衔接性条件件 的系数、内区引解函数()()以及()构成并计算出()求得边值问题()的解内区解(式()由内边界条件 ()的系数、内区相似核函数()以及()组装得到中区解(式()由内边界条件的系数、()、()、衔接性条件 的系数、内区引解函数以及中区相似核函数()组装得到外区解(式()由内边界条件的系数、()、()、()、衔接性条件 的系数、内区引解函数、中区引解函数以及外区相似核函数()组装得到从以上的求解步骤不难得出如图 所示的求解流程 陕西理工大学学报(自然科学版)第 卷图 求解流程图 举例求解下列边值问题 ()()()()对比边值问题()和边值问题()可以知道 可以通过相似构造法对其进行求解第一步由内区定解方程 ()的两个线性无关解()、()并结合式()()构造内区引解函数为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()同理构造中区引解函数为()()()()()()第 期 李顺初付雪倩范林等 三区间复合 方程边值问题的解的相似结构 ()!()()()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()!()()()()()外区引解函数为()()()()()()()!()()()()()()()()()()()!()()()()()!()()()()!()()()()()第二步根据式()()构造内、中、外区相似核函数即内区相似核函数为()()()()()()()()()中区相似核函数为()()()()()()()()()外区相似核函数为()()()()()()()第三步根据式()()得出边值问题()的内区解为()()()()()中区解为()()()()()()()()()外区解为()()()()()()()()()()()()()结论)利用相似构造法求解三区间复合 方程边值问题是一种简单便捷的方法只需要知道边值问题中定解方程的两个线性无关解就能快速准确地得到该类边值问题的解 陕西理工大学学报(自然科学版)第 卷)观察边值问题()的内、中、外区解可以发现其解式具有相似的结构都是由定解条件的系数、引解函数以及相似核函数组装而成)研究发现在边值问题()中改变定解条件的系数时其解的结构保持不变为研究边值问题的解式与定解条件的系数之间的关系提供了便利 参 考 文 献 李顺初.微分方程解的相似结构初探与展望.西华大学学报(自然科学版)():.冷礼辉郑鹏社李顺初.求解扩展变型 方程边值问题的相似构造法.科技通报():.夏文文李顺初桂东冬.方程边值问题的解的相似结构.嘉应学院学报():.():.():.():.:.谭永宏曾喆昭.基于 多项式的 位移传感器非线性校正.传感器与微系统():.何国强.基于 多项式的电磁场区域分解时域算法.成都:电子科技大学.():.():.:.:.():.():.李顺初张红丽郑鹏社等.复合型 方程边值问题解的相似结构.韶关学院学报():.刘适式刘适达.特殊函数.北京:气象出版社:.责任编辑:谢 平 :.:第 期 李顺初付雪倩范林等 三区间复合 方程边值问题的解的相似结构