线性代数ch2-第6讲.doc

第6讲
教学目的要求：通过理解矩阵的乘积与矩阵的转置概念及其性质，牢固掌握矩阵的基本运算性质达到正确、熟练计算矩阵的目的。
主要内容：矩阵的乘积；矩阵的转置；方阵的行列式。
重点难点 ：矩阵的乘积；矩阵的转置；方阵的行列式。
教学手段：多媒体教学（电子教案及粉笔、黑板的有机结合）
教学时数：2学时。

第二章 矩阵及其运算 §2.2 矩阵的运算（续）
三、矩阵的乘积
定义2.5 设A=（aij）是m×s矩阵，B=（bij）是s×n矩阵，则由元素
,
构成的m×n矩阵

称为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB
由矩阵乘积的定义可看出：
（1）矩阵A和矩阵B的乘积要有意义，必须满足这样的条件：排在左边的矩阵A的列数与排在右边的矩阵B的行数相同。
（2）矩阵A和矩阵B的乘积C的第i行第j列元素cij是由A中第i行的每一个元素与B中第j列的对应元素相乘后再相加得到的。
（3）乘积矩阵C=AB的行数等于排在左边的矩阵A的行数，列数等于排在右边的矩阵B的列数。
例5 ，求AB和BA.
解 因为A的列数与B的行数均为4，所以AB有意义。
且AB为3×2矩阵。

由于B的列数为2，A的行数为3，所以BA无意义。
由此例可看出，AB有意义时，BA不一定有意义。
由此例可看出，虽然AB和BA都有意义，但AB和BA的行数、列数不一定相同。

由此例可看出，即使AB和BA都意义且AB和BA的行数、列数相同，AB和BA也不一定相等。此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵。

此例说明，虽然AC=BC且C≠O，但不能推出A=B.
从以上几个例题可看出：矩阵乘法的运算规律与数的乘法运算规律有些不同，主要有以下几点：
(设a，b，c为数，A，B，C为矩阵)
（1）数的乘法满足交换律，即ab=ba.
而矩阵的乘法不满足交换律。一般来说，AB≠BA；
（2）数的乘法满足消去律,即 若ab=ac,且a≠0,必有b=c;
而矩阵乘法不满足消去律。一般来说，当AB=AC,且A≠O时，不一定有B=C；
（3）对于数的乘法，由ab=0可推出a=0或b=0.
而对于矩阵乘法，由AB=O不能推出A=O或 B=O；
由定义1.5,可以证明矩阵的乘法具有以下性质：
(设以下矩阵运算均可行，k为常数)
1.A(BC)=(AB)C
2.A（B+C）=AB+AC
(A+B) C=AC+BC
3.k(AB)=(kA)B=A(kB)
4. Am×nEn=EmAm×n=A
5.
例9 用矩阵表示线性方程组

解 用m×n矩阵A表示方程组未知量的系数（称A为方程组的系数矩阵），
n×1矩阵X表示未知量，m×1矩阵B表示常数项。即
.
由矩阵的乘法定义，则方程组可用矩阵表示为：
AX=B
定义2.6 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A的连乘称为A的k次幂，
记为Ak.即

容易证明，方阵的幂具有以下性质：
1.
2.
其中，k，l为正整数。
注意：由于矩阵的乘法不满足交换律，一般情况下：
； ； .
另外，一般情况下，由 ，不能推出.
例如 对，有，但
由，不能推出.
例如 对，有.，但
四、矩阵的转置
定义2.7 将矩阵A=（aij) m×n的行取作列（或列作做行），可得到一个n×m矩阵 ，称此矩阵为A的转置矩阵，简称A的转置，记为（或）。即

矩阵的转置具有以下性质：
1.
2.
3.
4.
显然，性质2和性质4可以推广到多个矩阵的情形。即

此例说明，一般情况下，.
由对称矩阵、反对称矩阵的定义，容易证明以下性质：
性质 n阶方阵A是对称矩阵的充要条件是；
n阶方阵A是反对称矩阵的充要条件是.
五．方阵的行列式
定义2.8 对n阶方阵，将A中元素取出，按原来顺序作一个n阶行列式，称此行列式为方阵A的行列式，记为.
方阵行列式的运算有以下性质：
设A，B是n阶方阵，k是常数，则有
性质1.
性质2.
性质3.
利用行列式的性质容易证得性质1和性质2，而性质3的证明比较繁琐，此处略去。
性质3 可推广到多个同阶方阵的情形：即
若是同阶方阵，则
.
方阵A与方阵A的行列式是两个完全不同的概念，A表示一个正方形数表，而表示一个数值，因此在作运算时，须注意以下几点：
设A,B为同阶方阵，
1. 一般情况下，
2. 虽然在一般情况下， 但
定义2.9 设A是n阶方阵，若，则称A为非奇异方阵(也称为非退化矩阵)，否则称A为奇异方阵（也称为退化矩阵）。
例11 设n阶方阵A,B满足，且B是非奇异方阵，证明A，A+B均是非奇异方阵。
证明 由，即，得

由于B是非奇异方阵，即，有
，由此得，，
所以，A，A+B均是非奇异方阵。

.

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