高中三角函数习题解析(1).doc

三角函数题解
1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0
C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0
1.答案：C
解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项.
7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）
A.y=cos2x B.y＝2|sinx|
C.y＝()cosx D.y=－cotx
图4—8
7.答案：B
解析：A项：y=cos2x=，x=π，但在区间（，π）上为增函数.
B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（，π）上为减函数.
C项：函数y=cosx在(，π)区间上为减函数,数y=（）x为减函数.因此y=（）cosx在（，π）区间上为增函数.
D项：函数y＝－cotx在区间（，π）上为增函数.
15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）
A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x
15.答案：B
解析：取f（x）=cosx，则f（x）·sinx=sin2x为奇函数，且T=π.
评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.

16.（1998全国，6）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
A.（，）∪（π，）
B.（，）∪（π，）
C.（，）∪（，）
D.（，）∪（，π）
16.答案：B
解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0，
A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案为B.
解法二：取α＝∈（），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，π），则P点不在第一象限，排除D,选B.
解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得或π＜α＜，故选B.
评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.
18.（1996全国）若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）
A.{x|2kπ－π<x<2kπ+，k∈Z}
B.{x|2kπ+<x<2kπ+π，k∈Z}
C.{x|kπ－<x<kπ+，k∈Z}
D.{x|kπ+<x<kπ+π，k∈Z}
18.答案：D
解析一：由已知可得cos2x=cos2x－sin2x<0，所以2kπ+<2x<2kπ+π，k∈Z.解得kπ+<x<kπ+π，k∈Z（注：此题也可用降幂公式转化为cos2x<0）.
解析二：由sin2x>cos2x得sin2x>1－sin2x，sin2x>.因此有sinx>或sinx<－.由正弦函数的图象（或单位圆）得2kπ+<x<2kπ+π或2kπ+π<x<2kπ+π（k∈Z），2kπ+π<x<2kπ+π可写作（2k+1）π+<x<（2k+1）π+，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作nπ+<x<nπ+，n∈Z.
评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用.
20.（1995全国，3）函数y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是（ ）
A.6π B.2π C. D.
20.答案：C
解析：y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）＝5［sin（3x＋）＋cos（3x＋）］＝5sin（3x＋＋）（其中tan＝）
所以函数y＝sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是T＝.
故应选C.
评述：本题考查了asinα＋bcosα＝sin（α＋），其中sin＝，cos＝，及正弦函数的周期性.
21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于（ ）
A. B.－ C. D.－
21.答案：A
解法一：将原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝
于是1－sin22θ＝，sin22θ＝，由已知，θ在第三象限，
故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋
从而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π
故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝，故应选A.
解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ＞0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ＝，得2sin2θcos2θ＝，并与sin4θ＋cos4θ＝相加得（sin2θ＋cos2θ）2＝1成立，故选A.
评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.
22.（1994全国文，14）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，那么a等于（ ）
A. B.－ C.1 D.－1
22.答案：D
解析：函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，表明：当x=－时，函数取得最大值，或取得最小值－,所以有［sin（－）+a·cos（－）］2=a2+1，解得a=－1.
评述：本题主要考查函数y=asinx+bcosx的图象的对称性及其最值公式.

23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ）
A.tan>cot B.tan<cot
C.sin>cos D.sin－cos
23.答案：A
解法一：因为θ为第二象限角，则2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan＞cot.
图4—13
解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜＜
kπ＋，k为奇数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；
k为偶数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，选A.
评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.
24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝ .
24.答案：
解析：∵0＜ω＜1 ∴T＝＞2π ∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数
∴f（x）max＝f（）即2sin 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝
25.（2002北京文，13）sinπ，cosπ，tanπ从小到大的顺序是 .
25.答案：cosπ＜sin＜tan
解析：cos＜0，tan＝tan ∵0＜x＜时，tanx＞x＞sinx＞0
∴tan＞sin＞0 ∴tan＞sin＞cos

26.（1997全国，18）的值为_____.
26.答案：2－
解析：
.
评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.
27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____.
27.答案：
解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

28.（1995全国理，18）函数y＝sin（x－）cosx的最小值是 .
28.答案：－
解析：y＝sin（x－）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］
当sin（2x－）＝－1时，函数有最小值，y最小＝（－1－）＝－.
评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.

29.（1995上海，17）函数y＝sin＋cos在（－2π，2π）内的递增区间是 .
29.答案：［］
解析：y＝sin＋cos＝sin（），当2kπ－≤＋≤2kπ＋（k∈Z）时，函数递增，此时4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0时，［－，］（－2π，2π）.

30.（1994全国，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则cotθ的值是 .
30.答案：－
解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值.
将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝
变形得1－2sinθcosθ＝2－，
图4—14
即（sinθ－cosθ）2＝
又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）
则＜θ＜，如图4—14
所以sinθ－cosθ＝，于是
sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.
解法二：将已知等式平方变形得sinθ·cosθ＝－，又θ∈（0，π），有cosθ＜0＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－x－＝0的两个根，故有cosθ＝－，
sinθ＝，得cotθ＝－.
评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.

31.（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
31.解：（1）y＝cos2x＋sinxcosx＋1
＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1
＝cos2x＋sin2x＋
＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋
＝sin（2x＋）＋
y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z.
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
y＝sin（2x＋）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数
y＝sin（2x＋）的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；
综上得到函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图象.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.

32.（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
32.解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R
y取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋2kπ，k∈Z.
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝
（2）变换的步骤是：
①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
y＝2sin（x＋）的图象；
经过这样的变换就得到函数y＝sinx＋cosx的图象.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.

33.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.
33.解：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）
＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－
＝－sin70°sin30°＋sin70°
＝－sin70°＋sin70°＝.
评述：本题考查三角恒等式和运算能力.

34.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，
求tan（α－2β）的值.
34.解：由题设sinα＝，α∈（，π），
可知cosα＝－，tanα＝－
又因tan（π－β）＝，tanβ＝－，所以tan2β＝
tan（α－2β）＝
35.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，证明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.
35.证明：tanx1＋tanx2＝

因为x1，x2∈（0，），x1≠x2，
所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1，
从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2），
由此得tanx1＋tanx2＞，
所以（tanx1＋tanx2）＞tan
即［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.

36.已知函数
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.
解（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴ 函数定义域为，k∈Z∵ ∴当x∈时，∴ ∴ ∴ 函数值域为[）
（3）∵定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴不具备奇偶性
（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号

37. 求函数f (x)=的单调递增区间
解：∵f (x)= 令,∴y=,t是x的增函数,又∵0<<1,∴当y=为单调递增时,cost为单调递减 且cost>0,∴2kp≤t<2kp+ (kÎZ),∴2kp≤<2kp+ (kÎZ) ,6kp-≤x<6kp+ (kÎZ),∴f (x)=的单调递减区间是[6kp-,6kp+) (kÎZ)

38. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）
⑴求f(x)的最小正周期；
⑵求f(x)单调区间；
⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。
解：
（1）T=π
（2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+
（3）对称中心（，0），对称轴，k∈Z

39若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。

解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,∴,∵- 1≤sinx≤1 ,∴； , ∴a的取值范围是[]

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