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MBA联考数学基本概念和必备公式

（青岛华宏MBA内部资料）
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（一）初等数学部分
一、绝对值
1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a的绝对值非负。
归纳：所有非负性的变量
（1） 正的偶数次方（根式）
（2） 负的偶数次方（根式）
（3） 指数函数 ax (a > 0且a≠1)>0
考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。
2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|
右边等号成立的条件：ab ≥ 0
3、 要求会画绝对值图像
二、比和比例
1、

2、 合分比定理：
等比定理：
3、增减性
(m>0) , (m>0)
4、 注意本部分的应用题
三、平均值
1、当为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即

当且仅当。
2、
3、
4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。
四、方程
1、判别式（a, b, c ∈R）

2、图像与根的关系
△= b2–4ac
△>0
△= 0
△< 0
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
x1 x2

x1,2

f(x) = 0根

无实根
f(x) > 0 解集
x < x1 或x > x2

X∈R
f(x)<0解集
x 1 < x < x2
x ∈f
x ∈f
3、根与系数的关系
x1, x2 是方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根，则
x1＋x2＝－b/a　

x1·x2＝c/a　　　
x1，x2是方程　　　　
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　
的两根　　　　　　　　　　

4、韦达定理的应用
利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：
（1）
（2）
（3）
（4）
5、要注意结合图像来快速解题
五、不等式
1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数的图像求解。
△= b2–4ac
△>0
△= 0
△< 0
f(x) =ax2+bx+c
(a>0)
x1 x2

x1,2

f(x) = 0根

无实根
f(x) > 0 解集
x < x1 或x > x2

X∈R
f(x)<0解集
x 1 < x < x2
x ∈f
x ∈f
2、注意对任意x都成立的情况
（1）对任意x都成立，则有：a>0且△< 0
（2）ax2 + bx + c<0对任意x都成立，则有：a<0且△< 0
3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点
六、二项式
1、，即：与首末等距的两项的二项式系数相等
2、，即：展开式各项二项式系数之和为2n
3、常用计算公式

4、通项公式(△)
5、展开式系数

5、 内容列表归纳如下：
二项式定理
公式所表示的定理成为二项式定理。
二项式展开式的特征
通项公式
第k＋1项为，k＝0，1，…，n
项 数
展开总共n＋1项
指 数
a的指数：由；b的指数：由；
各项a与b的指数之和为n
展开式的最大系数
当n为偶数时，则中间项（第项）系数最大；
当n为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。
展开式系数之间的
关系
1．，即与首末等距的两项系数相等；
2．＋……，即展开式各项系数之和为；
3． ，即奇数项系数和等于偶数项系数和
七、数列

（二）微积分部分
一、函数、极限、连续
1、单调性：（注意严格单调与单调的区别）
设有函数y = f(x)，x ∈D，若对于D中任意两点x1，x2(x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)(或f(x1) ≥ f(x2))，则称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。
若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。
2、奇偶性：
（1）定义：
设函数y = f(x)的定义域D关于原点O对称，若对于D中的任一个x，都有
f(– x ) = – f(x) (或f(– x) = f(x))，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。
（2）图像特点：
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y＝0既是奇函数，也是偶函数。
3、

4、常用等价无穷小：当xà0时，有
　ex－1～x ln(1＋x)～x (1＋x)n－1～nx
引申：当a(x) ®0时，ln(1＋a(x))～eα(x)－1～a(x)，(1＋a(x))n－1～n·a(x)
5、当x®+¥时，增长速度由慢到快排列：lnx，xα，αx，xx
6、
7、闭区间上连续函数的性质
（1）最值定理
一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。
（2）零值定理
设f(x) ∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，。
注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。
应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。
二、一元函数微分学
1、导数的数学定义式

2、可导与连续的关系

3、左右导数

4、导数的几何意义
设点M0(x0 , f(x0))是曲线y = f(x)上的上点，则函数f(x)在x0点处的导数f ’(x0)正好是曲线y=f(x)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。
（1） 切线方程，
（2）切线平行x轴
切线方程：y = f(x0)，法线方程：x = x0
(3) 切线平行y轴　
切线方程：x = x0，法线方程：y = f(x0)
6、 常见函数求导公式
f(x)
C
Xa

ax
ex
loga|x|
ln|x|
f’(x)
0
axa-1

－
axlna
ex

6、
7、高阶导数（掌握二阶导数即可）
常见函数的二阶导数
f(x)
C
Xa

ax
ex
Loga|x|
ln|x|
f’(x)
0
axa-1

axlna
ex

f’’(x)
0
a(a-1)xa-2

ax(lna)2
ex

8、可导、可微、连续与极限的关系
可导一定连续，连续不一定可导
极限 连续

可导

可微

可微

9、奇偶函数，周期函数的导数
（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f‘(0) = 0
（2）可导的奇函数的导函数为偶函数
（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数
10、微分公式（*核心*）：
11、
　＝A
12、判断函数的增减性，求函数单调区间
（1）单调性定义

（2）判别方法：用f ’(x)判断

注意：设f(x)在(a，b)区间内可导则f(x)在(a，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f’(x)＞0(f’(x)＜0)

13、极值点的定义（局部最大或局部最小）
（1）定义：设y＝f(x)，若对"xÎ(x0－d，x0＋d)均有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))则称x0为f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x0)为极大值(极小值)。
（2）判定方法：两个充分条件
第一充分条件：
若f(x)在x0处连续，在x0的邻域内可导，且当x< x0时，f’(x)>0,(f’(x)<0)
当x> x0时，f’(x)<0,(f’(x)>0)，则称x0为极大值点(极小值点)。　　　　　　　
第二充分条件：
　设f(x)在x0点的某一领域内可导且f’(x0)＝0，f’’(x0)≠0

注意：，有可能为极值，也可能不是极值。
（3）极值存在的必要条件
　若x0为f(x)的极值点，且f’(x0)存在，则f’(x0)＝0
　注：f’(x0)＝0不能推出x0为f(x)的极值点
　如：y＝x3 ，在x＝0处必有y’＝0

14、驻点(稳定点)
（1）
（2）
15、函数的最值及其求解
（1）若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上必有最大值、最小值
（2）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有一个极值点x，则
若x是f(x)的极大值点，那么x必为f(x)在[a,b]上的最大值点；
若x是f(x)的极小值点，那么x必为f(x)在[a,b]上的最小值点。
（3）求最值的方法 （最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念）
(a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点
(b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值
(c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值
最大值：M:max{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)}
最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(x1)，……，f(x0)}
其中：x1，……，x0为f(x)所有可能的极值点

16、驻点、极值点、最值点的联系与区别
驻点

边界

17、函数的切线与法线
切线与法线求法

18、函数凹凸性及其判定
（1）凹弧
（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧
（b）凹弧的切线斜率随着x的增大而增大，即f’(x)单调递增
（c）设f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f’’(x) ≥0 "xÎ(a,b)
(2)凸弧
（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧
（b）凸弧的切线斜率随着x的增大的而减小，即f’(x)单调递减
（c）设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f’’(x) ≤0
(3)常见函数的性质
f(x)
ax(a>1)
ax(0<a<1)
logax(a>1)
logax(0<a<1)
f’(x)
ax• lna
ax•lna

f’’(x)
ax•(lna)2
ax•(lna)2

图像

性质
增，凹
减，凹
增，凸
减，凹
19、拐点及其判定
（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。
二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。
（2）必要条件：f’’(x)存在且(x0，f(x0))为拐点，则f’’(x0)＝0

（3）充分条件：若f’’(x0)＝0，且在x0的两侧 f’’(x)异号，则(x0，f(x0))是拐点
三、一元函数积分学
1、不定积分与导数的关系

2、基本初等函数的不定积分公式
（1）
（2）（），
，
（3）
（4），
（5）
（6）
（7）

4、

5、奇偶函数的积分

四、多元函数
1、偏导的定义
设函数z = f(x, y)定义在P0(x0, y0)点的一个邻域内，若将y固定在y0，作为x的函数f(x, y0)在x0点处的导数

称为函数f(x, y)在P0(x0, y0)点处对x的偏导数，记作

2、一般极值
（1）

（2）

（4）

（三）线性代数部分
一、矩阵
1、矩阵的乘法一般没有交换律，即；常见可交换矩阵：
(1) 逆A-1：A•A-1=A-1•A=E
(2) 单位矩阵E：A•E=E•A=A
(3) 数量矩阵kE：A•(k•E)=(kE)•A=kA
(4) 零阵0：A•0=0•A=0
(5) 幂：Am•An= An• Am=Am+n
(6) 伴随A*：A A*= A*A=|A|E (重要)
2、，当且仅当A或B可逆时才成立；对于，应该认识到B的每一列都是齐次方程组AX＝0的解，若，则齐次方程组有非零解；
3、，当且仅当A可逆时，才成立；
4、，当且仅当A可逆时，有A＝E；
当A－E可逆时，有A＝0；
，仅当A为对称矩阵，即时，命题才成立；
5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：。
6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式
逆
转置
伴随

一般

一般
互换性：，，，；即这四种符号（-1，T，*，k）可以进行互换，以简化运算。
7、重要结论与公式

（2）

① A与B的行向量相互等价
② 不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩）
③ r（A）=r（B）
（4）
类似 |x+y|≤|x|+|y|
P(A+B)≤P(A)+P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)
（5）
（6） B可逆r（AB）=r（A）
B不可逆r（AB）< r（A）

r（AB）=r（A）=1
（7） A中任意两行成比例r（A）=1
（8） A=B r（A）=r（B）
（9） A=0r（A）=0
（10）
（11）
7、 重点掌握以下矩阵可逆性的判断：

设A为n阶矩阵，有以下等价命题
a) r（A）=n （满秩矩阵）
b) A可逆
c) |A|≠0
d) AT 可逆
e) r（A*）=n
f) A* 可逆
g) A的n个列（行）向量线性无关，即A列（行）满秩
h) AX=0只有零解
i) AX=β有唯一解
二、向量组
1、线性相关性基本定义

2、常见相关性归纳

（3）包含0向量的任何向量组，线性相关.

(1) m>n时，则其线性相关.

三、线性方程组
（一）关于方程组解的性质

（二）含有参数的线性方程组的求解。
1．齐次线性方程组AX＝0
解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：
（1）线性方程组只有零解，即r(A)＝n；
（2）线性方程组有非零解，即r(A)<n，并将非零解求出来。
2．非齐次线性方程组AX＝β
解题提示：对增广矩阵进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：
（1）线性方程组无解，即；
（1）线性方程组有唯一解，即；
（2）线性方程组有无穷多解，即，并将解求出来。
3、如果有一组向量，则是否可以由线性表示，可以转化为非齐次线性方程组解的情况，若无解，则不能线性表示；若有唯一解，则能够唯一线性表示；若有无穷多解，则能够线性表示，且表示方式不唯一。
4、有关基础解系的问题
解题提示：某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件：
（1）该向量组中的每个向量都满足方程AX＝0；
（2）该向量组线性无关；
（3）该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。
四、特征值和特征向量

（二）性质
1、
2、
3、
4、
5、
6、一个特征值可以对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值
7、
（三）归纳列表如下
矩阵
特征值
特征向量
KA

Am

A-1

A*

f（A）

AT

无法确定是否相同

（四）概率论部分
一、随机事件部分
1.事件间的四种关系
(1)包含AÌB

(2)相等A=B(两个事件A,B样本点完全一致)

(4)互斥：A•B= Ø

2.事件间的三种运算
(1)和(并)：A+B=AÈB

3.概率运算公式
(1)若AÌB，则有P(A) ≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)
(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)-P(A-B)=P(B)

4.条件概率
，P(A|B)实质为事件A的概率

5.乘法公式：P(AB)=P(A) •P(B|A)=P(B) •P(A|B)
6.全概公式

(3)贝叶斯公式：(逆概)
7.事件的独立性 (D)
(1)定义：P(AB)=P(A) •P(B)
(2)特殊情况：
a.Ø与任何事件相互独立
b.Ω与任何事件相互独立
c.P(A)=0的事件A与任事件相互独立

(4)当P(A)P(B)>0时
若A与B相互独立，则A与B必不互斥(独立不互斥)
若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立)
注意：Ø与任事件即互斥也独立
8.判断A与B相互独立的充要条件
(1)定义P(AB)=P(A)P(B)
(2)P(B|A)=P(B) (P(A)>0)或P(A|B)=P(A) (P(B)>0)，即：B的发生不受A的影响
(3)0<P(A)<1
即：A发生与否不影响B的概率

P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) Þ P(AB)=P(A)P(B)

四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立，则其余三组也相互独立
(6)求“n个事件至少有一个发生时”转化为其对立事件“都不发生”

9．独立试验序列
(1)贝努里：n次试验中成功k次的概率：
(2)直到第k次试验，A才首次发生：
(3)做n次贝努里试验，直到第n次，才成功k次：
二、随机变量部分
1、常见随机变量的分布表如下：
随机变量
EX
DX
密度函数f(x)
离散型
0 – 1 分布
P
P( 1 – P )
P{x = k}=Pk(1-P) 1-k,k=0,1
二项分布
nP
nP(1 – P )

连续型
正态分布
u

标准正态分布
u = 0

2、离散型随机变量
（1）分布律
Pk=P(X=Xk)，k=1，2，┅
Xk x1 x2 ┅ xk ┅
Pk P1 P2 ┅ Pk ┅

（2）分布律的性质
(1)有界性：0≤Pk≤1

应用：求待定参数值，注意求完参数要验证
3、二项分布
（1）定义

（2）各参数的意义
参数n：试验次数为n次；参数P：每次试验成功的概率
参数k：n次试验中成功k次
（3）二项分布产生的背景可以是n重贝努利试验，若用X表示n重被努力试验中事件A发生的次数，则X服从参数为n,p的二项分布，其中p是一次试验中事件A发生的概率。
，
4、分布函数F(X)
F(X)=P(X≤x)
(1)定义：F(X)在x处函数值表示点X落入区间(-¥，x]上的概率

(2)公式：
P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)
(3)分布函数性质：
1)值域：0≤F(X) ≤1
2)极限性质(★★)
，
应用：求参数值
3)单调性：单调不减(单调增)
即若x1<x2，有F(x1) ≤F(x2)
4)F(x)右连续

注意：前四个性质，用来判断函数是否为分布函数
5)P(X=x)=F(x)-F(x-0)
6)对于x1<x2，有
P(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1)
7)对x1< x2，F(x)在x1， x2处连续
P(x1≤X≤x2)=P(x1<X≤x2)=P(x1<X<x2)=P(x1≤X<x2)=F(x2)-F(x1)
5、连续型随机变量
密度函数f(x)的性质
(1)非负性：f(x) ≥0
，即f(x)与x轴所围面积为1
应用：求待定参数值
注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准
(3)对于x1<x2有
P(x1<X≤x2)=P(x1≤X≤x2)=P(x1≤X<x2)=P(x1<X<x2)
6、正态分布X~N(m，s2)
(1)正态分布密度函数

(2)f(x)图像特点
m

a) 密度函数的曲线关于x = μ对称，μ是正态分布的位置参数
b) 它在x = μ时取到最大值P(μ) = 越大，密度函数的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函数曲线与x轴之间的面积总是1，所以σ越大表明密度函数的曲线越矮越胖，而σ越小，密度函数的曲线越瘦高。
c) x离μ越远，P(x)的值越小，表明对于同样长度的区间，区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小。
d) ，这一条性质非常有用，应好好掌握。
e) P(X≤m)=P(X≥m)
f) 期望EX=m
7、一般正态分布的标准化（非常重要）

8、密度函数f(x)为偶函数的重要结论

(2)F(-a)=1-F(a)
-a a
F(-a) 1-F(a)

(3)P(|X|<a)=2F(a)-1 (a>0)
分析：P(|X|<a)=P(-a<X<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1
(4)P(|X|>a)=1-P(|X|<a)=2(1-F(a))
(5)若EX存在，则EX=0
9、数学期望有以下重要性质：
(1) 若C为常数，则E(C) = C.
(2) 若X为一个随机变量，C为常数，则E(CX) = CE(X).
(3) 若X为一个随机变量，C和k为常数，则E(kx + C) = kE(x) + C.
(4) 若X,Y是两个随机变量，则有E(X + Y) = E(X) + E(Y)
有性质(2)和性质(4)，我们可以得到以下结论：若X1,X2…Xk为k个随机变量，C1,C2,…Ck为常数，则

(5) 设Y是随机变量X的函数：Y= g(X),其中g是连续函数，则关于随机变量Y的数学期望，有以下结论：

10、 方差及性质
(1) 若C为常数，则D(C) = 0,即常量的方差等于零。
(2) 若k为常数，X为一个随机变量，则D(kX) = k2D(X).
(3) 若C为常数，X为一个随机变量，则D(X+C) = D(X).
(4) 若k和C为常数，X为随机变量，则D(kX + C) = k2D(X).
11、标准差

数学期望EX
方差DX
EC=C （C为常数）
DC=0
E( kX) = kEX
D( kx ) = k2DX
E( X+C) = EX+C
D( X+C) = DX
E(X±Y) = EX±EY

（独立）
DX = EX2-(EX)2 （重要）

科 目
结论
初 数
（1）n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。
（2）奇数次方程在定义域内至少有一个实数根。
微积分
（1）连续函数必定有原函数（注意：不一定有极值！！）
（2）奇（偶）函数的导数必定为偶（奇）函数
（3）奇函数的原函数必定为偶函数
（4）周期函数的导数必定是周期函数，最小正周期不变
线 代
（1）对于AX＝0，当m<n时，必定有无穷多解（非零解）
（2）对于AX＝β,当m<n时，必定没有唯一解
（3）零向量必定与任何向量线性相关
（4）若两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量的个数必定相等
（5）数量矩阵可以与任何矩阵相交换
概 率
（1）空集Ф必定与任何事件既相互独立也互斥
（2）A、B不为Ф,不可能事件
　 若A、B互斥，则A、B必定不互相独立
　 若A、B独立，则A、B必定相容
（3）离散型随机变量中只有几何分布不具有记忆性，
连续型随机变量中只有指数分布不具有记忆性
（4）概率中的必考分部公式：正态分布

30