Mathematica7.0——概率论基础.doc

Mathematica 7.0 —— 概率论基础
首先，我们简略介绍概率论的基础知识，假设大家已经学过概率论的相关知识，这里只是理一个思路。

四种重要的离散型随机变量的分布：
1. (0-1)分布（也叫两点分布、伯努利分布）；
2. 二项分布，记为X~b(n,p)；
3. 泊松分布，记为X~π(λ)；
4. 几何分布，记为X~H(N,M,n)；
对于以上提到的几种离散分布，在实际应用中，我们真正关注的是随机变量X的分布率、期望、方差等数字特征，如果我们具备一定的概率论基础知识，那么这些数字特征是容易求得的。

例1 ： PDF[BernoulliDistribution[p],x]
在Mathematica中的执行结果为：

该例中包含两个函数，第一个是 BernoulliDistribution 函数，该函数用于定义一个(0-1)分布，（注意到(0-1)分布也叫伯努利分布，则容易记住该函数）；第二个是 PDF 函数，该函数用于计算分布的分布率或者概率密度。因此，易知例1表示求取一个(0-1)分布的分布率。
常见离散分布对应的定义函数：
1. (0-1)分布（也叫两点分布、伯努利分布）：BernoulliDistribution[p]
2. 二项分布： BinomialDistribution[n,p]
3. 泊松分布： PoissonDistribution[m]
4. 几何分布：GeometricDistribution[p]
求期望和方差的函数依次是Mean和Variance。

例2：求以上四种分布的期望和方差。
求解： (*求期望，依次对应伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布*)
Mean[BernoulliDistribution[p]]
Mean[BinomialDistribution[n,p]]
Mean[PoissonDistribution[μ]]
Mean[GeometricDistribution[p]]
(*求方差，依次对应伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布*)
Variance[BernoulliDistribution[p]]
Variance[BinomialDistribution[n,p]]
Variance[PoissonDistribution[μ]]
Variance[GeometricDistribution[p]]
在Mathematica中的执行结果为：

三种重要的连续型随机变量的分布，以及其对应的定义函数：
1. 均匀分布，记为X~U(a,b)，UniformDistribution[{a,b}]；
2. 指数分布，记为X~E(λ)，ExponentialDistribution[l]；
3. 正态分布，记为X~N(μ,σ^2)，NormalDistribution[μ,σ]。

例3：求以上给出的三种连续型随机变量的概率密度。
求解：
PDF[UniformDistribution[{a,b}],x]
PDF[ExponentialDistribution[l],x]
PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]
在Mathematica中的执行结果为：
.
可以参照例2，对以上三个分布求期望和方差。例如：
In[1]:= Mean[ExponentialDistribution[l]]
Variance[ExponentialDistribution[l]]
Out[1]:=1/l
Out[2]:=1/l^2

计算分布函数的是CDF。
例４：绘制二项分布和指数分布的分布函数的图形。
求解：
In[3]:= Plot[CDF[BinomialDistribution[10,0.6],x],{x,0,10}]
Plot[CDF[ExponentialDistribution[0.8],x],{x,0,10}]
Out[4]:=
Out[5]:=

在概率的计算中，常要计算排列和组合，它们对应的函数依次是Binomial和FactorialPower .
例5：计算排列A5012和组合C5012 。
求解：
In[6]:= FactorialPower[50,12]
Binomial[50,12]
Out[6]:=58150627116341760000
Out[7]:=121399651100

晚安，亲爱的！