福建省福州市2016届高三5月综合质量检测数学文试题.doc

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2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测
文科数学能力测试　2016.5
（完卷时间：120分钟；满分：150分）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 集合,，则
（A） （B）
（C） （D）
(2) 复数满足，则
（A） （B）1 （C） （D）2
(3) 已知条件，条件，则是成立的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
(4) 函数（）在处取得最小值，则
（A）是偶函数 （B）是奇函数
（C）是偶函数 （D）是奇函数
(5) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：），所得数据如下茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，标准差分别为，则
（A）
（B）
（C）
（D）
(6) 函数的零点个数为
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
(7) 在中，，点满足，则
（A）1 （B）
（C） （D）2
(8) 在各项均为正数的等比数列中，，则数列的前10项和等于
（A）20 （B）10
（C）5 （D）
(9) 执行右面的程序框图，若输入的值为4，则输出的结果为
（A）8
（B）21
（C）34
（D）55
(10) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
（A）10
（B）20
（C）30
（D）60
(11) 过双曲线的左焦点作一条渐近线的垂线，与右支交于点，若，则的离心率为
（A） （B）2 （C） （D）5
(12) 已知，函数的导函数在内有最小值．若函数，则
（A）在上有最大值 （B）在上有最小值
（C）在上为减函数 （D）在上为增函数
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
(13) 在平面直角坐标系中，点在抛物线的准线上，则实数　　　．
(14) 若满足约束条件则的最大值等于　　　　．
(15) 已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为　　　　．
(16) 如图，在中，，为边上一点．若，则的周长的取值范围为　　　　．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17) （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求．
(18) （本小题满分12分）
某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：

男性观众 女性观众
（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众

女性观众

总计

60
（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

．
(19) （本小题满分12分）
如图所示，四棱锥的底面是梯形，且平面，是中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求三棱锥的高．
(20) （本小题满分12分）
已知椭圆（）的焦距为，直线（）经过的长轴的一个四等分点，且与交于两点．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）记线段为直径的圆为，判断点与的位置关系，说明理由．
(21) （本小题满分12分）
已知，函数的图象与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
(22) （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，内接于圆O，是的中点，∠的平分线分别交和圆于点,．
（Ⅰ）求证：是外接圆的切线；
（Ⅱ）若,，求的值．

(23) （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）写出的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线（）分别与和交于,两点，求．

(24) （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有实数根，求实数的值．

2016年福州市普通高中毕业班质量检测
文科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）C （2）B （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
（Ⅰ）证明：因为当时，，
所以． 1分
所以, 2分
因为所以，所以， 3分
所以． 4分
所以是以为首项，以1为公差的等差数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以. 8分
所以． 10分
所以 11分
． 12分
（18）本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
3分
假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关，
则的观测值， 5分
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关．
6分

（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，不喜欢节目A的人数为． 7分
被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为；不喜欢节目A的1名记为．
则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，共有10种．
9分
其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有，共4种．
10分
所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：． 12分
（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为点是中点，
所以且． 1分
又因为且，
所以且， 2分
所以四边形为平行四边形，
所以， 3分
因为平面，平面，
所以． 4分
所以． 5分
（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，
因为，
由（Ⅰ）知， 6分
又因为，所以，
所以 7分
所以为正三角形， 8分
所以，且． 9分
因为平面，，
所以平面． 10分
因为平面，
所以， 11分
又因为，所以平面．
所以三棱锥的高为． 12分
（20）本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．
解法一：（Ⅰ）依题意得，， 2分
所以， 3分
所以的方程为． 4分
（Ⅱ）点在外．理由如下： 5分
设，
由得， 6分
所以，，
所以，. 8分
因为，
所以，

10分
．
因为，所以．
所以点在外． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）点在外．理由如下： 5分
设，
由得， 6分
所以，，
所以，. 8分
所以，
所以圆心坐标为，
， 9分
所以的方程为． 10分
因为， 11分
所以点在外． 12分
（21）本小题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ），依题意，设切点为， 1分
则即
解得 3分
所以，
所以，当时，；当时，．
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分
（Ⅱ）令，
则，
令，则， 7分
（ⅰ）若，
因为当时，，所以，
所以即在上单调递增．
又因为，所以当时，，
从而在上单调递增，
而，所以，即成立． 9分
（ⅱ）若，
令，解得，
当，，所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
而，所以当时，，即不成立．
综上所述，的取值范围是． 12分
请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）选修：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）设外接圆的圆心为，连结并延长交圆于点，连结，
则,．
因为平分∠，所以，所以， 2分
所以，
所以，所以是外接圆的切线． 5分
（Ⅱ）连接，则，所以是圆的直径，
因为，，
所以． 7分
因为平分∠，所以∽,
所以，所以,
因为，所以∽，从而，
所以，
所以． 10分
（23）选修；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，
即， 2分
将代入，得， 4分
所以的极坐标方程为． 5分
（Ⅱ）将代入得，
所以的方程为． 7分
的极坐标方程为，所以．
又，
所以． 10分
（24）选修：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：（Ⅰ）由得，
或 2分
解得．
依题意． 5分
（Ⅱ）因为，
当且仅当时取等号， 7分
因为关于的方程（）有实数根，
所以． 8分
另一方面，，
所以， 9分
所以或． 10分

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