高中必修四三角函数知识点总结.doc

(完整版)高中必修四三角函数知识点总结

§04。 三角函数 知识要点
1. ①与(0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合):
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0。01745 1=57。30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57。30°=57°18ˊ． 1°＝≈0。01745（rad）
3、弧长公式：。 扇形面积公式:
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y)P与原点的距离为r,则 ； ； ； ； ；。 。
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线
正弦线：MP； 余弦线：OM; 正切线： AT.

7。 三角函数的定义域:
三角函数
定义域
sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系式：

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限"
任意角的概念
弧长公式
角度制与
弧度制
同角三角函数的基本关系式
诱导
公式
计算与化简
证明恒等式
任意角的
三角函数
三角函数的
图像和性质
已知三角函数值求角
图像和性质
和角公式
倍角公式
差角公式
应用
应用
应用
应用
应用
应用
应用

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二 公式组三

公式组四 公式组五 公式组六

（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二

公式组三 公式组四 公式组五

,，，。

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

★★2.正、余弦定理：在中有：
①正弦定理：（为外接圆半径）
注意变形应用
②面积公式：
③余弦定理：
10。 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

(A、＞0)
定义域
R
R

R
值域

R
R

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性
上为增函数;上为减函数(）
；上为增函数
上为减函数
（)

上为增函数(）
上为减函数（）
上为增函数;
上为减函数(）
注意：①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增（减）,则在上递减（增）。
②与的周期是。
③或（)的周期.
的周期为2（，如图,翻折无效）.
④的对称轴方程是（)，对称中心（）；的对称轴方程是(），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·;·.
⑥与是同一函数，而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×) [只能在某个单调区间单调递增。 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的]。
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件。（奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反。 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质:若的定义域，则一定有。（的定义域，则无此性质)
⑨不是周期函数；为周期函数（）;
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有。
11、三角函数图象的作法：
１)、几何法:
２)、描点法及其特例—-五点作图法（正、余弦曲线）,三点二线作图法（正、余切曲线）。
３)、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的振幅｜A|,周期，频率,相位初相(即当x＝0时的相位）．（当A＞0,ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当｜A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1)到原来的|A｜倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜｜ω|＜1）或缩短（|ω｜＞1）到原来的倍,得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左(当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位,得到y＝sin（x＋φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．（用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0)平行移动|b｜个单位,得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+（-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）(A＞0,ω＞0）(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别.
4、反三角函数：
函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数,记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］,值域是．
函数y＝cosx，（x∈［0，π]）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π]．
函数y＝tanx,的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是(－∞，＋∞）,值域是．
函数y＝ctgx,［x∈(0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是(0,π）．

II。 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1。 反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数,故，(一定要注明定义域，若,没有与一一对应，故无反函数）
注：，，。
⑵反余弦函数非奇非偶,但有，.
注：①，，.
②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数。
⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，
，。
注：,。
⑷反余切函数：,定义域，值域（），是非奇非偶.
，.
注：①，.
②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足。

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
的取值范围 解集 的取值范围 解集
①的解集 ②的解集
＞1 ＞1
=1 =1
＜1 ＜1
③的解集: ③的解集:
二、三角恒等式。
组一

组二

组三 三角函数不等式
＜＜ 在上是减函数
若，则

积化和差
sina＊cosb=（sin(a+b）+sin（a-b）)/2
cosa＊sinb=(sin（a+b）—sin(a-b））/2
cosa*cosb=(cos（a+b）+cos(a-b)）/2
sina*sinb=-（cos(a+b)—cos（a—b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin（（x+y）/2)＊cos（(x—y)/2）
sinx—siny=2cos((x+y）/2)＊sin（（x—y）/2）
cosx+cosy=2cos(（x+y）/2)*cos(（x—y)/2）
cosx-cosy=—2sin（（x+y)/2）＊sin(（x—y）/2）
我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法,只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名,等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos,其次，右边中间的和与差取决于左边第二项,若是cos，则是+，若是sin,则是-，最后记得sin＊sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二,等号左边中间的正负号决定了右边第二项,若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子,最后记得cos-cos要添一个负号.

高三数学总复习—三角函数