《1.5.2-二项式系数的性质》-导学案.doc

《1.5.2 二项式系数的性质》 导学案
学习目标
1.熟练掌握二项展开式的通项公式.
2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.
3.理解二项式系数的性质.
重点
熟练掌握二项展开式的通项公式；理解二项式系数的性质.
难点
注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.
教学过程
观察下面的三角形相邻两行数:

请根据上述规律写出下一行的数值.
问题1:从上述杨辉三角中你发现的规律是对称性， 二项式系数有哪些性质？
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 =　. 
(2)增减性与最大值:二项式系数，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间一项的二项式系数 　取得最大值. 
当n是奇数时，中间两项 　和 　相等，且同时取得最大值. 
(3) (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即 +++…++…+=2n　. 
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 +++…=+++…=2n-1　. 
问题2:二项式系数与展开式项的系数的异同
在Tr+1=an-rbr中，就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关，而Tr+1项的系数是指化简后字母外的数.
问题3:二项式定理的应用
(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求　指定的项或指定项的系数　等. 
(2)展开式的应用:利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等.
问题4:二项式系数与项的系数不同，在求某几项的系数的和时注意　赋值　法的应用. 
二项式定理的发现历程
二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于杨辉的《详解九章算法》之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图.但一般称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个规律.无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右.1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明.1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的.
学习交流
1.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　).
A.10　　　　B.20　　　　C.30　　　　D.120
【解析】令x=1，有2n=64⇒n=6，Tr+1=x6-r·x-r=x6-2r，令6-2r=0，得r=3，∴T4==20.
【答案】B
2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an=63，则展开式中系数最大的项是(　　).
A.15x2　 B.20x3 C.21x3 D.35x3
【解析】令x=0，可得a0=1.令x=1，则(1+1)n=++…+=64，∴n=6.故(1+x)6的展开式中最大项为T4=x3=20x3，选B.
【答案】B
3.(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是　　　　. 
【解析】利用二项式定理得(1+x)3(1+)3的展开式的各项为xr·x-n=xr-n，
令r-n=-1，故可得展开式中含项的是++=，即(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是15.
【答案】15
4.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，…，a5为实常数，求a4的值.
【解析】x5=[(1+x)-1]5=(1+x)5(-1)0+(1+x)4(-1)1+(1+x)3(-1)2+(1+x)2(-1)3+(1+x)·(-1)4+(-1)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5，所以a4=-=-5.
5.赋值法求展开式各项系数的和
已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7，求a0+a1+a2+…+a6+a7的值.
【方法指导】根据二项式定理对于任意的x恒成立，可以采用赋值法，令x=1求得各项系数之和.
【解析】令x=1得a0+a1+a2+…+a7=27.
【小结】根据二项式定理是一个恒等式，在这个恒等式中给定字母一些特殊的值可以求出各项系数和、差等问题，这就是赋值法，其根据就是恒等式对字母取任意值恒成立，当然对特殊值也成立，这个方法体现了一般与特殊的数学思想方法.
6.用二项式定理求三项式的展开式的项
(++)5的展开式整理后的常数项为　　　　. 
【方法指导】本题为(a+b+c)n型问题，解法较多，一般思路是先将三项和看作两项和，即将其中的两项和看作一项，求出展开式的通项，在通项中，将看作一项的两项和再次进行二项展开求出通项，在通项中令x的指数为0，求出r的值，从而求出常数项.
【解析】(法一)(++)5=[(+)+]5，通项公式Tk+1=(+)5-k，(+)5-k的通项公式为Tr+1=x-rx5-k-r2-(5-k-r)=x5-2r-k2k+r-5，令5-2r-k=0，则k+2r=5，可得k=1，r=2或k=3，r=1或k=5，r=0.
当k=1，r=2时，得展开式中项为2-2=；
当k=3，r=1时，得展开式中项为2·2-1=20；
当k=5，r=0时，得展开式中项为4=4.
综上，(++)5的展开式整理后的常数项为+20+4=.
(法二)(++)5=()5==，在二项式(x+)10中，Tr+1=x10-r()r，要得到常数项需10-r=5，即r=5.所以，常数项为=.
【小结】法一、法二的共同特点是利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决.
7.与二项式定理中展开式系数有关的综合题
已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中系数最大的项.
【方法指导】先根据第6项和第7项的系数相等求出n，再根据该项系数不小于前、后两项的系数解不等式组，即可得到展开式中系数最大的项.
【解析】T6=(2x)5，T7=(2x)6，依题意有25=26，解得n=8，(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4.
[问题]二项式的项的系数就是二项式系数吗？
[结论]不是，二项式系数只与二项式中的幂指数有关，而项的系数除了和二项式中的幂指数有关外，还与a和b的系数有关，求项的系数应利用通项公式求解.
正确解答如下:
T6=(2x)5，T7=(2x)6，依题意有25=26，解得n=8，(1+2x)8的展开式中，设第r+1项的系数最大，
则有
即
化简得
化简得5≤r≤6，∴r=5或r=6，
∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.
【小结】求(xa+yb)n的展开式中系数最大的项问题:
①当a、b均为正值时，直接由解不等式组即可；
②也可以根据奇数项和偶数项的正负，先对系数最大项的情况加以判断后，再利用不等式求解；
③当展开式的项数较少时，也可直接将各正项的系数求出后比较求得.
例题应用

已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7，求a1+a3+a5+a7的值.
【解析】令f(x)=a0x7+a1x6+…+a7，
则有f(1)=a0+a1+a2+…+a7=27，
f(-1)=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-47，
则有2(a1+a3+a5+a7)=f(1)+f(-1)=27-47，
所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8128.

求(x+-2)5展开式中的常数项.
【解析】因为(x+-2)5=()5=(x-1)10，故Tr+1=x10-r(-1)r=x5-r(-1)r.
若Tr+1为常数项，则5-r=0，即r=5，所以T6=(-1)5x0=-=-252.所以展开式中的常数项是-252.

已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求(1-2x)n展开式中系数最大项.
【解析】在展开式中项的系数是正负间隔出现的，系数最大的项只能出现在奇数项，由题意可知n=8，设第r+1(r为偶数)项的系数最大，
则有解得r=6，即第7项的系数最大.
课堂练习
1.(1-x)9的展开式中，系数最大的项是(　　).
A.第4项　　 B.第5项
C.第6项　　 D.第5项和第6项
【解析】由通项公式得第r+1项的系数为(-1)r，故r=4，即第5项的系数最大.
【答案】B
2.(2x-1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为(　　).
A.　　　 B.
C.　　　 D.-
【解析】设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=1，得1=a0+a1+a2+…+a10，再令x=-1，得310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10，两式相减可得a1+a3+…+a9=，故选B.
【答案】B
3.在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为　　　　. 
【解析】∵(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为=5x，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为24x=80x，
∴展开式中含x的项为1·(80x)+5x(32)=240x，
∴此展开式中x的系数为240.
【答案】240
4.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，当a0+a1+a2+…+an=254时，求n的值.
【解析】令x=1，得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n==254，即2n=128，解得n=7.
　5.　(2014年·浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=(　　).
A.45　 B.60　　 C.120　　 D.210
【解析】 (1+x)6的展开式中第m+1项为Tm+1=xm，(1+y)4的展开式中第n+1项为Tn+1=yn，所以在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)=，所以f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=+++=20+60+36+4=120，选C.
【答案】C
课后练习
1.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于(　　).
A.-10　　　B.-5　　　C.5　　　D.10
【解析】两边求导，令x=1，可知应选D.
【答案】D
2.若(1-2x)2014=a0+a1x+…+a2014x2014(x∈R)，则++…+的值为(　　).
A.2　　　　 B.0　 C.-1　 D.-2
【解析】观察所求数列和的特点，令x=可得a0+++…+=0，
所以++…+=-a0，再令x=0可得a0=1，因此++…+=-1.
【答案】C
3.若(-)n展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式的常数项为　　　　. 
【解析】因为(-)n展开式中所有二项式系数之和为16，所以2n=16，n=4，Tr+1=()4-r(-)r=(-2)r()4-2r，令4-2r=0，得r=2，所以常数项为T3=(-2)2=24.
【答案】24
4.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n∈N+)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问:m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
【解析】在展开式中，关于x的一次项系数为+=m+n=11，含x2项的系数为+=[m(m-1)+n(n-1)]=n2-11n+55，当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时m=6，n=5或 m=5，n=6.
5.(+)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是(　　).
A.330　　 B.462　 C.680　 D.790
【解析】显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x=1 即得所有项系数之和，2n-1=1024=210，∴n=11.各项的系数为二项式系数，故系数最大值为或，即462.
【答案】B
6.(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(　　).
A.1 B.-1 C.0 D.2
【解析】在(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4，
令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4=(2-)4.
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)·(a0+a2+a4-a1-a3)
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(2-)4=1，故选A.
【答案】A
7.求值:1-2+4-…+(-2)2014=　　　　. 
【解析】1-2+4-…+(-2)2014=(1-2)2014=1.
【答案】1
8.已知(+)n的展开式的二项式系数之和比(a+b)2n的展开式的系数之和小240，求(+)n的展开式中系数最大的项.
【解析】由题意，得2n=22n-240，
∴22n-2n-240=0，即(2n-16)(2n+15)=0.
又∵2n+15>0，∴2n-16=0.
∴n=4，∴(+)n=(+)4，
又∵(+)4的展开式中系数最大的项为二项式系数最大的项，所以(+)4展开式中系数最大的项为第3项，即T3=()2()2=6.
9.若(x+1)4(x+4)8=a0(x+3)12+a1(x+3)11+a2(x+3)10+…+a11(x+3)+a12，则log2(a1+a3+a5+…+a11)=　　　　. 
【解析】令x=-2，则a0+a1+a2+…+a11+a12=28，令x=-4，则a0-a1+a2-…-a11+a12=0，相减得2(a1+a3+a5+…+a11)=28，所以a1+a3+a5+…+a11=27，所以log2(a1+a3+a5+…+a11)=log227=7.
【答案】7
10.已知二项式(+2x)n.
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
【解析】(1)∵+=2，∴n2-21n+98=0，∴n=7或n=14.
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数=()423=，T5的系数=()324=70；
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数=()727=3432.
(2)∵++=79，∴n2+n-156=0.
∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大，
∵(+2x)12=()12(1+4x)12，∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k=10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11=·()2·210·x10=16896 x10.