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第8章 尺寸链
8.1 概述
一、有关尺寸链的基本概念
在一个零件或一台机器的结构中，总有一些相互联系的尺寸，这些相互联系的尺寸按一定顺序连接成一个封闭的尺寸组，称为尺寸链。尺寸链具有如下两个特性：
（1）封闭性 组成尺寸链的各个尺寸按一定顺序构成一个封闭系统。
（2）相关性 其中一个尺寸变动将影响其他尺寸变动。
构成尺寸链的各个尺寸称为环。尺寸链的环分为封闭环和组成环。
（1）封闭环 加工或装配过程中最后自然形成的那个尺寸。
（2）组成环 尺寸链中除封闭环以外的其他环。根据它们对封闭环影响的不同，又分为增环和减环。
与封闭环同向变动的组成环称为增环，即当该组成环尺寸增大（或减小）而其它组成环不变时，封闭环也随之增大（或减小），
与封闭环反向变动的组成环称为减环，即当该组成环尺寸增大（或减小）而其他组成环不变时，封闭环的尺寸却随之减小（或增大）。
尺寸链的类型
1.按在不同生产过程中的应用情况，可分为：
（1）装配尺寸链 在机器设计或装配过程中，由一些相关零件形成有联系封闭的尺寸组，称为装配尺寸链。
（2）零件尺寸链 同一零件上由各个设计尺寸构成相互有联系封闭的尺寸组，称为零件尺寸链。设计尺寸是指图样上标注的尺寸。
（3）工艺尺寸链 零件在机械加工过程中，同一零件上由各个工艺尺寸构成相互有联系封闭的尺寸组，称为工艺尺寸链。工艺尺寸是指工序尺寸、定位尺寸、基准尺寸。
装配尺寸链与零件尺寸链统称为设计尺寸链。
2.按组成尺寸链各环在空间所处的形态，可分为：
（1）直线尺寸链 尺寸链的全部环都位于两条或几条平行的直线上，称为直线尺寸链。
（2）平面尺寸链 尺寸链的全部环都位于一个或几个平行的平面上，但其中某些组成环不平行于封闭环，这类尺寸链，称为平面尺寸链。将平面尺寸链中各有关组成环按平行于封闭环方向投影，就可将平面尺寸链简化为直线尺寸链来计算。
（3）空间尺寸链 尺寸链的全部环位于空间不平行的平面上，称为空间尺寸链。
对于空间尺寸链，一般按三维坐标分解，化成平面尺寸链或直线尺寸链，然后根据需要，在某特定平面上求解。
3.按构成尺寸链各环的几何特征可分为：
（1）长度尺寸链 表示零件两要素之间距离的，为长度尺寸，由长度尺寸构成的尺寸链，称为长度尺寸链
（2）角度尺寸链 表示两要素之间位置的，为角度尺寸，由角度尺寸构成的尺寸链，称为角度尺寸链。其各环尺寸为角度量，或平行度、垂直度等等。

二、尺寸链的建立与分析
1.建立尺寸链
正确建立和描述尺寸链是进行尺寸链综合精度分析计算的基础。应根据实际应用情况查明和建立尺寸链关系。建立装配尺寸时，应了解产品的装配关系、产品装配方法及产品装配性能要求；建立工艺尺寸链时应了解零部件的设计要求及其制造工艺过程，同一零件的不同工艺过程所形成的尺寸链是不同的。
正确建立和分析尺寸链的首要条件是要正确地确定封闭环。
在装配尺寸链中，封闭环就是产品上有装配精度要求的尺寸。如同一部件中各零件之间相互位置要求的尺寸或保证相互配合零件配合性能要求的间隙或过盈量。
零件尺寸链的封闭环应为公差等级要求最低的环，一般在零件图上不进行标注，以免引起加工中的混乱。
工艺尺寸链的封闭环是在加工中最后自然形成的环，一般为被加工零件要求达到的设计尺寸或工艺过程中需要的余量尺寸。加工顺序不同，封闭环也不同。所以工艺尺寸链的封闭环必须在加工顺序确定之后才能判断。
在确定封闭环之后，应确定对封闭环有影响的各个组成环，使之与封闭环形成一个封闭的尺寸回路。
在建立尺寸链时，形位公差也可以是尺寸链的组成环。在一般情况下，形位公差可以理解为基本尺寸为零的线性尺寸。形位公差参与尺寸链分析计算的情况较为复杂，应根据形位公差项目及应用情况分析确定。
必须指出，在建立尺寸链时应遵守“最短尺寸链原则”，即对于某一封闭环，若存在多个尺寸链时，应选择组成环数最少的尺寸链进行分析计算。一个尺寸链中只有一个封闭环。
2.查找组成环
组成环是对封闭环有直接影响的那些尺寸，与此无关的尺寸要排除在外。一个尺寸链的环数应尽量少。
查找装配尺寸链的组成环时，先从封闭环的任意一端开始，找相邻零件的尺寸，然后再找与第一个零件相邻的第二个零件的尺寸，这样一环接一环，直到封闭环的另一端为止，从而形成封闭的尺寸组。
如图a所示的车床主轴轴线与尾架轴线高度差的允许值A0是装配技术要求，为封闭环。组成环可从尾架顶尖开始查找，尾架顶尖轴线到底面的高度A1、与床面相连的底板的厚度A2、床面到主轴轴线的距离A3，最后回到封闭环。A1、A2和A3均为组成环。

a） b）
车床顶尖高度尺寸链
一个尺寸链中最少要有两个组成环。组成环中，可能只有增环没有减环，但不可能只有减环没有增环。
在封闭环有较高技术要求或形位误差较大的情况下，建立尺寸链时，还要考虑形位误差对封闭环的影响。

3、画尺寸链线图
为清楚表达尺寸链的组成，通常不需要画出零件或部件的具体结构，也不必按照严格的比例，只需将链中各尺寸依次画出，形成封闭的图形即可，这样的图形称为尺寸链线图，如上图b所示。在尺寸链线图中，常用带单箭头的线段表示各环，箭头仅表示查找尺寸链组成环的方向。与封闭环箭头方向相同的环为减环，与封闭环箭头方向相反的环为增环。如图中，A3为减环，A1、A2为增环。
8.2 极值法计算尺寸链
一、分析计算尺寸链的任务和方法
1. 任务
分析和计算尺寸链是为了正确合理地确定尺寸链中各环的尺寸和精度，主要解决以下三类任务：
（1）正计算 已知各组成环的极限尺寸，求封闭环的极限尺寸。这类计算主要用来验算设计的正确性，故又叫校核计算。
（2）反计算 已知封闭环的极限尺寸和各组成环的基本尺寸，求各组成环的极限偏差。这类计算主要用在设计上，即根据机器的使用要求来分配各零件的公差。
（3）中间计算 已知封闭环和部分组成环的极限尺寸，求某一组成环的极限尺寸。这类计算常用在工艺上。
反计算和中间计算通常称为设计计算。
2. 方法
（1）完全互换法（极值法）
从尺寸链各环的最大与最小极限尺寸出发进行尺寸链计算，不考虑各环实际尺寸的分布情况。按此法计算出来的尺寸加工各组成环，装配时各组成环不需挑选或辅助加工，装配后即能满足封闭环的公差要求，即可实现完全互换。
完全互换法是尺寸链计算中最基本的方法。
（2）大数互换法（概率法）
该法是以保证大多数互换为出发点的。
生产实践和大量统计资料表明，在大量生产且工艺过程稳定的情况下，各组成环的实际尺寸趋近公差带中间的概率大，出现在极限值的概率小，增环与减环以相反极限值形成封闭环的概率就更小。所以，用极值法解尺寸链，虽然能实现完全互换，但往往是不经济的。
采用概率法，不是在全部产品中，而是在绝大多数产品中，装配时不需要挑选或修配，就能满足封闭环的公差要求，即保证大数互换。
按大数互换法，在相同封闭环公差条件下，可使组成环的公差扩大，从而获得良好的技术经济效益，也比较科学合理，常用在大批量生产的情况。
（3）其他方法
在某些场合，为了获得更高的装配精度，而生产条件又不允许提高组成环的制造精度时，可采用分组互换法、修配法和调整法等来完成这一任务。

二、用完全互换法解尺寸链
1. 基本公式
设尺寸链的组成环数为m，其中n个增环，m—n个减环，A0为封闭环的基本尺寸，Aｉ为组成环的基本尺寸，则对于直线尺寸链有如下公式：
1.封闭环的基本尺寸

即封闭环的基本尺寸等于所有增环的基本尺寸之和减去所有减环的基本尺寸之和。
2.封闭环的极限尺寸

即封闭环的最大极限尺寸等于所有增环的最大极限尺寸之和减去所有减环最小极限尺寸之和；封闭环的最小极限尺寸等于所有增环的最小极限尺寸之和减去所有减环的最大极限尺才之和。
3.封闭环的极限偏差

即封闭环的上偏差等于所有增环上偏差之和减去所有减环下偏差之和；封闭环的下偏差等于所有增环下偏差之和减去所有减环上偏差之和。
4.封闭环的公差
T0=
即封闭环的公差等于所有组成环公差之和。

例1 如图所示的结构，已知各零件的尺寸：A1=300 -0.13 mm，A2=A5=500 -0.075 mm，A3=43+0.18 +0.02 mm，A4=30 -0.04 mm设计要求间隙A。为0.1～0.45mm，试做校核计算。

齿轮部件尺寸链
解:
（l）确定封闭环为要求的间隙A0；寻找组成环并画尺寸链线图（图b）；判断A3为增环，A1、A2、A4和A5为减环。、
（2）计算封闭环的基本尺寸
A0＝A3-（A1+A2+A4+A5）=43mm-（30+5+3+5）mm=0
即要求封闭环的尺寸为mm。
（3）计算封闭环的极限偏差
ES。=ES3-（EI1+EI2+EI4+EI5）
=＋0.18mm-（-0.13-0.075-0.04-0.075）mm=+0.50mm
EI。=EI3-（ES1+ES2+ES4+ES5）
=＋0.02mm-（0+0+0+0）mm=+0.02mm
（4）计算封闭环的公差
T。=T1+T1+T2+T3+T4 +T5
=（0.13+0.075+0.16+0.075+0.04）mm=0.48mm
校核结果表明，封闭环的上、下偏差及公差均已超过规定范围，必须调整组成环的极限偏差。

三、设计计算
设计计算是根据封闭环的极限尺寸和组成环的基本尺寸确定各组成环的公差和极限偏差，最后再进行校核计算。
在具体分配各组成环的公差时，可采用“等公差法”或“等精度法”。
当各环的基本尺寸相差不大时，可将封闭环的公差平均分配给各组成环。如果需要，可在此基础上进行必要的调整。这种方法叫“等公差法”。即
Ti=
实际工作中，各组成环的基本尺寸一般相差较大，按“等公差法”分配公差，从加工工艺上讲不合理。为此，可采用“等精度法”。
所谓“等精度法”，就是各组成环公差等级相同，即各环公差等级系数相等，设其值均为a，则
a1= a2= …am= a
按GB1800—79规定，在IT5～IT18公差等级内，标准公差的计算式为T=ai，其中i为公差单位，如第二章所述，在常用尺寸段内 i=0.45十0.001D，为应用方便，将公差等级系数a的值和公差单位i的数值列于表中。
可得
计算出a后，按标准查取与之相近的公差等级系数，进而查表确定各组成环的公差。
各组成环的极限偏差确定方法是先留一个组成环作为调整环，其余各组成环的极限偏差按“入体原则”确定，即包容尺寸的基本偏差为H，被包容尺寸的基本偏差为h，一般长度尺寸用js。
进行公差设计计算时，最后必须进行校核，以保证设计的正确性。
例　如图所示齿轮箱，根据使用要求，应保证间隙A。在1～1.75mm之间。已知各零件的基本尺寸为（单位为mm）：A1=140，A2＝A5＝5，A3＝101，A4＝50。用“等精度法”求各环的极限偏差。

解: ① 画尺寸链图,区分增环、减环
间隙A0是装配过程最后形成的，是尺寸链的封闭环,A1～A5是5个组成环，如图所示，其中A3、A4是增环，A1、A2、A5是减环。
② 计算封闭环的基本尺寸

mm
所以mm
③ 用等公差等级法确定各组成环的公差
首先计算各组成环的平均公差等级系数，由式(8.10)并查表8.1得

由标准公差计算公式表1.2查得，接近IT11级。根据各组成环的基本尺寸，从标准公差表1.4查得各组成环的公差为:T2=T5=75μm，T3=220μm，T4=160μm。
根据各组成环的公差之和不得大于封闭环公差，由式(8.8)计算T1
T1= T0- (T2+T3+T4+T5)
=750-(75+220+160+75)
=220μm
确定各组成环的极限偏差
组成环A1作为调整尺寸，其余按“入体原则”确定各组成环的极限偏差如下:
，，
计算组成环A1的极限偏差,由式(8.6)和(8.7)

mm

所以A1的极限偏差为mm
8.3 统计法计算尺寸链
一、用大数互换法解尺寸链
1.基本公式
封闭环的基本尺寸计算公式与完全互换法同。
1）封闭环的公差
根据概率论关于独立随机变量合成规则，各组成环（独立随机变量）的标准偏差σi与封闭环的标准偏差σ0的关系为
σ0=
如果组成环的实际尺寸都按正态分布，且分布范围与公差宽度一致，分布中心与公差带中心重合，则封闭环的尺寸也按正态分布，各环公差与标准偏差的关系如下：
T0=6σ0
Ti=6σi
将此关系代入式得
T0=
即封闭环的公差等于所有组成环公差的平方和开方。当各组成环为不同于正态公布的其他分布时，应当引入一个相对分布系数K，即
T0=
不同形式的分布，K的值也不同。如正态分布时，K=1；偏态分布时，K=1.17等。
2）封闭环的中间偏差和极限偏差
中间偏差为上偏差与下偏差的平均值，即

将式相加除以2，可得封闭环的中间尺寸

即封闭环的中间尺寸等于所有增环的中间尺寸之和减去所有减环中间尺寸之和。
封闭环的中间偏差

即封闭环的中间偏差等于所有增环的中间偏差之和减去所有减环的中间偏差之和。
中间偏差、极限偏差和公差的关系如下：
ES=△+T/2
EI=△－T/2
用大数互换法计算尺寸链的步骤与完全互换法相同，只是某些计算公式不同。

8.4 计算装配尺寸链的其它方法
1. 分组互换法
分组互换法是把组成环的公差扩大N倍，使之达到经济加工精度要求，然后修完工后零件实际尺寸分成N组，装配时根据大配大、小配小的原则，按对应组进行装配，以满足封闭环要求。
例如，设基本尺寸为ф18mm的孔、轴配合间隙要求为x=3～8μm，这意味着封闭环的公差T。=5μm，若按完全互换法，则孔、轴的制造公差只能为2.5μm。

若采用分组互换法，将孔、轴的制造公差扩大四倍，公差为10μm，将完工后的孔、轴按实际尺寸分为四组，按对应组进行装配，各组的最大间隙均为8μm，最小间隙为3μm，故能满足要求。
分组互换法一般宜用于大批量生产中的高精度、零件形状简单易测、环数少的尺寸链。另外，由于分组后零件的形状误差不会减少，这就限制了分组数，一般为 2～4组。
2. 修配法
修配法是根据零件加工的可能性，对各组成环规定经济可行的制造公差，装配时，通过修配方法改变尺寸链中预先规定的某组成环的尺寸（该环叫补偿环），以满足装配精度要求。

如图所示，将A1、A2和A3的公差放大到经济可行的程度，为保证主轴和尾架等高性的要求，选面积最小、重量最轻的尾架底座A2为补偿环，装配时通过对A2环的辅助加工（如铲、刮等）切除少量材料，以抵偿封闭环上产生的累积误差，直到满足A。要求为止。
补偿环切莫选择各尺寸链的公共环，以免因修配而影响其他尺寸链的封闭环精度。
3. 调整法
调整法是将尺寸链各组成环按经济公差制造，由于组成环尺寸公差放大而使封闭环上产生的累积误差，可在装配时采用调整补偿环的尺寸或位置来补偿。
常用的补偿环可分为两种：
1）固定补偿环
在尺寸链中选择一个合适的组成环作为补偿环（如垫片、垫圈或轴套等）。补偿环可根据需要按尺寸大小分为若干组，装配时，从合适的尺寸组中取一补偿环，装入尺寸链中预定的位置，使封闭环达到规定的技术要求。当齿轮的轴向窜动量有严格要求而无法用完全互换装配法保证时，就在结构中加入一个尺寸合适的固定补偿件（A0补）来保证装配精度。
2）可动补偿环
装配时调整可动补偿环的位置以达到封闭环的精度要求。这种补偿环在机械设计中应用很广，结果形式很多，如机床中常用的镶条、调节螺旋副等。
调整法的主要优点是：加大组成环的制造公差，使制造容易，同时可得到很高的装配精度；装配时不需修配；使用过程中可以调整补偿环的位置或更换补偿环，以恢复机器原有精度。它的主要缺点是有时需要额外增加尺寸链零件数（补偿环），使结构复杂，制造费用增高，降低结构的刚性。
调整法主要应用在封闭环精度要求高、组成环数目较多的尺寸链，尤其是对使用过程中，组成环的尺寸可能由于磨损、温度变化或受力变形等原因而产生较大变化的尺寸链，调整法具有独到的优越性。

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