高考数学附加题专练（18）人教版.doc

2013高考数学附加题专练（18）
数学Ⅱ（附加题）
23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.

2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.

二．[必做题] 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？

P
N
M
A
B
C

（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.

4. 已知数列满足：.
（Ⅰ）求证：使；
（Ⅱ）求的末位数字.

数学Ⅱ（附加题）参考答案
1．解：矩阵M的特征多项式为=.
令得矩阵M的特征值为－1和3 .
当
所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.
当
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.
2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.

∴当时，，当时，.
3．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面ABC的一个法向量为则 （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，
解得的延长线上，且.
4．解：⑴当
假设当
则当时，
…

其中….
所以
所以；
（2），故的末位数字是7.