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第八章空间解析几何与向量代数
§1 向量及其线性运算
课时
4
教
学
目
的
在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。建立空间直角坐标系及空间点的坐标，掌握空间两点间的距离公式。掌握向量的概念、向量的加减法及向量与数的乘法。掌握向量的坐标表示法，会求向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
教学
重点
及
突出
方法
空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法。通过力学中的力的加减法引入向量的加减法的概念及运算法则。向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影的概念及计算。
教学
难点
及
突破
方法
空间两点间的距离公式，向量的加减法及向量与数的乘法，两个向量平行的充分必要条件。在建立空间直角坐标系后，我们就可以建立三维空间的最基本的几何元素――点与有序数组之间的联系，从而可以用代数方法来研究几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。向量在坐标轴上的投影及性质。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P1-P9
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P400-P402
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
空间直角坐标系
空间点的直角坐标
为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z)。注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征。
空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：
。
向量及其加减法及向量与数的乘法
一、向量的基本概念
向量（或称矢量），自由向量，向量相等，向量的模，反向量，平行向量，单位向量，零向量。
二、向量的加减法
1.向量的加法
(1)向量加法的平行四边形法则；
(2)向量加法的三角形法则；
(3)向量加法的多边形法则（又称折线法）。
2.向量的减法
（1）负向量 (2) 作向量与的差。
3．向量加法的性质（运算律）
①交换律 ②结合律
注意：的模一般地不等于的模加的模，而有，即三角形两边之和大于等于第三边。
向量与数的乘法
1、向量的定义：向量与数m的乘积是一个向量，它的模等于，方向与相同（若m>0）或与相反（若m<0）。
2、向量与数量乘法的性质(运算律)
①结合律 ②分配律
3、定理：设向量，则向量平行于得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使=λ。
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量），可在一般原则下作特别处理。
教
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过
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教学思路、主要环节、主要内容
向量的坐标
一、向量在轴上的投影
1．介绍轴上有向线段的值及两向量的夹角的概念
2．点在轴上的投影定义：已知一点A及一轴u，过A作垂直于u的平面α，该平面与轴u的交点A/称为点A在轴u上的射影。
3. 投影向量的定义：向量的始点A与终点B在轴u上的投影为点A/，B/，则就定义为矢量在轴u上的投影向量。
4. 向量在轴上的投影：向量在轴u的长度，称为向量在轴u上的投影，记为投影Prju。
5. 向量在轴上的投影性质：
性质1（投影定理）：Prj=，其中为轴u与向量的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj()=Prj+Prj。性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prjuλ=λPrju。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
分向量的定义：向量在坐标轴上的投影向量称为向量在坐标轴上的分向量。
向量的坐标：向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，记为：={}
由向量在轴上的投影定义，在直角坐标系Oxyz中的坐标{}就是，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：
={}，
利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有
；
由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
向量的模与方向余弦的坐标表示式
向量的模：
方向余弦：，，
且方向余弦的平房和等于1。
与非零向量同方向的单位向量为：
对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
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第八章空间解析几何与向量代数
§2数量积、向量积 混合积
课时
2
教
学
目
的
掌握向量的数量积 向量积的概念，熟练掌握数量积、 向量积的运算及性质
教学
重点
及
突出
方法
向量数量积、 向量积的运算及性质
教学
难点
及
突破
方法
数量积、向量积的定义及计算。向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。学习中，我们要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．但对几何向量，我们没有定义除法运算。同样，对向量的运算，式子无意义。数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P19-P29
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P402-P417
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教学思路、主要环节、主要内容
8．2 数量积 向量积
一、 向量的数量积：
两个向量和的数量积（点积，内积）为一个数，记作：
，其中为向量与向量之间的夹角并且。
特别是，因此我们可以把简记为2。
如果向量={}，则。
由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角，
由
所以
两个向量垂直的充分必要条件是0。
数量积满足交换率，分配律及结合率
二.向量的向量积
两个向量与的向量积（叉积，外积）是一个向量，
它的模为，它的方向是垂直于和，并且构成右手系，
记作。=正好是以和为两边的平行四边形的面积。
如果向量={}，则=
两向量平行的充分必要条件为=，即=即
也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
向量积满足=-及分配律，结合率。
解题时注意运用数量积与向量积的特点及几何意义，在讨论夹角与垂直问题时用数量积来解决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。注意向量的平行、垂直关系及角度。利用向量求面积、体积，可以以向量为工具进行证明并补充一些习题。
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第八章空间解析几何与向量代数
§3 曲面及其方程
课时
4
教
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目
的
了解曲面及其方程的概念，了解旋转曲面，柱面的有关概念，
了解用截痕法分析二次曲面的形状，讨论几个特殊的二次曲面。
教学
重点
及
突出
方法
旋转曲面，柱面的方程，
椭球面、抛物面、双曲抛物面、双曲面的方程及图形。
教学
难点
及
突破
方法
能根据点的轨迹（较简单情形）建立曲面的方程，会求旋转曲面，柱面的方程。形如f(x,y)=0的方程，在空间解析几何中它的图形是柱面；在平面解析几何中，它的图形是平面曲线．例如x2+y2=0， 在空间表示两个平面x=0,y=0的交线，即z轴；但在平面解析几何中，x2+y2=0 仅表示原点。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P78-P80
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P427-P431
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教学思路、主要环节、主要内容
8.3 曲面及其方程
一、曲面方程的概念及一般方程
如果曲面S与三元方程
F(x, y, z)=0 (1)
有下述关系：
1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；
2. 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，
那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。
二、两类常见的曲面
1、柱面
设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
2、旋转面
设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。
三、几种特殊的曲面方程
1. 旋转曲面方程
设平面曲线C:绕z轴旋转,则旋转曲线方程为
2. 柱面方程
母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为的柱面.
3. 二次曲面方程
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教学思路、主要环节、主要内容
二次曲面
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。
一、 椭球面
方程所表示的曲面叫做椭球面，如果使用一个平行于坐标面的平面作截面法，就是使得一个变量取常数，直接代入，就可以很容易得看到，得到的是一个椭圆方程。
二、 抛物面
方程（p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，用垂直于Z轴的平面作截面，得到的是椭圆，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是抛物线。
三、 双曲抛物面
方程（p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面，用垂直于Z轴的平面作截面，得到的是双曲线，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是抛物线。
四、 双曲面
方程所表示的曲面叫做单叶双曲面，用垂直于Z轴的平面作截面，得到的是椭圆，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是双曲线。
方程所表示的曲面叫做双叶双曲面，用垂直于X轴的平面作截面，得到的是椭圆，用垂直于Z，Y轴的平面作为截面，得到的是双曲线。
利用截痕法分析二次曲面，并能绘制曲面所围成的立体图形。
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第八章空间解析几何与向量代数
§4 空间曲线及其方程
课时
2
教
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目
的
了解空间曲线及其方程的概念，了解空间曲线的一般方程方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影等概念。
教学
重点
及
突出
方法
求交线在坐标面上的投影。
教学
难点
及
突破
方法
交线在坐标面上的投影。绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础. 双曲抛物面的图形，着重解决截痕法。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
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教学思路、主要环节、主要内容
8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线。设
F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0
是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组
（1）
反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。
空间曲线的参数方程为 ,其中t为参数.
二、空间曲线在坐标上的投影
设空间曲线C的一般方程为
由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：
H( x , y )=0 ，R( y , z )=0， T( x , z )=0
表示曲线C在xOy面上的投影,
表示曲线C在yOz面上的投影,
表示曲线C在xOz面上的投影。
加强交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）及空间区域在坐标面上的投影区域的计算。
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第八章空间解析几何与向量代数
§5 平面及其方程
课时
2
教
学
目
的
了解平面及其方程的概念，掌握平面的点法式方程，一般式方程及两平面的夹角的概念
教学
重点
及
突出
方法
平面的点法式方程，截距式方程，三点式方程，一般式方程及两平面的夹角的概念。根据条件建立平面的方程
教学
难点
及
突破
方法
平面方程的求法及由给定的方程能迅速确定平面的位置和平面的特性。三元一次方程Ax+By+Cz+D=0中x,y,z前面的系数A,B,C是平面法线向量的坐标，一些特殊的三元一次方程读者应熟悉它们的图形。学习中读者应经常注意空间解析几何与平面解析几何之间的联系与不同。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P32-P40
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P418-P424
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过
程
教学思路、主要环节、主要内容
8．5平面及其方程
一、平面方程的几种形式
1．一般形式：Ax+By+Cz+D=0，称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量 {A，B，C}，A2+B2+C2≠0。
2． 点法式方程：
我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}且A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
3．截距式方程：。
4．三点式方程：
已知平面过空间三点，M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)，则平面方程为
二、几种特殊位置平面的方程
1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0.
2、平行于坐标轴 平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.
平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0.
平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0.
3、通过坐标轴 通过x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0.
通过y轴和z轴的平面方程的一般形式分别为：Ax+Cz=0，Ax+By=0.
4、垂直于坐标轴 垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式分别为：
Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.
三、两平面间的夹角
两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面间的夹角。
（1）两个平面平行或重合的充要条件是
（2）两个平面垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0。
（3）一点（a，b，c）到平面的距离为
一点,一个(法线)向量(简称一点一方向，两个条件)可以确定一个平面。平面上的点一般易得，若已知一平面上的点，要求平面的方程，则问题的关键是求法线向量。求法线向量会经常用到向量的向量积或点积。
章节
第八章空间解析几何与向量代数
§6 空间直线及其方程
课时
2
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目
的
了解空间直线及其方程的有关概念，掌握直线的一般方程，对称式方程，参数式方程及直线与直线，直线与平面的位置关系。
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重点
及
突出
方法
直线的一般方程，对称式方程，参数式方程及直线与直线。
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难点
及
突破
方法
利用向量的点积或叉积求直线的方向向量，直线与直线，直线与平面的位置关系都可用它们之间的夹角来描述，读者应加以注意。在平面解析几何中，方程Ax+By+c=0表示直线，而在空间解析几何中它表示平面。一般情况下，当直线上一点已知时，求直线方程与求平面方程一样，关键是确定直线的方向向量，这时可考虑直线与直线，直线与平面的位置关系，利用向量的点积或叉积求所求直线的方向向量。
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P41-P54
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P419-P424
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过
程
教学思路、主要环节、主要内容
8.6 空间直线及其方程
一、 直线的一般式方程
它是由两个平面方程联立得到的，如下：
，这就是直线方程的一般式。
二、直线方程的对称式方程与参数方程
任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。
设已知直线L的方向数为{m,n,p}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为:
，这种方程的形式被称为直线方程的对称式或点向式。
方程组 成为直线的参数方程。
两直线的夹角：设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角（通常指锐角）称为此两直线L1与L2的夹角.
平面、直线间的平行垂直关系
对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。
总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。
设直线L由方程组所确定，则三元一次方程：
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0称为通过直线L的平面束方程。
在求直线方程时点与方向向量的确定是关键，直线的对称式、参数式、两点式都可以从确定直线的点与方向着手，另外从两个平面的交线也可以得到直线的一般式。在点、直线、平面之间的关系时，要在运用几何直观思路下化问题为向量之间的关系问题；结合向量及向量运算之间的几何意义，运用向量运算来解决问题。到本节已经介绍了空间平面与直线的基本内容，读者可以做一些带综合性的练习，融会贯通所学知识。
章节
第八章空间解析几何与向量代数
习题
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2
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的
解决第七章的习题中存在的问题。
教学
重点
及
突出
方法
向量代数、平面及直线方程的求法。
教学
难点
及
突破
方法
补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题。，开阔思路。
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参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P243-P260
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教师授课思路、设问及讲解要点
处理第八章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。
分类讲解习题，提供解题方法及思路。
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