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必修2知识点归纳
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；

一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、 空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
一般地，原图的面积是其直观图面积的倍，即
4、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；

⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：

⑷体积公式：
；；

⑸球的表面积和体积：
.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

若，则点A和确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若，则确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若，则确定平面
公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.
公理4作用：证明两直线平行。

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。
（1）没有任何公共点的两条直线平行
（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7、线面位置关系：

（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；
（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；
（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；
②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

④平行线的传递性：
⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；
⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③）
10、面面平行：（即两平面无任何公共点）
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

2.
斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：
①明确构成二面角两个半平面和棱；
②明确二面角的平面角是哪个？
而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）
4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的
公垂线段的长度。如图是两异面直线间的距离
（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的
射影的连线段的长度。
如图：O为P在平面上的射影，
线段OP的长度为点P到平面的距离

求法通常有：定义法和等体积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。如图在三棱锥
中有：

第三章 直线与方程
1.直线方程的概念：一条直线与一个二元一次方程有如下两个对应：
①直线上任意一点的坐标都满足方程 ；
②以方程的解为坐标的点都在直线上。
则称方程为直线的方程，直线为方程的直线。
2.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。
3.直线倾斜角的范围：，当直线与轴平行或者是重合时，倾斜角为
4.直线斜率的定义：倾斜角不为直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率。
记作
当倾斜角为时直线的斜率不存在。

5、直线过点，则直线的斜率为：
6、直线方程的表示形式：
⑴点斜式：，
当斜率不存在时，直线与轴垂直，倾斜角为，
此时直线方程为：，如右图，特别地轴所在

直线方程为。
当直线斜率时，直线与轴平行或者是重合
直线方程为：，轴所在的直线方程为。
⑵斜截式：（为直线在轴上的截距）
当直线过轴上一定点时，通常设直线方程为：，例如直线过定点，设。

当直线过轴上一定点（）时，，通常设直线方程为：，例如直线过定点，设
⑶两点式：
⑷截距式：，
一般地，问题中出现两个截距时，通常设直线方程为。
方程中分别表示直线的横截距和纵截距，
一般地，在直线方程中，令可求得横截距，令可求得纵截距
⑸一般式：，所有直线方程都可化为一般式。
当，直线的斜率，当时，直线斜率不存在，方程可化为
7、 两直线的位置关系的判定：
当两直线倾斜角相等时，即时，两直线平行；
当两直线倾斜角满足时，两直线垂直；
当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。
对于直线 有：
⑴；⑵和相交；
⑶和重合；⑷.
对于直线有：
⑴；（2）和相交；
⑶和重合；⑷.

8、交点与距离公式
（1）两直线的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解，即：①
当①有唯一解时，两直线相交；当①无解时，两直线平行；当①有无数个解时，两直线重合。
（2）过两直线交点的直线系方程为：

将含有一个参数的直线方程化为直线系方程
的样式就可解决直线恒过定点问题。

（3）两点间距离公式：
（4）点到直线距离公式：
（5）两平行线间的距离公式：对于直线
，与间的距离为：
（6）线段中点坐标公式：，，是线段AB的中点。
第四章 圆与方程
1、圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的第二定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。

2、 圆的标准方程：，圆心为，半径为。

3、圆的一般方程：。
圆心为，半径。
当时，方程表示点
当时，方程不表示任何图形。
4、点与圆的位置关系的判定：
（1）当满足时点P在圆上；
（2）当满足时点P在圆内；
（3）当满足时点P在圆外；
5、求圆方程的方法，主要有两种：
（1）待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：
①根据提设，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
（2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；
①三角形外心的定义 ：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；
②垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；
③弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求
得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。
6、直线与圆的位置关系的判定：
几何法（1）相切：圆心到直线的距离＝；
（2）相交：圆心到直线的距离；
（3）相离：圆心到直线的距离。

代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组①
（1）若方程①有唯一一个解，直与圆相切；
（2）若方程①有唯两个不等实数个解，直线与圆相交；
（3））若方程①有无解，直线与圆相离。
特别地，当直线与圆相离时，为圆上
的动点，为点到直线的距离，设
为圆心到直线的距离，则

注意解决直线与圆位置关系问题时，经常需要设定直线方程，设直线方程的技巧：
①若直线过轴上的定点则可设直线 ②若直线过定点为,则一般设直线；③若直线过点，则设直线。
7、两圆位置关系的判定：设圆心距
几何法⑴相离：； ⑵外切：； ⑶相交：

⑷内切：； ⑸内含：.

代数法;将两圆的方程组成方程组
（1）若方程有一个解，两圆相切（内切或外切）；
（2）若方程有两个不同解，两圆相交；
（3）若方程有无解，两圆外离或内含
特别地，方程表示过两圆交点的圆系方程。
在这个方程组中用①－②消去平方项后得一个直线方程，该直线方程过两圆的交点，因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。

若圆心到公共弦的距离等于半径，或者是圆心到公共弦的距离等于半径，则两圆相切（外切或者内切）；
若圆心到公共弦的距离等于小于，或者是圆心到公共弦的距离小于半径，则两圆相交；
8、坐标法是解决几何问题的重要方法，其步骤是：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
9、 空间直角坐标系
确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点:
如图：边长为2的正方体各顶点坐标分别为：

1.空间直角坐标系：从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样的坐标系叫做空间直角坐标系，点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面、平面、平面.

请注意：在写空间中点的坐标遇到困难时，通常先写出该点在平面上的射影点的的坐标，然后加上相应的竖坐标即可。
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴轴、轴、轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：
轴上的点的坐标的特点：，纵坐标和竖坐标都为零．
轴上的点的坐标的特点：，横坐标和竖坐标都为零．
轴上的点的坐标的特点：，横坐标和纵坐标都为零．
坐标平面内的点的特点：），竖坐标为零．
坐标平面内的点的特点：，纵坐标为零．
坐标平面内的点的特点：，横坐标为零．

6、空间中两点间距离公式：

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