空间中两直线的位置关系.doc

课堂教学实录
空间中两直线的位置关系
（注：最近，应邀请到外地给某新课程培训上研讨课，这是课堂教学实录，是借班（外地）上课。上课之前，没有与学生有任何接触，也没有布置预习。按课堂录音整理，请各位拍砖！）
师：同学们，喜欢学习《立体几何初步》这个模块吗？
学生：喜欢！
师：为什么？
学生：可以动手制作模型！（部分学生回答：可以参照周围的物体。）
师：我们今天要讲的内容有没有进行预习？
生：没有！（异口同声）
师：太好了，一片空白，正好可以画最美丽的图画！（哄堂大笑，来观摩的教师也禁不住笑了。）
师：同学们，今天我们来研究空间两直线的位置关系，请各位先思考：按公共点个数来划分，空间中两直线的位置关系有哪些？
（这里强调“按公共点个数来划分”目的在于防止思维过于发散。）
生：相交、平行。
（能够说出另外一种位置关系的学生几乎没有）
师：请同学们利用手中的塑料棒来摆出你想象出的位置关系。
（教师巡视，发现绝大多数同学只能摆出平行与相交两种位置关系！）
师：会不会出现有别于平行和相交的位置关系呢？
（沉寂片刻，大多数同学恍然大悟。）
师：哪位同学来展示一下所发现的空间两直线的位置关系？
生1：（走上讲台，利用手中的塑料棒，依次摆出三种位置关系。）
师：显然，第三种位置关系与平行、相交不同，我们把这种位置关系称之为异面。
（板书三种位置关系：相交、平行、异面。）
师：请同学们按字面意思来理解“异面”的含义。
（学生议论纷纷，异面：不在同一个平面。）
师：请同学们摆出两直线异面的位置关系，然后思考，可否作出一个平面，使得这样的两直线在该平面上？）
生：摇头，表示不可能。
师：很明显，试图想把这样的两直线放在同一个平面内，今生今世不可能，来生也办不到。
所以，我们给出异面直线的准确定义：不同在任何一个平面内的两直线。（板书）
师：同学们，空间两直线如果按照公共点个数来划分，可以分两中情况：有且只有一个公共点（相交）、无公共点（平行或异面）。
师：举个例子，将人类进行分类，可以分为幼儿、少年、青年、壮年和老年，又可以分为男性和女性。那么空间两直线的位置关系还有没有其他的分类办法？
（学生能够体会到另外的分类，但是语言叙述不够简练。后来经过教师介入，明白可以分为共面、异面两种情况。）
师：下面请同学们画图来表示空间中的三种位置关系。
（教师巡视，对于两异面直线，绘图情况很糟糕！）
（请一位同学（生2）到黑板上绘制两异面直线的直观图，该同学只画了两条直线，延长以后有交点。）
师：你画的两条直线表示哪一种位置关系？
生2：异面直线！
师：但是，我左看右看，上看下看，怎么象两条相交直线呢？（边说边把两直线延长，得到交点。）
生2：老师，不对，我画的是两条异面直线！
师：可是，我坚持认为你画的是两条相交直线！
（同学们哄堂大笑，但是又没有办法帮他支招。）
师：看来，仅靠画两条直线来表示它们的异面关系是有问题的，怎么办？
（学生各个沉思，但是想不出好办法。）
师：为了直观的表示两直线的异面关系，我们可以用平面作为衬托。
（画出异面直线的直观图，同学们看后，恍然大悟，嘴巴不禁发出“噢”的声音。）
师：同学们，在初中我们学习的是平面几何，为什么叫“平面几何”？
生：同一个平面内的几何问题，所以叫“平面几何”！
师：很正确，下面我们先来看一个平面几何问题：
（绘出一个平面，在此平面内绘制三条直线。）
师：在平面几何中，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两直线互相平行。这是一个地球人都知道的结论！请问，这个结论在空间中还正确吗？
生：（停顿片刻）正确！
师：请同桌相互合作，用塑料棒摆出模型。
（巡视，发现有一半的同学摆出的模型依然停留在同一个平面的层次。）
师：这三条直线一定在同一个平面内吗？
（经过教师提醒，全班同学都能摆出三条直线不共面的模型了。）
师：这就是公理4，哪位同学能用文字语言叙述一下？
生3：在空间中，平行于同一直线的两直线相互平行。
师：回答的非常好，语言精练！这是数学美的一种体现。
师：我们再看平面几何中的一个事实：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么关系？
（学生开始议论纷纷，在纸上绘图，生4将图形绘制在黑板上。全班同学很快达成共识：相等或互补。）
师：这个平面几何事实在空间中还成立吗？请同学们先想，有了一定的想法后，再做模型演示。
（学生异常活跃，纷纷和周围的同学讨论，并摆放模型。教师巡视，进行指点，但是把握分寸，没有轻易公布结论。）
（很快，有两位同学找到了答案，教师请生5、生6向全班同学展示模型，同学们纷纷模仿。）
（此时，生6似乎依然有想法，教师请其发言。）
生6：我有一个想法（猜想），平面几何中的结论在空间中都应该成立！
（这种想法在其他同学中得到共鸣，大多数同学表示赞同，也有少部分同学表示怀疑。）
师：很好！这位同学提出了一个猜想，这个猜想是否正确？一会我们继续研究。下面，我们对异面直线再进行一些探讨。
师：（摆出两条异面直线，并不断改变倾斜程度。）看来，同样是一面直线，在位置上也有一些区别，怎么来描述这种差别呢？下面请一位同学来配合我。
（生7摆出两异面直线，教师直接给出两异面直线所成角的定义。）
师：为了度量这位同学所摆出的两异面直线的倾斜程度，我们引入两异面直线所成的角。
（叙述的同时摆出模型）在空间任意找一点 ，过此点分别作与两异面直线平行的直线，这样就将异面转化成相交（共面）直线。两相交直线构成四个角，我们取其中不大于 的角，称为两异面直线所成的角。
师：请同学们思考，度量结果与点 的位置有关吗？
（这是一个比较抽象的问题，需要在教师的引导下进行再认识。）
师：下面，我摆出两异面直线 ，请各位同学在自己的附近找一个点，然后经过此点分别做两直线与 ，观察这两相交直线所成的不大于 的角，假如能够度量大小，那么你的答案和其他同学的答案是否一样？
（学生们开始讨论，不断交流。）
生7：应该一样！
师：为什么？
生7：（摸了摸脑袋），不知道怎么说。
师：理论根据就在我们刚刚探讨完的内容中，再仔细想一想。
生8：噢，就是刚才我们得出的定理：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，因为我们只需要不大于 的角，所以同学们的答案应该是一样的。
师：其他同学同意这个解释吗？（从表情看，同意这种解释。）
师：这就是说，为了度量异面直线所成的角，空间的点 可以任意选取。但是我们经常选取一些比较特殊的点，比如选在其中一条直线上。（绘图示意）
师：下面，我们来解决刚才那位同学提出的猜想：平面几何中的结论在空间中都应该成立！先请同学们思考。
（学生开始热烈讨论，教师巡视，并进行指点。）
生9：老师，我想到在平面几何中的一个结论，就是两条直线均都垂直于第三条直线，那么这两直线相互平行。
师：那么这个结论在空间中是否成立呢？
（学生开始思考，接着动手摆模型，发现依然成立！）
师：请大家用直观图来表示刚才发现的结论，再用数学符号表示出来。
（一位同学在黑板上绘出了直观图，并利用数学符号加以表示。）
师：看来，这个猜想是正确的！
（大部分学生表示赞同，有少部分同学持怀疑态度。）
师：请同学们再想想，平面几何中还有哪些结论？
生10：在平面几何中，如果两直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行。
师：好！那么请同学们研究，这个事实在空间中是否依然成立。
（学生进行紧张的思考，并进行探索，互相之间交流。）
（还是那位提出猜想的同学率先找到了答案。）
生6：我的猜想是错误的，如果两直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行。这个结论在空间中是不成立的。比如。。。。。。（摆出模型，发现有平行、相交、异面三种可能。）
（其他同学表示赞同。）
师：非常好！尽管猜想是错误的，但是这种思考问题的方式是科学的！也是我们努力学习的。通过类比平面几何知识，来猜测空间中的结论，再去操作确认，是学习立体几何的主要方法。
师：受时间限制，今天我们就探索到这里。（学生发出叹息声，看来已经沉醉在探索中了。）今天我们通过回忆平面几何的相关知识，来研究了空间中两直线的位置关系。同学们表现很好。希望在今后的学习中不断完善这种学习方式，谢谢大家，下课！