2023年必修三统计知识点.docx

第二章 记录
2.1.1简朴随机抽样
1．总体和样本
总体：在记录学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
个体：把每个研究对象叫做个体．
总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量。
2．简朴随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点：每个样本单位被抽中的也许性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简朴随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异限度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简朴随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用记录软件直接抽取。
在简朴随机抽样的样本容量设计中，重要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证限度。
4．抽签法:
（1）给调核对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实行抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：运用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参与某项活动。
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简朴随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。假如有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。由于它对抽样框的规定较低，实行也比较简朴。更为重要的是，假如有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特性或标志（性别、年龄等）划提成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简朴随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体提成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的重要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，重要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行互相比较。假如要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权解决，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

三种抽样方法的比较
类 别
共同点
各自特点
联 系
适 用
范 围
简 单
随 机
抽 样

（1）抽样过程中每个个体被抽到的也许性相等
（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个抽取

总体个数较少
将总体均提成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取
在起始部分
样时采用简
随机抽样
总体个数较多
系 统
抽 样
将总体提成几层，
分层进行抽取
分层抽样时采用简朴随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
分 层
抽 样
2.2.1 频率分布直方图与茎叶图
1、我们把样本抽取后，要对样本进行分析来研究总体的分布情况，对样本进行分析常采用两种
方式：⑴列频率分布表； ⑵频率分布直方图.
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。
画频率分布直方图一般环节为：
⑴求极差（即样本中的最大值与最小值的差）；
⑵决定组距与组数（）；
⑶将数据分组；
⑷列频率分布表.
（5）画频率分布直方图
根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：
⑴纵轴的意义：
⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.
频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图
2.茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表达十位数，即第一个有效数字，两边的数字表达个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子）
制作茎叶图的方法是：先将数据按大小进行排列，再将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.
注意：在制作茎叶图时，反复出现的数据要反复记录，不能漏掉，特别是“叶”部分；同一数据出现几次，就要在图中体现几次.
茎叶图的特性：
（１）用茎叶图表达数据有两个优点：一是从记录图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表达。
（２）茎叶图只便于表达两位有效数字的数据，并且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然可以记录，但是没有表达两个记录那么直观，清楚。
总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
4.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
制作频率分布表时，若容量是n， 可按公式将数据提成大约 K=1+lg n 段。（这类的经验公式只对分段起参考作用）
二、典例精析
例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)

(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的比例.。

2.3.1用样本的数字特性估计总体的数字特性
1、众数、中位数、平均数：
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据。
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
平均数：
2、．样本标准差：
3．方差

在刻画样本数据的分散限度上，方差和标准差是同样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
用样本的数字特性估计总体的数字特性分两类：
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
特点：（1）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
（2）标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。

4．用样本估计总体时，假如抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们的确反映了总体的信息。
4．（1）假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为本来的k倍
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念: 假如散点图中点的分布从整体看大体分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.

（1）回归直线方程 ：
,（*） ,
其中b是回归方程的斜率,a是截距.系数
4.求线性回归方程的环节：
(1)计算平均数；
(2)计算的积，求；
(3)计算；
(4)将结果代入公式,求b；
(5)用 ,求a；
(6)写出回归方程

2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；运用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）运用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的允许区间。
（3）运用回归方程进行记录控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现记录控制的目的。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最佳先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。