高代第一章习题选解.doc

第一章习题选解
8.证明：如果
则是的一个最大公因式.
证明：显然是的公因式，设是的任一公因式，那么

却是的一个最大公因式
9.证明：的首项系数为1).
证明:，
由上题结论即得结论
10.如果不全为零，证明:.
证明法1:当一个为零，或有一个是常数时，结论是显然的。
不妨假定，且经适当调整后有
均不可约，于是
，那么

证明法2设

11.证明:如果不全为零，且

那么.
证明：
12.证明:如果.
证明： 设
13.设且

求证:.
证明：用数学归纳法
先证的情况
即证
当时，显然成立
设当成立即
当时，
（12题结论）
同理可得
14.证明:如果，那么.
证明：先证
设
事实上，

，
得同理，由12题结论立得
。
20.证明：不能有重根.
证明：设，得
若是的重根，且（？）则也是的根，那么与矛盾.
21.如果是证明是

的一个重根.
证：，

说明是的公共根，即至少是的三重根，又是所以是

的一个重根.
22.证明：.
（略）
24.证明：.
证
？？？？？？？（反例？）
25.证明：如果，那么

证：设的两个共轭复根为，由于
，故存在使

那么

4