初一奥数培训教材(1—8讲).doc

第1讲 有理数的加减
【例1】 有理数加法计算：
（1）； （2）； （3）； （4）.

【例2】 有理数减法计算：
（1）； （2）； （3）； （4）

【例3】 有理数混合计算：
（1）； （2）.

【例4】 有理数混合计算：
（1）； （2）.

【例5】 在数的前面分别添上加“+”或“-”，使它们的和为1.你能想出多少种方法？（开放性题）

【例6】 一个水井，下面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却又下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，却又下滑了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口？

课后练习:
1、计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）
2、计算：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（3）； （6）.
3、计算：
（1） ； （2）；
（3）； （4）.
4、潜水艇原来在水下200米处，若它下潜50米，接着又上浮130米，问这里潜水艇在水下多少米处？

5、判断题：
（1）若两个数的和为负数，则这两个数都是负数. （ ）
（2）若两个数的差为正数，则这两个数都是正数. （ ）
（3）零减去一个有理数，差必为负数. （ ）
（4）如果两个数互为相反数，则它们的差为0. （ ）
6、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
7、请在数1，2，…，2006，2007前适当添加上“+”或“-”号，使它们的和的绝对值最小。

8、计算：
（1）； （2）；

（3）； （4）

第2讲 有理数的巧算
【例1】 计算：

【例2】 计算：.

【例3】 计算：.

【例4】 计算：

【例5】 计算：

【例6】 计算：.

【例7】 2002加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的。最后得到的数是多少？

课后练习:
1、计算：.
2、计算：.
3、计算：.
4、计算：.
5、计算：.
6、计算：.
7、计算： .
8、计算：.
9、计算：.
10、计算：.

第3讲 绝对值
知识纲要：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。即

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。显然，任何数的绝对值都是非负数，即。
化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件，确定绝对值符号内的正负（即）。如果已知条件没有给出其正负，应该分类讨论（即分别讨论的情形）。分类思想是数学中一种非常重要的思想。

【例1】 绝对值为10的整数有哪些？绝对值小于10的整数有哪些？绝对值小于10的整数共有多少个？它们的和为多少？

【例2】 若

【例3】 若

【例4】 设

【例5】 数在数轴上对应的点如图所示，试化简

【例6】 化简

【例7】 化简

【例8】 若

【例9】

【例10】 化简

课后练习：
1、判断下列各题是否正确。
（1）当。 （ ）
（2）若是有理数，则一定是正数。 （ ）
（3）当 （ ）
（4）若 （ ）
（5）若 （ ）
（6）一定是正数。 （ ）
2、若 3、若

4、绝对值小于100的整数有哪些？共多少个？它们的和是多少？

5、化简 6、已知 的值。

7、设和是有理数，若一定正确吗？如果正确，请你说明理由；如果不正确，请举出反例。

8、已知有理数的位置如下图所示，化简

9、已知

10、化简 11、设是有理数，求。

第4讲 一元一次方程
知识纲要：
代数方程在初中代数中占有很重要的地们，而一元一次方程是代数方程中最基础的部分，高次方程及方程组往往化为一元一次方程来求解。因此，掌握好这部分内容，有助于我们学习一些复杂的方程。
一元一次方程的标准形式是
（1）
方程（1）有唯一解 （2）
任何一个一元一次方程，通过变形，总可以化为的形式。

【例1】解方程

【例2】解方程

【例3】小张在解方程时，误将看作，得方程的解为，请求出常数的值和原方程的解。

【例4】解关于的方程

【例5】解关于的方程 【例6】解关于的方程

【例7】解关于的方程

【例8】已知关于的方程有无数多解，试求的值。

【例9】已知一元一次方程有两个不同的解，求证这个方程必有无数多个解。

课后练习：
1、解下列方程

2、解下列关于的方程

3、已知关于的方程有无数多个解，求和和值。

4、已知关于的方程无解，试求的值。

5、解下列关于的方程

6、已知方程有两个不同的解，试求的值。

7、若方程为一元一次方程，试求它的解。

第5讲 一次方程组
知识纲要：
一次方程组也称为线性方程组，它是解决许多实际问题的重要工具。解一次方程组的基本思想是“消元”。通过消元，把一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。常用的消元法有代入消元和加减消元法。

【例1】 解方程组 【例2】解方程组

【例3】 解方程组 【例4】 已知方程组
求

【例5】 解方程组 【例6】 解方程组

【例7】 已知关于的方程组 问为何值时，方程有无数多组解？为何值时，只有一组解？

【例8】 解方程组 【例9】 解方程组

课后练习：
解下列一元一次方程组
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

第6讲 一次方程组的应用
知识纲要：
一次方程组是解决许多问题的重要工具，被广泛应用于社会生活的各个领域。本讲应用它解决一些数学问题。

【例1】 设二元一次方程有公共解。求的值。

【例2】 代数式0、1、2时的值分别为-2、2、8.求,并求时，这个代数式的值。

【例3】 已知方程组

小明正确解得而小亮粗心，把给看错了，他解得 试求。

【例4】 若的值互为相反数，试求与的值。

【例5】 是关于的方程的一个解。试求的值。

【例6】 已知是同类项，求的值。

【例7】 已知的值。

【例8】一个自然数减去63后是一个平方数；加上26后，也是一个平方数。求这个自然数。

【例9】两个自然数的和与差相乘，积为84.求这两个自然数。

课后练习：
（1）已知代数式在时，值为3；时，值为9.试求的值。

（2）已知代数式在时，值为3；时，值为4.求时，这个代数式的值。

（3）若试求的值。

（4）若，试求的值。

（5）若与是同类项，求的值。

（6）已知方程小王正确解得。小李由于粗心，把看作6，解得。试求的值。

（7）已知关于的方程都是方程的解。求的值。

（8）若互为相反数，求的值。

（9）若两个自然数的和与差的积为71，求这两个数。

（10）求方程的正整数解。 （11）求方程的整数解。

（12）求方程的正整数解。

第7讲 列方程（组）解应用题
知识纲要：
应用题是中学的重要内容之一，有助于培养同学们理解问题、分析问题和解决问题的能力。解应用题的最主要的方法是列方程或方程组。
列方程（组）解应用题的一般步骤是：
（1）根据题意设未知数；
（2）列出一些有关的代数式；
（3）找出等量关系，列出方程（组）；
（4）解方程（组）；
（5）代入检验；
（6）写出答案。

【例1】 传说希腊数学家丢番图在墓碑上面刻着：“他的童年占去一生的，接着是少年时期，又过了的时光，他结婚了。5年以后，有了儿子。可是儿子命运不济，只活到父亲岁数的一半，就匆匆离去。4年后，他也因过分悲伤而离开了人世。”问丢番图活了多少岁？

【例2】 一个两位数，十位数字与个位数字的和是8.这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得的商是11，余数是5。求这个两位数。

【例3】 修一条公路，甲队单独修需10天完成，乙队单独修需要12天完成，丙队单独修需要15天完成。现在先由甲队修2.5天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务。求乙队在整个修路工程中工作了几天？

【例4】 三个阀门，同时开放，1小时可注满水池。只开放两个阀门，1.5小时可注满水池。只开放两个阀门，2小时可注满水池。
问：只开放两阀门，需多少时间才注满水池？

【例5】 某班学生到景点春游。队伍从学校出发，以每小时4千米的速度前进。走到1千米时，班长被派回学校取一件遗忘的东西他以每小时5千米的速度回校，取了东西后又以同样的速度追赶队伍，结果在距离景点1千米的地方追上了队伍。求学校到景点的路。

【例6】 从甲地到乙地的公路，只有上坡和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地到乙地需9小时。从乙地到甲地需要小时。问甲、乙两间的公路有多少千米？其中从甲地到乙地的上、下坡路各是多少千米？

【例7】 某农场有两片试验田。甲田的面积比总面积的一半少7公顷。乙田的面积比总面积的多32公顷。问甲田和乙田各多少公顷？

【例8】 甲、乙两书架各有若干本书。如果从乙书架拿5本书放到甲书架上，那么甲书架上的书就比乙书架上剩余的书多4倍。如果从甲书架拿5本书放到乙架上，那么甲书书架上剩余的书是乙书架上的书的3倍。问原来甲书架、乙书架各有书多少本？

【例9】 小虎问叔叔多少岁了。叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁。你到我这么大时，我就40岁了。”问小虎和叔叔今年各是多少岁？

【例10】 设有四个数，其中每三个数的和分别是17、21、25、30。

课后练习：
（1）一个两位数，个位数字比十位数字大5，而且这个两位数是它的数字和的3倍。求这个两位数。

（2）甲、乙两人骑自行车同时从A地到B地，甲的速度是15千米/时，乙的速度是10千米/时。如果甲比乙先到10分钟，问A和B相距多远？

（3）一项工程，甲单独做15天完工，乙单独做20天完工，丙单独做24天完工。现在先让甲、乙合做5天，剩下工程由丙一个人完成。丙需要多少天？

（4）含盐40%的盐水若干千克，加清水10千克后，含盐的浓度变为10%。问原来盐水多少千克？

（5）甲、乙两地相距60千米。一艘轮船往返于甲、乙两地之间，顺流时用4小时，逆流时用5小时.求这艘船在静水中的速度和流水的速度。

（6）一个两位数，如果除以个位数字，得商9余数为6；如果除以十位数字，得商11余数为1.求这个两位数。

（7）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件。3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？

（8）甲对乙说：“我像你现在这么大时，你的年龄是我现在年龄的一半；你像我现在这么大时，我们俩的年龄和是63岁。”问甲、乙两人今年各是多少岁？

（9）甲、乙两小组人数的和是28.如果甲组增加2人，乙组增加6人，那么甲组人数与乙组人数的比是2：1.求原来甲、乙两组的人数。

（10）某人骑自行车，开始以15千米/时的速度前进。在离目的地的距离比已经走过的距离少20千米时，改用10千米/时的速度前进。这样，全程的平均速度为12.5千米/时。问全程是多少千米？

（11）一个六位数的首位数字为1.如果把这个数字移到原来个位数字的右边，得到一个新的六位数，那么新得到的数是原数的3倍。求原来的六位数。