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第五讲：万有引力定律
一、知识要点：
1．开普勒行星运动定律
（1）开普勒第一定律：轨道定律
（2）开普勒第二定律：面积定律
（3）开普勒第三定律：周期定律
1．万有引力定律：
（1）内容：
（2）表达式： 卡文迪许
（3）适用条件：
2．万有引力定律的应用
（1）行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力
（2）重力加速度：
表面重力加速度：
轨道处加速度：
二、例题分析
1．定律的内容及适用条件
m
R
M
例1．如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力大小为F1，当从M中挖去一半径为r=R/2的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，求F1与F2的比值．设想把物体放到地球的中心，求此物体此时与地球间的万有引力．

2．重力加速度
例2．设地球表面的重力加速度为g，地球的直径是D，试求在地面上高为D点的重力加速度g′．

例3．某星球自转周期为T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W，在赤道上称得该物重W¢，求该星球的平均密度r．

例4、据报道,美国航空航天管理局计划在2008年10月发射“月球勘测轨道器” (LRO),LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次.若以T表示LRO在离月球表面高h处的轨道上做匀速圆周运动的周期,以R表示月球的半径,求：
(1)LRO运行时的向心加速度a;
(2)月球表面的重力加速度g

5.宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ B ）
A. B. C. D.
6．一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动：【　　】
A．根据公式F=mω2r可知，它的半径越大所需的向心力越大
B．根据公式F=mυ2/r可知，它所需的向心力跟半径成反比
C．根据公式F=GmM/r2可知，它所需的向心力跟半径的平方成反比
D．根据公式F=mωυ可知，它所需的向心力跟半径无关
7．关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是：【　　　】
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度
C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
8．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T0，地球表面重力加速度为g0，人造地球通讯卫星高度为h，万有引力恒量为G，则在地球表面附近运行，高度不计的人造卫星的周期为：
A．T0 B． C． D．【　　　】
9．设地球半径为R0，质量为ｍ的卫星在距地面R0处作匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则：【　　　】
A．卫星的速度为/2 B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为g/2 D．卫星的周期为2π

双星问题：
10．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．

11．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

12．从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度大小之比．

13．在火箭发射卫星的开始阶段，火箭与卫星竖直上升的运动可视为匀加速直线运动，加速度大小为a=5m/s2 ,封闭仓内，弹簧秤上挂着一个质量m=9kg的物体，在卫星加速阶段上升到某一高度时，弹簧秤示数为85N，此时卫星离地面有多高？（地球半径为6400km,g=10m/s2）

14．宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V。已知该星球的半径为R，引力常量为G ，求该星球的质量M。

15．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）该星球的第一宇宙速度v；
（4）人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．

16．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R (R为地球半径)，卫星的运动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g。
（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。

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