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例析圆中常见辅助线的作法

一、作弦心距
例1. （2002年徐州市中考题）如图1，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的取值范围是（ ）

图1
A. B.
C. D.
解：过O点作OC⊥AB于C，则。联结OA，则，在Rt△AOC中，，因为M是弦AB上的动点，所以，即，故选A。
评注：如果题中含有圆心和弦，一般过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一性质证题。

二、作直径上的圆周角
例2. （2002年北京市崇文区中考题）如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=29°，则∠ADC=（ ）

图2
A. 109° B. 119° C. 120° D. 129°
解：联结AC，则∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∵PC切半圆O于C，
∴∠CAB=∠PCB=29°
∴∠ABC=61°
又∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠ADC=180°－61°=119°，故选B。
评注：如果题中含有直径这一条件，一般作直径上的圆周角，利用直径上的圆周角是直角这一性质证题。

三、作公共弦
例3. （1999年贵阳市中考题）如图3，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，经过点A的直线分别交两圆于点C、D，经过点B的直线分别交两圆于点E、F，且EF∥CD。求证CE=DF。

图3
证明：方法一：联结AB。
∵CD∥EF，

∴CE=AB
同理AB=DF
∴CE=DF
方法二：联结AB，
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，
∴∠BAD=∠E
又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD+∠F=180°，
∴∠E+∠F=180°
∴CE∥DF
又∵EF∥CD，
∴四边形CEFD是平行四边形
∴CE=DF
评注：如果题中有两圆相交这一条件，一般作两圆的公共弦，通过公共弦将两圆的弦连上关系，也可将两圆的角连上关系。

四、过切点作半径
例4. （2002年荆州市中考题）如图4，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD，求证：AB=AE。

图4
证明：联结OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD
又∵AD⊥PD
∴OC∥AD
∵O是AB的中点，
∴，
∴AB=AE
评注：如果题中有直线与圆相切这一条件，一般将圆心与切点联结起来，利用切线垂直于过切点的半径这一性质证题。

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