Maple微积分.doc

微積分．基礎篇 – 使用 Maple V 9-97
9
積分技巧

积
分方法基本上可概分为分部积分法与代换积分法两种。分部积分法将于9.2节里介绍，而简单的代换积分法已于5.3节探讨过。于本章里首先将就基本的积分公式与代换积分法做一个简单的复习，同时也介绍了Maple的几个基本的积分指令，来为本章的学习暖个身。

9.1 基本积分公式与代换积分法的复习 9-2
9.2 分部积分法 9-9
9.3 三角函数的乘幂积分 9-22
9.4 三角代换积分法 9-34
9.5 含二次项的积分 9-42
9.6 有理函数的积分法 9-46
9.7 技巧性的代换积分法 9-56
9.8 数值积分 9-62
9.1基本积分公式与代换积分法的复习
代换积分法(method of substitution)系利用变量变换，将较不易积分的数学式代换成较易积分的式子。通常代换积分法必须利用一些现成的积分公式或积分表来完成，以下列出了常用的积分公式：
乘幂与指数
1. 2.
3. 4.
三角函数
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
基本的代数函数
13. 14.
15.
【例题9.1.1】 试求
【解】 设，则，因此
(1)
(利用积分公式14) (2)
(3)
Maple的student链接库里所提供的changevar指令可以用来做变量变换积分，下列的步骤模拟了本例题中，整个手算的过程。

载入sutdent链接库。

> with(student):

定义变量expr为积分式。
> expr:=Int(exp(x)/(16+9*
> exp(2*x)),x);

设来做变数变换，可得右式。

> changevar(u=3*exp(x),expr,u);

化简上式，可将常数因子提出。读者可注意到右式的结果与(1)式相同。

> simplify(%);

利用value指令，可求得积分式的值。注意右式的结果与(2)式相同。

> value(%);

将代入上式，可得积分的结果，此结果与(3)式相同。

> subs(u=3*exp(x),%);

以value指令可直接求得expr的积分值，其结果与上式相同，故验证了变量变换积分法的正确性。

> expr=value(expr);

【例题9.1.2】 试求
【解】 设，则，因此

读者也可以模仿例题8.1.1的步骤，用Maple来一步步的解出的积分值。有趣的是，本题系以来做代换，若以来做代换，结果是否一样会变成更容易积分的数学式? Maple的changevar运算可以很容易的回答这个问题。

定义expr=。
> expr:=Int(tan(x),x);

设来做变数变换，可得右式。因容易积分，故对手算而言，为一适当的代换式。

> changevar(u=cos(x),expr,u);

如果设来做变数变换，得到右式。因用纸笔并不好积分，故于此例中，并不是一个适当的代换式。

> changevar(u=sin(x),expr,u);

虽然并不易用纸笔来积分，但对Maple而言就没有这个差别了！这个积分依然可用Maple来计算：

计算，可得右式。

> value(%);

将代回上式，得到右式。

> subs(u=sin(x),%);

simplify指令并不能将再上式化简。
> simplify(%);

事实上，因Maple均假设ln函数之内的自变量为正，因此，若以来做代换， 的积分值为
(1)
虽然(1)式与代换所积得的结果

并不相同，但还是可以利用代数来证明下面的恒等式(见本节习题)：

【例题9.1.3】 试求
【解】 的积分也可用代换积分法来完成，但须要用到一点小技巧：
(1)
令，则，因此由(1)式可得

(2)
相同的，现尝试以Maple来重复计算：

定义expr=。
> expr:=Int(sec(x),x);

value指令可求得的值，此值与(2)式相同。

> value(%);

令，则积分式可改写成右式，但Maple并不会自动化简它。

> changevar(u=sec(x)+tan(x),expr,u);

利用simplify指令则可化简上式为。

> simplify(%);

最后，将代回上式，即可求得积分值。

> subs(u=sec(x)+tan(x),value(%));

由例题9.1.2与9.1.3可得推导出下列四个重要的积分公式，其中我们把(9.1.2)与(9.1.4)式的推导留做习题。
(9.1.1) (9.1.2)
(9.1.3) (9.1.4)
Maple的积分常数与积分式里的绝对值
大部份的符号运算系统如Maple、Mathematica与Maysma等，其积分运算通常不会自动加上积分常数，且假设所积出的ln函数里的自变量均为正值，故舍去了绝对值符号。
缺了积分常数并不会造成太大的困扰，需要时再加上去就好了，但是要如何把绝对值符号加到ln函数里呢?其做法很简单，把ln函数用合成函数来取代就可以了。

合成函数(ln@abs)(x)的表示方相当于ln(abs(x))。
> (ln@abs)(x);

，注意其结果并没有加上积分常数，且ln函数内也没有加上绝对值符号。

> e1:=Int(cot(x)+tan(x),x):%=value(%);

将ln代换成ln@abs即可在ln函数内加上绝对值。
> subs(ln=ln@abs,%);

如不习惯ln@abs的表示方式，用simplify指令也可以将它表示成标准的数学式。

> simplify(%);

习 题 9.1
于习题1~12中，试计算积分。
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. (1) 试证。
(2) 试利用(a)的结果来计算。
14. (1) 试证明 。
(2) 试证明 。
15. 试导出
16. 试导出
9.2 分部积分法
分部积分法(integration by parts)系利用双重代换，把不易积分的数学式改写成较易积分的型式。分部积分法之公式可以由函数乘积的微分来导出，设，，则由定理3.2.5可知
(9.2.1)
两边对x积分，可得
(9.2.2)
重新整理上式，可得不定积分之分部积分法的公式
(9.2.3)
而定积分的分部积分法之公式则可以写成
(9.2.4)
9.2.1 简单的分部积分法与Maple的intparts指令
本节选择了几个典型的例题来介绍分部积分法的运用，以及Maple用来计算分部积分法的intparts指令，这些例题只需使用一次的分部积分法即可求得积分式。
【例题9.2.1】 计算
【解】 参考(9.2.3)式，首先把改写成的型式，其中一个可能是令， 所以， (在计算时可省略积分时所产生的积分常数)因此 (1)

于是可藉由分部积分法来求得。有趣的是，如果选择另一种代换：， ， 由分部积分法可得
(2)
这个式子虽然完全正确，但却比原来的积分式更为复杂而不易积分。因此分部积分法成败的关键在于巧妙的选择与。
【例题9.2.2】 计算
【解】 利用代换式，选择
，
因此
，
所以，由(9.2.4)式可得
(1)

v

为了方便计算与分析分部积分的用法，student链接库的intparts指令可以用来一步步的推算函数的分部积分。

intparts(Int(u*dv,x),u)
指定u，利用分部积分法积分 并回应
分部积分指令
载入student链接库。

> with(student):

这是例题9.2.1的积分式。
> expr:=Int(x*exp(x),x);

设定，并以分部积分法求积分值，得到。因可积分得，故此积分式可轻易求出。注意右边的结果即为例题9.2.1中的(1)式。

> intparts(expr,x);

用value指令即可求得积分值。
> value(%);

直接用int指令也可以得到相同的答案。
> int(x*exp(x),x);

如果设，则由分部积分法可得。因为并不容易用纸笔来计算积分，所以对手算而言，选取并不是一个好的选择。

> intparts(expr,exp(x));

然而对Maple而言就没差了！value指令还是可以求得此一积分值。

> value(%);

于Maple里，分部积分的定积分求法与不定积分之解法相同，下面的计算是以例题9.2.2为范例来求定积分：

这是例题9.2.2的定积分式。
> expr:=Int(ln(x),x=1..2);

令，intparts可积得右式。注意右式与例题9.2.2的(1)式相同。

> intparts(expr,ln(x));

最后，以value指令即可求得积分式的解。

> expr:%=value(%);

9.2.2重复使用分部积分法
某些积分式可能须要用到两次或两次以上的分部积分法，才能求得积分结果，本节将探讨这方面的积分式。

【例题9.2.3】 计算
【解】 首先令
，
，
因此，
(1)
于上式中，积分式尚未求出，因此必须再用一次分部积分法。再令
，
，
因此
(2)
将(2)的积分结果代回(1)式，可得
(3)
本例也可用Maple的intparts指令来模仿上面的求解步骤：

这是积分式。
> expr:=Int(ln(x)^2,x);

令，分部积分法可求得。
注意此式与(1)式相同。
> e1:=intparts(expr,ln(x)^2);

op(2,e1)可取得e1里的第二项，即。
> op(2,e1);

令，对积分式再做一次分部积分，可得。

> op(2,e1)=intparts(op(2,e1),ln(x));

将上面的结果代入e1，即可得的结果。

> subs(%,e1);

最后以value指令解出，可得本题的积分结果。注意此式与(3)式相同。

> expr=value(%);

v

【例题9.2.4】 计算
【解】 设
，
，
因此
(1)
于(1)式中，的积分结果还保留了一个积分式。现在再尝试对此式再做一次分部积分。再令
，
，
所以
(2)
将(2)式代入(1)式，可得
(3)
于(3)式中，等号两边均有，这也是本题中所欲求的积分式。把此项移到等号右边，经化简后，可得

因此
(4)

相同的，Maple也可以用来推导积分式：

定义积分式。

> expr1:=Int(exp(x)*sin(x),x);

令，intparts积出右式，即本例题中的(1)式。

> e1:=expr1=simplify(intparts(
> expr1,exp(x)));

利用op([2,2],e1)将取出，并设它为expr2。

> expr2:=op([2,2],e1);

再次的利用intparts指令来积分，所得的结果即为本例题中的(2)式。

> e2:=expr2=intparts(expr2,exp(x));

将e2的方程式代入e1，即得本例中的(3)式。

> subs(e2,e1);

最后，将移到等号左边，即可解得本题的解。注意右式与本例中的(4)式相同。

> isolate(%,expr1);

v

利用分部积分法，有时可把次方较高的被积分式化简成较低次方的被积分式，例如，
(9.2.5)
其中。诸如(9.2.5)的积分式称为约化公式(reduction formula)，约化公式基本上是一个迭代的观念，亦即
，
，

如此一直迭代，直到被完全积分为止。

【例题9.2.5】 试导出的约化公式。
【解】 令，，则
，
所以

因此，的约化公式为
(1)
于是可以简单的由约化公式来算出，例如，
() (2)
() (3)
() (4)
当然，用Maple也可以很容易的来验证这个结果：

这是本例中的(3)式。
> Int(ln(x)^3,x):%=value(%);

这是本例中的(4)式。
> Int(ln(x)^3,x):%=value(%);

目前的数学运算软件，如Maple、Mathematica等多半不能计算约化公式，如果于Maple里想用int指令来求得约化公式，那么您可能要失望了：

计算，但Maple并不会求出如(1)式之类的约化公式。

> Int(ln(x)^n,x):%=value(%);

虽然如此，还是可以利用Maple的符号运算功能，一步步求出的约化公式：

定义。
> expr:=Int(ln(x)^n,x);

value指令并无法求出的积分值。

> value(expr);

利用intpart指令，设做分部积分，即可求得的约化公式，即本例中的(1)式。
> expr=simplify(intparts(expr,
> ln(x)^n));

v

尝试着以Maple来一步步的推导约化公式也是挺有趣的！于前几例中，都仅以Maple做基本的数学运算，因此，每一步骤相连的环节必须相当的清楚，且观念要清析，否则还不容易导出所要的数学式呢！下一个例题将以Maple来导出的约化公式。

【例题9.2.6】 试以Maple导出 。
【解】 本题将仿照例题9.2.5的计算步骤来导出的约化公式。

定义。
> expr:=Int(sin(x)^n,x);

value指令并无法求出的积分值。现尝试以分部积分法解之。
> value(expr);

令，intpart指令可解得右式。
> expr=simplify(intparts(expr,
> sin(x)^(n-1)));

于上式中，intparts解得
(1)
(1)式中，等号右边的积分式含有项，利用恒等式

可将(1)式中所有的项置换成以利积分：

将项代换成，再将整个式子用expand指令展开，可得右式。

> expand(subs(cos(x)^2=1-
> sin(x)^2,%));

把看成是一个变量，用isolate指令来解出上式中的，可得右式。
> isolate(%,expr);

以expand指令展上式，得到右边的结果。注意于上式中，可将提出来化简数学式。
> expand(%);

最后，以collect指令提出即可求得的约化公式。
> collect(%,Int(sin(x)^n/(sin(x)^2),
> x));

v

本节最后再举一个例子来说明intparts指令的应用。假设欲求积分式 ：

利用intparts来求解积分式
。
> Int(cos(x)^3,x):%=intparts(I1,
> cos(x)^2);

因为=，因此将上式的代换成，再将积分式展开。

> lhs(%)=expand(subs(sin(x)^2=
> 1-cos(x)^2,rhs(%)));

于上式中，等号的左右两边都有(这也就是本题所要求的积分式)。将它移到等式左边，即可解得此一积分。

> isolate(%,Int(cos(x)^3,x));

于上式中，仅剩未求值。利用value指令即可求得其积分值，因此也可解出。

> lhs(%)=value(rhs(%));

最后，以int指令直接求解来验证所求解积分的步骤是否正确。读者可以比较一下右式的结果与上式的结果完全相同。

> Int(cos(x)^3,x):%=value(%);

习 题 9.2

于习题1~12中，计算各积分式。
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
于习题13~17中，利用分部积分法导出各约化公式。
13.
14.
15.
16.
17.
18. (1) 试利用分部积分法来导出公式 。
(2) 设，试利用(1) 的结果来计算
(3) 试以Maple来验证(1)与(2)所求得的结果。

9.3 三角函数的乘幂积分
本节主要讨论一些由三角函数所组成的函数之积分技巧，其中所要探讨的积分类型包括了下列四种类型：
(1) ，，，
(2)
(3) ，
(4) ，，
通常这几个类型的积分常会用到下列各恒等式：
基本恒等式：
(9.3.1)
(9.3.2)
(9.3.3)
半角恒等式：
(9.3.4)
(9.3.5)
如果您对这些恒等式的推导尚不熟悉，建议您参考本书的附录E来复习一下基本的三角函数，并试着推导出这些重要的恒等式。

9.3.1第一类型 (，，，)
第一类型积分式中的n为正数。基本上，这一类型的积分可以简单的由9.2节所介绍的约化公式导出，而另一个方法则是利用三角恒等式，把积分式拆解成更易积分的式子。

【例题9.3.1】 求
【解】
( 利用恒等式 ) (1)
令，则，所以
(2)
(3)
(4)
接下来，再以Maple模拟上面的步骤来求解：

载入student链接库。
> with(student):

定义。
> expr:=Int(sin(x)^3,x);

利用恒等式，algsubs指令可以把项分解成。注意右式与本例中的(1)式相同。读者应查看一下附录，看看algsubs指令与subs指令的不同之处。

> algsubs(sin(x)^2=1-cos(x)^2,expr);

以来做变数变换积分，可得右式。右式的结果与(2)式相同。

> changevar(u=cos(x),%,u);

求出上式的积分式，即可得本例中的(3)式。
> value(%);

最后，将代回上式，即可求得本题的解，即(4)式。
> subs(u=cos(x),%);

若以value直接求，可得右式。虽然右式与上式看起来并不相同，但仍可尝试着化简它使得二者的结果相同。

> value(expr);

以simplify指令化简，则可得到相同的结果。
> simplify(%);

v

【例题9.3.2】 求
【解】
( 利用恒等式 ) (1)
(2)
令，则，所以
(3)
(4)
因此

(5)

现在再尝试以Maple的符号运算功能，重新求解：

载入student链接库。
> with(student):

定义。
> expr:=Int(tan(x)^5,x);

利用恒等式，algsubs指令可以把改写成。注意右式与本例中的(1)式相同。

> algsubs(tan(x)^2=sec(x)^2-1,expr);

将上式展开，可得(2)式。于右式中，把展开的结果设给变量expr2。
> expr2:=expand(%);

op(1,expr2)可以取出expr2里的第1项。
> op(1,expr2);

利用做变数变换，则可把expr2的第一项改写成右式。
> e1:=changevar(u=sec(x),
> op(1,expr2),u);

相同的，利用做变数变换，也可把expr2的第二项改写成右式。
> e2:=changevar(u=sec(x),
> op(2,expr2),u);

这是expr2的第三项。
> e3:=op(3,expr2);

于是，整个积分式可改写成右式。于右式中，每一个积分均可由最基本的积分公式来求得。
> e1+e2+e3;

用value指令可把上式中的积分值求出。
> value(%);

最后，把代回上式，即可求得本题的积分值。注意右式与(5)式的结果相同。稍后将会用到这个积分结果，故于右式中，把它设给变数ans。
> ans:=subs(u=sec(x),%);

有趣的是，如果直接计算，Maple会输出不同的答案：

用value计算，得到右式，但这个结果与ans并不相同。

> sol:=value(expr);

尝试着把这两个结果相减再化简，其结果为一x的函数。

> simplify(ans-sol);

如果积分值ans与sol相等，则
(6)
应为常数，但(6)式并不是！为何Maple会积出不同的答案?想看看，为什么？
v

9.3.2第二类型 ()
此类型的积分与m和n为奇数或偶数有关。其代换的规则简述如下：

若m为奇数，则令做代换。
若n为奇数，则令做代换。
若m与n皆为偶数，则可利用半角恒等式(请参阅附录E)与来化简为sin与cos的乘幂。

【例题9.3.3】 求
【解】因 m为奇数，所以设 ，则

读者可尝试看看，是否能用Maple导出与本例相同的结果。 v

【例题9.3.4】 求
【解】 因 m与n皆为偶数，故可利用半角恒等式来化简sin与cos的乘幂。

(1)

(2)
(3)

接下来，再令， ，因此可积分得

所以
(4)

Maple的推导过程与上面的步骤大致相同，但需要用到一些小技巧：

载入student链接库。
> with(student):

定义。
> expr:=Int(sin(x)^4*cos(x)^2,x);

设定变量rule1为半角公式。

> rule1:=sin(x)^2=(1-cos(2*x))/2;

设定变量rule2为半角公式。
> rule2:=cos(x)^2=(1+cos(2*x))/2;

将rule1代入expr，可得右式。
> algsubs(rule1,expr);

再将rule2代入上式，得到右式。
> algsubs(rule2,%);

取出上式里的被积分式，再将它展开，可得右式，而此式即为(2)式的被积分式。

> expand(integrand(%),cos(2*x));

注意于上式中，expand指令有两个自变量，第一个自变量为欲展开的数学式，而第二个自变量则告诉expand指令把当成单一变数展开，否则也会一起被展开成。

再利用一次半角公式，把上式展开成右式。
> subs(cos(2*x)^2=(1+cos(4*x))/2,%);

于上式中，可以用恒等式来拆解，将上式改写成右式。
> expr2:=algsubs(cos(2*x)^2=
> 1-sin(2*x)^2,%);

把积分指令Int映像(用map指令)到上式的每一项内，得到右式。注意上式与(3)式相同。

> map(Int,expr2,x);

上式的第一个积分式可简单的用变量变换来积分，而第二与第三个积分式均是最基本的积分式，因可确定此积分式可以很容易的积出：

最后，用value指令可解得本题的积分值。注意此积分结果与(4)式相同。

> ans:=value(%);

如果直接以Maple求解，则得到与上式不同的答案。事实上，若把此式化简，或者是用expand指令把上式展开，均可得到相同的结果。
> value(expr);

v

9.3.3第三类型 (，)
此类型的积分与第二类型的代换法颇为相似，以积分式而言，其代换法亦与m、n为奇数或偶数有关。其代换的规则如下：

若m为奇数，则令做代换。
若n为偶数，则令做代换。
若m为偶数且n为奇数，则可将积分式改写成的乘幂。

【例题9.3.5】 求
【解】因 n为偶数，故设 ，则，所以
(1)
(2)

(3)

下列的Maple运算系模仿上面的步骤来求解本题的积分。

载入student链接库。
> with(student):

定义。
> expr:=Int(tan(x)^4*sec(x)^4,x);

把技巧性的改写成，并以此式来做代换，可得与(1)式相同的结果。

> subs(sec(x)^4=(1+tan(x)^2)*
> sec(x)^2,expr);

用integrand取出被积分式。
> integrand(%);

将被积分式展开。
> expand(%);

重新定义积分式。
> expr2:=Int(%,x);

现在，用expand指令将积分式展开，可得与(2)式相同的式子。

> expand(expr2);

利用做变数变换，可得右式。
> changevar(u=tan(x),%,u);

这是上式的积分值。

> value(%);

最后，把代回上式，即可得本题的积分值，即(3)式。

> ans:=subs(u=tan(x),%);

如果直接以Maple来求解积分式，却得到与上式不同的答案。
> sol:=value(expr);

事实上，若把上式的结果(sol)与一步步推导所得的结果(ans)相减，然后再以simplify指令化简，其结果为零，故可知这两个结果是相等的，其间的差异仅是数学表示式的写法不同罢了。
> simplify(ans-sol);

v

【例题9.3.6】 求
【解】 因 且，故我们依循本类型的第三个法则，亦即将积分式化成csc的乘幂。

由csc的约化公式可知 (见9.2节习题)

所以

因此

v

9.3.4第四类型 (，，)
这类型的积分常见于工程数学的计算，如电流交替的方析、傅利叶级数之计算等等。要计算此类型的积分，必须用到一些积化和差的公式，亦即
(9.3.6)
(9.3.7)
(9.3.8)

【例题9.3.7】 求
【解】 ( 利用恒等式 (9.3.6) )

v

习 题 9.3

于习题1~9中，计算各积分式。
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
10. 若m与n为正整数，试证

11. 若m与n为正整数，试证

9.4. 三角代换积分法
若积分式含有
、与
等型式的数学式，其中，则可以巧妙的利用三角代换法来消去根号，把积分式化成较容易积分的式子。例如，若积分式含有项，令
，
则可改写成

(因于区间内，)
如此便可去掉根号，而区间的限定则可去掉绝对值符号。与也可依据相同的原里，下表为这几种代换法的整理。

根式
代换法
代换后之化简
几何图形说明

，

，

，

表9.4.1 三角代换法

【例题9.4.1】 试求
【解】 令，来做代换，则 ，且，因此
(1)

(2)
圖9.4.1
因 ，所以可由图9.4.1得到

事实上，上面与的关系式亦可由图9.4.1看出。将与代入(2)式，即可求得
(3)
接下来，再尝试以Maple来一步步的求积分式：

载入student链接库。

> with(student):

这是积分式。

> expr:=Int(sqrt(4-x^2),x);

令，把代换成右式。
> changevar(x=2*sin(t),expr,t);

利用恒等式，可把上式改写成右式。
> a1:=algsubs(sin(t)^2+cos(t)^2=1,%);

注意于上式中含有项，因为限定了，所以，故可化简为。因此积分式可改写为
(4)
现尝试以simplify指令来化简之：

用simplify来化简积分式，但所得到结果的并不是所想要的式子。
> simplify(a1);

因simplify并不知道使用者已限定了条件，因此它把化简成

其中csgn为Maple的内建函数，其定义为

因于区间内之，故，所以

此式与(4)的结果相同。事实上，有一个更简单的方法来处理的化简问题。若希望把数学式化简成x，而不管x的正负时，则可以在simplify指令加入第二个自变量—symbolic。亦即
simplify(sqrt(x^2),symbolic)
可以把化简成x。

用simplify加入symbolic自变量来化简积分式a1，可得右式。读者可以注意到右式与(4)式相同。
> simplify(a1,symbolic);

9.2 节已介绍过的积分，右式中直接以value指令来积出其值，而其结果即为本例中的(2)式。

> val:=value(%);

解出。

> solve({x=2*sin(t)},t);

将代入积分结果val，可得右式。

> expr=subs(t=arcsin(1/2*x),val);

最后，将上式化简，即可得到与(3)式相同的结果。
> simplify(%);

v

【例题9.4.2】 试求
【解】 若令，，则 ，并且
圖9.4.2
，

因此

(1)

(2)
由图9.4.2中可知
，
所以
(3)

用Maple也可以一步步的求解本例的积分式：

载入student链接库。

> with(student):

定义。
> expr:=Int(1/(x*sqrt(5+x^2)),x);

令，把积分式expr代换成右式。
> changevar(x=sqrt(5)*tan(t),expr,t);

利用恒等式，可把上式改写成右式。
> algsubs(tan(t)^2+1=sec(t)^2,%);

与例题9.4.1相同的方法，用simplify加入symbolic自变量来化简积分式，可得右式。读者可以注意到右式与(1)式相同。
> simplify(%,symbolic);

因，其积分已于9.1节探讨过，故直接以value指令来求解其积分值，并把其结果设给变量a1。

> a1:=value(%);

solve解出。

> solve({x=sqrt(5)*tan(t)},t);

最后，将代回a1，并化简之，即可求得本题的解。

> simplify(subs(%,a1));

虽然以Maple推导的结果与(3)式看起来并不相同，但利用简单的代数运算便可把(3)式化简成与上式相同的式子：

假设，由(3)式可得
( 去掉绝对值符号 )
( 分子与分母同乘 )
( )
( )

如此便可验证Maple的推导过程是正确的。最后，再利用value指令直接计算积分式：

value指令直接计算积分式，但结果与(3)式并不相同。
> value(expr);

虽然上式的计算结果与(3)式并不相同，但并不难证明它们是相等的。在此把这个证明留做习题。
v
【例题9.4.3】 试求
【解】 令代换式，，则 ，并且
圖9.4.