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第六章 系统决策技术

决策是人们在工作和生活中普遍存在的一种活动。人们为了解决面临的问题，从可供选择的若干方案中选择一种最佳方案时，就要通过判断，作出决定，这就是决策。长期以来，决策者主要凭个人的经验、知识和才能进行决策。但是，随着科学技术的不断进步，社会、经济的日益发展，知识和信息量的急剧增长，各种决策问题越来越复杂，而个人的学识和经验总是有限的，所以，在各种复杂的决策问题面前仅仅靠个人的经验和智慧，常常难以作出正确的决策，甚至会出现失误。而决策的失误往往会带来严重后果，小则影响预期目的的实现，一个企业的失败，大则会给国家的政治、经济造成巨大的损失。
随着控制论、运筹学、概率论、数理统计和电子计算机等的发展，逐步形成了决策理论，使决策建立在科学的基础上，成为管理科学的一个重要组成部分。
从系统工程的观点来看，所谓决策是指从系统整体出发，为了实现特定的目标，在占有一定的信息和经验的基础上，借助一定的理论、方法和工具，对几个可供选择的方案，进行科学分析和正确的计算与判断，确定指导未来行动的方案、方针和策略。
决策理论的科学性在于决定行动之前，事先进行科学的分析，预计未来行动的后果，并对发展中可能出现的各种变化作出科学的分析，提出应付各种不同情况的策略。
政治中的外交谈判、战争中的战略选择、经济中的贸易谈判和价格竞争、生活中的各种游戏和比赛都是属于带竞争性质的现象，竞争各方为战胜对方而作出对付对方的决策，这种特殊类型的决策称为对策。研究对策现象的数学理论称为对策论。

第一节 决策分析概述

一、决策过程

决策分析包括提出问题、确定目标、搜集资料、建立决策模型、提出各种供选择的方案、确定评价各种方案的准则和尺度、综合分析、选择方案、制定行动计划等过程。
为了进行决策，首先提出所要决策的问题。在政府工作中有许多重大问题需要进行决策，如生产布局、部门结构调整等；对一个企业来讲，必须考虑生产产品的品种、产量等问题。工业产品的生产，不仅受经济规律的支配，而且受国际、国内形势的影响。农产品的生产还受自然气候等环境的影响。在不同的自然状态下，对种植的农作物、采取的农业技术措施以及经营策略的选择都可应用决策分析的方法进行决策。
信息是决策的基础，在进行决策时必须掌握与决策有关的信息，掌握的信息越准确、越完全，则所决策的可信度就越高。不仅要重视搜集、整理和分析历史资料和试验数据，对现实情况进行调查研究和统计分析，而且要研究发展动向，通过科学的预测，获得决策所需的未来的信息。敏锐地发现问题，及时获得有用的信息，对于决策分析来讲是非常重要的。
提出问题之后，就要确定所要达到的目标，建立决策模型，提出各种可供选择的方案，并确定评价各种方案的准则和尺度。
决策模型定量地表达了系统对象各个部分之间的相互关系和系统在一定条件下运动的变化规律，因而能明确地表示决策问题的内容。按照模型的表现型式，决策模型可分为数学模型、决策树、决策表等。
建立模型以后，即可根据决策准则和运用决策规则，从各种可行方案中选择最满意的方案。在选择方案时需要进行综合分析。既要进行定量分析，也要进行定性分析。在分析时尽可能采用科学的方法，经过综合分析，最后作出最好的决策，并制定行动计划。
在决策过程中，随着对所要决策的问题的认识逐步深入和不断提高，这就需要对方案进行修改，使所选方案更加完善。即使在方案实施的过程中，还可能发现原来的方案有错误或者不够完善，或者由于主观和客观情况发生变化而影响实现原定的目标。这时还要针对存在的问题，采取补救措施，进行追踪决策，使修正后的决策方案更加完善和有效。
上述过程在决策理论中称为动态决策过程。

二、决策要素

先看下面的例子。
例6-1 一个啤酒厂生产甲牌啤酒，每箱成本16元，售价30元。已知市场对甲牌啤酒的需要量是每天1000箱，问该厂应当如何安排生产才能获利最大？
如果把上述问题变成这种情况：生产甲、乙两种品牌的啤酒，每箱成本各是15元、18元，售价分别为30元/箱和32元/箱，市场对甲牌啤酒的需求量为天凉时1000箱/日，天热时1800箱/日，对乙牌啤酒的需求量为天凉时1500箱/日，天热时2700箱/日。天凉出现的概率是0.3，天热出现的概率是0.7。问如何安排生产获利最大？
分析 对于前一个问题的决策很简单，因为只有一种产品，一个确定的需求量，所以每天安排1000箱的生产量最好，没有脱销也没有库存。
后一个问题则复杂得多。
为了解决复杂问题的决策问题，必须应用科学的决策理论，下面首先介绍决策过程所涉及到的决策要素。
一个单一目标的决策问题，可以采用决策表来表示，其典型形式见表6-1。表中包括供选择的方案、自然状态、自然状态的概率和益损值四项要素。

表6-1 决策表的一般结构
供选择的方案
自然状态

…

自然状态概率

…

…

…

…
…
…
…
…

…

（1）供选择的方案（行动方案，策略）
、、…、为供决策者选择的方案，它是决策者可以控制的因素，是根据可能的条件制定的几个供决策者选用的方案，如上例提出的是安排甲牌的，还是安排乙牌的？其中是供选择的方案数。
（2）自然状态
、、…、为自然状态，它们是不可控变量，其中是自然状态数。在同一时期内只能出现一种自然状态。自然状态可以是经济状况、天气情况或决策者不能控制的其它环境条件，如上例中的天凉、天热。
（3）自然状态的概率
、、…、为自然状态的概率，它们与自然状态、、…、相对应，也是不可控变量。各自然状态的概率之和一定等于1，即

或
（0≤≤1）
自然状态的出现，可分为客观概率和主观概率两种。所谓客观概率是指某一事件在一系列试验中出现的相对频率。客观概率也可以从历史资料或统计资料中获得，但必须指出：
（1）客观概率是建立在对过去事件的观察或进行试验的基础上的，或二者皆有之。因此，在利用客观概率进行决策时，必须假定将来的事件将在与过去相似的条件下推进，或者已经确认将来事件发展的明显趋势，否则将是毫无意义的。
（2）所观察的过程必须是稳定的过程。
（3）如果概率是由过去行为的抽样所决定，则必须有足够的样本，所取的抽样应能代表所研究的过程。
主观概率是主观判断自然状态的概率，是个别人根据对事件观察的直接经验而作出的。大部分主观概率往往因决策者不同而得出不同的数值，甚至同一个决策者，由于心理的、感情的或其它因素的影响，都会改变其估计。因此，主观概率有很大的随意性，一般是在不能得到客观概率时才用主观概率。在确定主观概率时，应充分发挥有经验的管理人员和专家的作用。
（4）益损值（支付值、风险值）
是结果变量，表示第种方案在种自然状态下的收益或损失的大小（一般正值为收益，负值为损失），可用金额单位或其它单位来计量，也可用打分的方法来计量。决策过程中往往是借助益损值来协助决策者来进行决策。
例6-1中后面一个问题的决策表可以表示为：

表6-2 例6-1决策表
行动方案
自然状态及概率
天凉
天热
0.3
0.7
甲牌
甲在天凉时的益损值
甲在天热时的益损值
乙牌
乙在天凉时的益损值
乙在天热时的益损值

各自然状态下的益损值计算如下：
甲在天凉时的益损值=（售价-成本）×箱数=（30-15）×1000=15000（元）
甲在天热时的益损值=（30-15）×1800=27000（元）
乙在天凉时的益损值=（32-18）×1500=21000（元）
乙在天热时的益损值=（32-18）×2700=37800（元）
表6-2中的益损值可排列成矩阵的形式：，该矩阵称为益损矩阵或风险矩阵。
益损值还可以用效用值来表示。所谓效用值是表明决策者基于自己对决策所产生后果的意愿或偏好倾向而采取的一种评价输出的尺度。
例如，对于一个敢冒风险的决策者，他对获利较大但风险也较大的策略给予较大的效用值，而对获利较小，但比较有把握的策略给予较小的效用值。对于一个稳重的决策者来说，他宁肯采取稳重的策略，而不愿去冒大的风险，因而他对获利较小而有把握的策略给予较大的效用值，而对获利较大但风险也较大的策略给予较小的效用值。
表示效用值与益损值之间的函数关系，称为效用函数。当效用值与益损值成正比关系时，效用函数为一线性函数，否则为非线性函数。

三、决策类型

根据决策者在决策时对与决策有关的信息的掌握情况，可以把决策问题分为三种类型：确定型、风险型和不确定型。
（1）确定型决策 指决策者在充分掌握与决策有关的信息的情况下进行决策。决策者确切地知道行动方案的得失和未来事件的结果，或者说，自然状态只有确定的一种，而决策者对此完全掌握，并掌握事件在此自然状态下的益损值。确定型决策的可信度最高。
确定型决策由于只有一种自然状态，即，所以决策表也只有一列。
如例6-1的第一种提法中，每日需求量为1000箱，确定状态出现的概率为1（视为必然事件），而其它自然状态出现的概率为0（视为不可能事件）。
（2）风险型决策 也称为随机状态决策，指决策者在没有完全掌握与决策有关的信息的情况下进行决策。这种情况下，若干种可能发生的自然状态的出现是随机的，但决策者掌握各自然状态出现的概率以及在各自然状态下每一方案的益损值。由于自然状态的随机性，所以这种决策带有一定的风险，其可信度较确定型决策差。但是，这是最常遇到的决策类型。
（3）不确定型决策 指决策者在很少掌握与决策有关的信息的情况下进行决策。决策者掌握可能发生的自然状态的种类以及在各自然状态下每一方案的益损值。但是，决策者不掌握各自然状态出现的概率。
一般来讲，决策者不希望在不确定状态下作出决策，因为其可信度最差。但是，当面临一种新的情况、考虑研制一种新产品或进行探索性开发时，不可避免地要在不确定状态下进行决策。

四、决策技术

在决策过程中为了选择好方案，需要对所要决策的问题进行定量分析，决策技术的作用在于研究和应用定量分析方法，为决策者提供数量分析和相互比较的信息，帮助决策者提高决策水平，及时正确地作出决策。
所谓决策技术，就是决策时所采用的一系列科学理论、方法和手段的总称。系统工程为决策提供了科学的方法，计算机的应用为决策提供了有效的手段。
目前已有许多专门的技术用来进行决策分析（表6-3，凡适用者以“○”表示），由于确定型单目标的决策可采用各种规划方法，确定型多目标、多方案的决策可采用系统综合评价方法，所以本章只介绍风险型及不确定型决策技术。
表6-3 常用决策技术
决策技术
决 策 类 型
确定型
风险型
不确定型
决策表
○
○
○
决策树
○
○

线性规划
○

分枝定界法
○

整数规划
○

分配论
○

关键路线法
○

计划评审技术

○

动态规划
○
○

马尔科夫链

○

存贮论
○
○

排队论

○

模拟
○
○

第二节 风险型决策技术

风险型决策的主要特点是：第一，存在着两个或两个以上的自然状态，并且已知各种自然状态可能出现的概率。第二，存在着决策者希望达到的明确的目标。第三，存在着可供决策者选择的两个或两个以上的行动方案。第四，可以计算出不同行动方案在不同自然状态下的益损值。
风险型决策的关键是根据决策者所掌握的自然状态的概率，运用一定的决策准则去选择最优的方案。在风险型决策中应用的决策准则有期望值准则、最大方差准则、最大可能性准则等。其中期望值准则应用最广。为了便于理解，下面以最大化的决策问题为例，来对期望值准则进行说明。可以用类似的方法处理最小化问题。

一、期望值准则

将每一个自然状态看作是离散型的随机变量，某个方案益损值的期望值是指该方案在所有自然状态下益损值的数学期望：
=1，2，…，
对于目标最大化的决策问题，期望值准则是在诸方案中选择期望值最大的方案为决策方案。即

例6-2 根据市场调查知道某种产品需求量的概率（表6-4）。该产品如果当天出售，则每吨可获利30元，如果当天不能出售，每吨将亏损10元。问该产品每天应上市多少吨？期望利润为多少？

表6-4 市场需求量的概率
每天需求量（吨）
5
6
7
8
9
概率
0.1
0.2
0.4
0.15
0.15

解 该问题属于风险型决策。自然状态有五种：=5、=6、=7、=8、=9。行动方案也有五种选择：=5、=6、=7、=8、=9。已知自然状态概率为=0.1、=0.2、=0.4、=0.15、=0.15。根据产品的需求量和销售的盈亏值，可以计算出每种方案在每种自然状态下的益损值（表6-5）。

表6-5 产品每天上市量决策表
行动

期望利润额
方案
=0.1
=0.2
=0.4
=0.15
=0.15
（元）

150
150
150
150
150
150

140
180
180
180
180
176

130
170
210
210
210
194

120
160
200
240
240
196*

110
150
190
230
270
192
*方案期望利润额最大。

计算各种方案的期望值。
根据期望值计算公式，求出每种方案的期望利润额分别为：
=0.1×150+0.2×150+0.4×150+0.15×150+0.15×150=150（元）
=0.1×140+0.2×180+0.4×180+0.15×180+0.15×180=176（元）
=0.1×130+0.2×170+0.4×210+0.15×210+0.15×210=194（元）
=0.1×120+0.2×160+0.4×200+0.15×240+0.15×240=196（元）
=0.1×110+0.2×150+0.4×190+0.15×230+0.15×270=192（元）
将计算结果列入表中的最后一列。由此可知，最好的方案为，即每天该产品的上市量为8吨，此时的期望利润额最大，为196元。其次为方案，每天上市量为7吨，期望利润额为194元。
例6-3 黑龙江省北安地区某农场生产队，种植小麦11520亩，平均单产为300公斤/亩，用联合收割机收获，每台联合收割机的机组生产率为120亩/天。由于每年的气候条件不同，每年可能用机器适时收获的天数是不同的。根据历年情况，可以分为3种，即收获期为16、12、8天。其相应的概率分别为0.2、0.6、0.2。如果在规定的收获期内收获不完，则小麦将因雨季到来而遭受的损失为30元/亩；但如果配备过多的联合收割机，超过了实际需要，每年将增加折旧费的支出（多配备的机器以每年损失折旧费4000元计算）。现有配备6、8、10、12台联合收割机四种方案供选择，问该单位配备几台联合收割机比较合适？
解 每种方案在每种自然状态下的益损值与每种方案的可能收获总面积有关，因此，首先需要计算收获面积。
（1）计算每种方案在每种自然状态下的可能收获总面积
收获期内某种方案全部联合收割机可能收获的总面积可用下式计算：

式中：—某种方案全部联合收割机可收获的总面积（亩）
—联合收割机台数；
—机器可能适时收获的天数；
—每台机组的生产率（亩/天）。
根据已知的数据进行计算，把计算得到的每种方案在不同自然状态下可能收获的总面积（亩）列入表6-6中。例如，方案为6台，第一种自然状态为16天，已知机组生产率=120亩/天，则此时可能收获的总面积为=6×16×120=11520亩，把此数值填入表6-6中的相关位置。表中其它数据依此类推。

表6-6 各种方案在不同自然状态下可能适时收获的总面积（亩）
行 动
（16天）
（12天）
（8天）
方 案
=0.2
=0.6
=0.2
（6台）
11520
8640
5760
（8台）
15320
11520
7680
（10台）
19260
14400
9600
（12台）
23040
17280
11520

（2）计算每种方案在各种自然状态下的益损值
每种方案在各种自然状态下的益损值指相应的预期损失金额值。根据题意，主要包括下列两项：
（i）在收获期内没有及时收获的小麦因下雨而遭受损失。
（ii）由于配备的联合收割机超过了实际需要，每年增加折旧费的支出。
按照上述两项损失的金额值，即可计算每种配备方案在每种自然状态下的益损值。
例如，第一个方案在第二种自然状态下可能收获的小麦面积为=8640亩，而小麦总面积为11520亩，因此有2880亩小麦没有及时收回，总共损失2880×30=86400元。将此数据填入表6-7的相关位置，即=86400元。
又如，第四方案在第一种自然状态下可收获小麦面积为=23040亩，而该单位实有小麦面积仅为11520亩，只要6台收割机就可在16天内全部完成收割任务，方案配备了12台，即多配备了6台联合收割机，多支出折旧费4000×6=24000元。将此值填入表6-7的相关位置，即=24000元。
依此类推，将所有的计算结果都填入决策表中（表6-7）。

表6-7 联合收割机配备决策表
行 动
（16天）
（12天）
（8天）
预期损失金额值
方 案
=0.2
=0.6
=0.2
（元）
（6台）
0
86400
172800
86400
（8台）
8000
0
115200
24640
（10台）
16000
8000
57600
19520
（12台）
24000
16000
0
14400*
*方案预期损失金额值最小。

（3）决策
由表6-7可知，在每种自然状态下，都有一种最好的方案。例如，在收获期为16天时，配备6台损失最小，因而在这种状态下是最好的。依此类推，在收获期为12天时，配备8台最好；在收获期为8天时，配备12台最好。
但是，由于存在着不确定的因素，即每年的气候条件是未知的，根据历史资料只知道各种自然状态的概率，因而采用风险型决策。
在本例中以期望损失金额值作为决策准则，即

根据计算，=86400元，=24640元，=19520元，=14400元。把计算结果填入表6-7的最右边一列，并知道方案最好。

二、决策树法

决策树法是应用比较广泛的决策工具，其基础仍为期望值准则。该决策方法能将行动方案、可能出现的自然状态、自然状态概率、相应的益损值、决策者的思路用图表示出来，决策全局的图形呈树枝状，故称为决策树。决策者可直接在决策树图上进行分析，非常方便。决策树还可用于多层次决策。
1．决策树符号说明
参照图6-1所示的决策树对所使用的符号进行说明。
图6-1 决策树
②
s1 0.25
s2 0.5
s3 0.25
△ +40
△ +18
△ - 20
24
③
s1 0.25
s2 0.5
s3 0.25
△ +12
△ +20
△ +10
15.5
④
s1 0.25
s2 0.5
s3 0.25
△ +15
15

1
A3
| |
| |
A2
A1
16.5
△ +15
△ +15

□—表示决策点。从它引出的每一分枝称为方案分枝，代表了一种行动方案。
○—表示方案节点。从它引出的分枝称为概率分枝。每一分枝代表了一种自然状态，分枝上方标明自然状态代号及该自然状态出现的概率。圆圈上方标明该方案的益损期望值。
△—结束点。在其右侧标明某一方案在相应的自然状态下的益损值。
++—“剪枝”记号，表示排除的方案。
方框、圆圈内的编号为顺序编号。
2．决策分析过程
用逆向简化法把一个复杂的决策局面简化成一个确定型的决策局面，即从右向左利用益损值和概率计算出各方案的期望值。若决策目标为效益最大，则留下最大期望值的一枝，而剪掉其它枝；如决策目标为损失最小，则应留下期望值最小的一枝。
例6-4 某公司为生产一种新产品，拟建立一工厂，其建厂方案如下：
（1）若建大厂需投资300万元，使用10年。据估算，在产品销路较好的情况下，每年可获利100万元；在销路差的情况下，每年将亏损30万元。
（2）若建小厂，需投资140万元，使用10年。在产品销路较好的情况下，每年可获利40万元；在销路差的情况下，每年仍可获利30万元。
（3）若先建小厂，如果前三年产品销路好考虑三年后是否扩建小厂。如果扩建，还要增加投资200万元，使用7年，每年可获利90万元。
根据市场预测知道，产品销路好的概率为0.7，销路差的概率为0.3。试用决策树法进行决策。
解 这是一个二级决策问题。在一级决策中，公司必须决定是建大厂，还是建小厂。如果决定建小厂，在前三年产品销路好的情况下，还要决定三年后是否扩建小厂，这是二级决策。
（1）绘制决策树
根据已知数据可绘制决策树，如图6-2所示。
图6-2 建厂方案决策树
②
s1销路好 0.7
s3销路差 0.3
△ +100
△ - 30
610
③
s3 0.3
△ +30
475

1
A2建小厂
| |
| |
A1建大厂
335

4
430

△ +90
△ +40
s1 0.7
⑥
⑤
不扩建
扩建
280
630
3年
7年

（2）进行二级决策
进行一级决策之前，先进行二级决策。
（i）计算各节点期望值（逆序计算）：
先计算节点⑤和⑥的期望值（按7年计算）
由于是确定型决策，所以
节点⑤的期望值=年盈利额×年数=90×7=630（万元）。
节点⑥的期望值=年盈利额×年数=40×7=280（万元）。
（ii）二级决策结果
扩建小厂：7年总利润=630万元-200万元（投资）=430万元
不扩建小厂：7年总利润为280万元。
故决定，如果前三年销路好，就扩建小厂，从而“剪”掉“不扩建”的分枝。
（3）进行一级决策
（i）计算节点②的期望值：
节点②的期望值=（100万元/年×10年×0.7）+［（-30）万元/年×10年×0.3］
= 610万元
（ii）计算节点③的期望值
节点③的期望值=［（40万元×3年+430万元）×0.7］+（30万元/年×10年×0.3）
= 475万元
（iii）一级决策结果
建大厂：10年总利润期望值=610万元-300万元（投资）=310万元
建小厂：10年总利润期望值=475万元-140万元（投资）=335万元
故决定，先建小厂，如果前三年销路好，再扩建小厂。
例6-5 公司甲由于经营不善欲拍卖，售价20000万元。公司乙欲收购公司甲，但是收购公司甲后需重新聘用一位总经理。现有两名候选人：A的经营成功率为50%，全年聘金4000万元，并提出不成功不要报酬；B的经营成功率为70%，全年聘金6000万元。该公司的利润与天气有关。多雨年份全年毛利（未扣除收购资金及总经理报酬）为50000万元，少雨年份全年毛利90000万元。根据统计资料，该地区属多雨年份的概率为0.4，属少雨年份的概率为0.6，试用决策树法进行决策。
解 这是一个二级决策问题，首先决定是否收购公司甲，如决定收购，还需要决定聘用谁作总经理。
（1）填写决策表（表6-8）
表中益损值=年毛利收入-收购资金-总经理报酬
=50000-20000-4000=26000（万元）
=90000-20000-4000=66000（万元）
=50000-20000-6000=24000（万元）
=90000-20000-6000=64000（万元）
=0-20000-0=-20000（万元）
=0-20000-6000=-26000（万元）

表6-8 例6-5决策表 单位：万元
行动方案
成功
不成功
0.5
0.7
0.5
0.3
多雨 0.4
少雨 0.6
多雨 0.4
少雨 0.6
收购
聘
26000
66000
—
—
-20000
—
聘
—
—
24000
64000
—
-26000
不 收 购
0
0
0
0

（2）绘制决策树（图6-3）
计算各节点期望值（逆序计算）：
点⑤期望值：26000×0.4+66000×0.6=50000（万元）
点⑥期望值：24000×0.4+64000×0.6=48000（万元）
点③期望值：50000×0.5-20000×0.5=15000（万元）
点④期望值：48000×0.7-26000×0.3=25800（万元）

③
成功0.5
△ - 20000
15000

1
不收购
| |
收购
25800
图6-3 例6-5的决策树
△ 0

2
25800
失败0.5
⑤
50000
多雨 0.4
少雨 0.6
△ +26000
△ +66000
聘A
| |
④
25800
聘B
成功0.7
⑥
48000
多雨 0.4
少雨 0.6
△ +24000
△ +64000
△ - 26000
失败0.3
成功0.5
△ - 20000

1
不收购
| |
收购

2
失败0.5
聘A
| |
聘B
成功0.7
△ - 26000
失败0.3

（3）决策
二级决策：根据节点③、④的期望值，决定如果收购甲公司，则聘用B为总经理。
一级决策：由于收购甲公司，有25800万元的期望收入，不购买没有任何收入，所以决定收购甲公司，并聘用B为总经理。
例6-6 某公司面对一项在较短时间内研制成功某项新产品的招标，正在考虑是否投标，中标的可能性为40%。该厂必须拿出一份论证充分的可行性报告投标，此项费用需要2000元。如果不中标，这笔费用无从补偿。该公司研制该产品有两种方案，甲方案成功率80%，研制费用10000元；乙方案成功率50%，研制费用5000元。中标并研制成功后，将收取招标方60000元的费用，中标但研制失败则罚款10000元。试就该公司是否应当投标，若投标应采取什么方案，利用决策树法进行决策。
解 这是一个二级决策问题，首先决定是否投标，如决定投标，还需要决定采用哪个方案。
（1）填写决策表（表6-9）
表中益损值=成功后收费-研制费用-罚款-投标费用
=60000-10000-0-2000=48000（元）
=0-10000-10000-2000=-22000（元）
=60000-5000-0-2000=53000（元）
=0-5000-10000-2000=-17000（元）
=0-0-0-2000=-2000（元）
=0-0-0-2000=-2000（元）

表6-9 例7-6决策表 单位：千元
行动方案
中标0.4
不中标
0.6
成功
失败
甲0.8
乙0.5
甲0.2
乙0.5
投标
甲方案
48
－
-22
－
-2
乙方案
－
53
－
-17
-2
不 投 标
0
0
0

（2）绘制决策树（图6-4）
计算各节点期望值（逆序计算）：
点④期望值：48×0.8+（-22）×0.2=34（千元）
点⑤期望值：53×0.5+（-17）×0.5=18（千元）
点②期望值：34×0.4+（-2）×0.6=12.4（千元）
图6-4 例6-6的决策树
甲方案
34

1
不投标
| |
投标
12.4
△ 0
12.4
乙方案
④
34
成功 0.8
失败 0.2
△ +48
△ -22
中标
0.4
不中标0.6
△ - 2
②

⑤
18
成功 0.5
失败 0.5
△ +53
△ -17
1
| |

（3）决策
二级决策：根据节点④、⑤的期望值，决定如果中标，则采用甲方案。
一级决策：由于投标，可能有12400元的收入，不投标则没有任何收入，所以决定投标，并采用甲方案。

三、贝叶斯分析在决策中的应用

风险型决策的关键是估计自然状态的概率，但在复杂的情况下往往很难正确估计自然状态的概率，因此，这方面的信息显得尤为重要。如果时间上允许，就应考虑是否出钱购买（或调查）有关的信息，然后利用这些附加信息修正原来对自然状态概率的估计，并利用经过修改的概率进行决策，这就是所谓的贝叶斯决策。其决策过程包括：
（1）验前分析：决策者根据过去的经验获得自然状态的概率，这个概率称为验前概率，然后凭借这种验前概率计算效益期望值；
（2）验后分析：利用附加信息对验前概率进行修正，得出验后概率，然后凭借验后概率计算效益期望值；
（3）附加信息价值分析：分析购买附加信息或进行调查所支付的费用是否合算，显然，如果大于所支付的费用，则认为值得购买或调查。称为附加信息的价值。
（4）决策：如果决定购买信息，则根据调查结果进行决策；否则，仍使用验前分析结果进行决策。
应用贝叶斯分析决策的特点是不改变益损值，而只是通过改变概率进行决策，同时也考虑购买或调查所需的费用。
1．验后概率的计算
在计算验后概率时，可利用贝叶斯公式：

或

式中：
——附加信息的预报结果；

——可能的自然状态，其中=1，2，…，，为自然数；

——的验前概率；

——的验后概率；

——在状态下的条件概率（即某个自然状态出现的情况下，预报正确的概率）；

——事件的全概率。
上述公式可表述如下：自然状态在考察某些调查事件之后的验后概率与和的乘积成正比，而与各状态下的和的乘积之和成反比。

2．贝叶斯决策
下面通过例子说明贝叶斯分析在决策中的应用。
例6-7 某公司考虑是否开发一种新产品。市场形势有三种可能性：好（）、中（）、差（），公司初步估计这三种可能性的概率分别为0.2、0.5、0.3，在不同市场形势下可能获得的利润见表6-10。咨询公司对市场形势的估计可能更准确些，但委托咨询公司进行市场形势的调查须支付10000元的调查费用，咨询公司进行这种调查的可信度资料如表6-11所示。试决定公司是否应委托咨询公司进行市场形势调查，然后再决定是否开发这种新产品。

表6-10 已知有关信息及初步评价
供选择的方案

期望利润值
=0.2
=0.5
=0.3
（元）
（开发）
300000
200000
-600000
-20000
（不开发）
0
0
0
0

表6-11 咨询的可信度
调查结果

（预报出现）
=0.80
=0.10
=0.10
（预报出现）
=0.10
=0.90
=0.20
（预报出现）
=0.10
=0
=0.70

解 应用贝叶斯分析决策的步骤如下：
（1）验前分析
利用已知的验前概率及益损值计算期望利润值，结果见表6-10。预期开发新产品将损失20000元，故最初得出不开发的结论。
（2）验后分析
（i）验后概率计算
公司计划委托某咨询公司通过调查进行市场形势的预测。根据过去的记录，该咨询公司作调查预测的可信度见表6-11，进行这种调查的费用为10000元。公司经理必须决定是否应进行这种调查，然后根据调查结果再决定是否开发这种新产品。表明这种决策过程的程序如图6-5中的决策树所示。
已知验前概率和咨询的可信度，即可利用贝叶斯公式计算调查后的验后概率：

将上述数据代入决策树（图6-5）中的相应位置，得决策树如图6-6所示。
（ii）全概率计算
根据全概率计算公式分别计算事件、、的全概率为=0.24、=0.53、=0.23，将其填入图6-6中相应的位置。
（iii）验后分析
参考图6-6所示的决策树，利用全概率和验后概率计算所有节点上的期望值，然后在每个决策点上选择最佳方案。

○
a1
a2
p(A1)=0.2
p(A2)=0.5
p(A3)=0.3
△+300000
△+200000
△-600000
△0
○
a1
a2
p(A1|B1)
p(A2|B1)
p(A3|B1)
△+300000
△+200000
△-600000
△0
p(A1|B2)
○
a1
a2
p(A2|B2)
p(A3|B2)
△+300000
△+200000
△-600000
△0
○
a1
a2
p(A2|B2)
p(A3|B2)
△+300000
△+200000
△-600000
△0
p(A3|B2)
○
p(B1)
p(B2)
p(B3)
不调查
调查
咨询费10000
决定是否
进行调查
调查的
机会点
决定行
动方针
选择行动方
针的机会点
图6-5 贝叶斯分析决策树的一般结构

如果不调查，期望值为（元）；如果调查，期望值为：
0.24×166700+0.53×113400+0.23×0=100110（元）
（3）附加信息价值分析。附加信息的价值为：
（元）
由于附加信息的价值大于调查费用10000元，故调查是必要的。
（4）决策
如果调查结果为，选择方案；
如果调查结果为，选择方案；
如果调查结果为，选择方案。
○
a1
a2
p(A1)=0.2
p(A2)=0.5
p(A3)=0.3
△+300000
△+200000
△-600000
△0
○
a1
a2
p(A1|B1)=0.667
p(A2|B1)=0.208
p(A3|B1)=0.125
△+300000
△+200000
△-600000
△0
p(A1|B2)=0.038
○
a1
a2
p(A2|B2)=0.849
p(A3|B2)=0.113
△+300000
△+200000
△-600000
△0
○
a1
a2
p(A2|B2)=0
p(A3|B2)=0.913
△+300000
△+200000
△-600000
△0
p(A3|B2)=0.087
○
p(B1)=0.24
p(B2)=0.53
p(B3)=0.23
不调查
调查
咨询费10000
图6-6 用验后概率作决策分析
-20000
113400
166700
-521700
100110
0
113400
166700
0

例6-8 某农户考虑明年10亩粮食作物改种某种经济作物。估计明年的气候条件有利于种植该经济作物的概率为0.6，不利于种植该作物的概率为0.4。在不同气候条件下，种植不同作物的盈亏值如表6-12所示。如果农民向当地气象台咨询，该气象台的可信度如表6-13所示，咨询费20元。试用贝叶斯分析方法